Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

В специальных сборниках задач, а также в вариантах выпускных и вступительных экзаменов все чаще стали встречаться задачи с параметрами, связанные с границами корней квадратного уравнения.

По данному вопросу имеется различная информация в источниках, предназначенных, в основном, для подготовки к вступительным экзаменам. Но в новейших источниках, как правило, преобладает слишком громоздкая геометрическая интерпретация рассуждений. Конечно, в этих источниках с большой наглядностью перебираются все варианты ситуаций ,по которым составляются нужные системы неравенств. Но во многих случаях сложно продумать необходимое и достаточное количество этих неравенств.

Порой бывает трудно быть уверенным в рациональности подобных условий. А решающий к тому же бывает ограниченным во времени.

Конечно, наиболее эффективным условием является знание трех теорем, которые можно найти в более ранних источниках, например, у П.С. Моденова в книге "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики", в книге С.И Новосепова "Специальный курс элементарной математики"(Изд-во "Советская наука", 1956г)

Замечание. При формулировке теорем будем считать, что квадратное уравнение имеет корни, то есть D>0

Теорема 1.

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения удовлетворяет условию λ< X₁< X₂ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств

Теорема 2.

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения удовлетворяли условию X₁< λ < X₂, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Теорема 3

Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения удовлетворяли условию X₁< X₂ < λ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств

Рассмотрим доказательство необходимости признака для первой теоремы

Дано:

D>0

λ< X₁< X₂

Доказать:

Доказательство:

Так как λ< X₁< X₂, то имеем:

0<

2)С другой стороны, так как (λ< X₁< X₂)+>2)

Ч.Т.Д

Доказательство необходимости признаков в остальных теоремах аналогично проведенному, а достаточность признаков доказывается методом от противного.

Доказательство достаточности признаков можно предложить самим учащимся

Рассмотрим примерное доказательство достаточных признаков теоремы 3.

Дано:

Доказать: X₁< X₂ < λ

Доказательство: Пусть дано, что условия:

Выполняются для квадратного уравнения для

Допустим, что при этом корни удовлетворяют либо условию λ< X₁< X₂,, либо условию X₁< λ < X₂,. Но тогда в первом случае необходимо получить условия .

Но тогда в первом случае необходимо получить условия:

А во втором-

В обоих случаях получим противоречия данным условиям, а это говорит о неверности и первого и второго допущений. Остается, что единственно верно условие: X₁< X₂ < λ

Для случая, когда =0, формулировки этих теорем вкратце выглядят так:

Если обозначить левую часть уравнения через f ′() , то есть рассмотреть как функцию , то очевидно, что выполняются равенства:

= f ()

Этот результат позволяет к концу десятого класса рассмотреть доказательство данных теории по другому.

А именно становится явным геометрическое обоснование доказательство теории 1 - 3.

Пусть , а квадратное уравнение имеет два корня и .

Тогда парабола f(x)= пересекает ось в точках с абсциссами и . Ясно, что в таком случае в точке , где , выполняются условия f () и , то есть имеем

Это наглядно видно из рисунка.

А так как , то эти два неравенства дают следующие необходимые условия теоремы 1:

Достаточность признака (1) также становится понятной из рисунка. Так как . Но так как при этом, то , и мы получаем, что

. Что и требовалось доказать.

Доказательство теории 2 и 3 можно интерпритировать на подобных рисунках.

Для случая можно рассмотреть геометрическую интерпретацию доказательства, например, теоремы 3.

Из рисунка видно . К тому же видно, что , это есть f ()= = 0, и .

А так как , то получается необходимый признак в виде системы

Признак (2) также достаточен для условия .

Действительно, так как , то из второго неравенства системы (2) имеем, что , значит, .

А так как , то , то есть верно неравенство . Что и доказывает достаточность признака выражаемого системой неравенств (2).

Рассмотрим по степени усложнения группы упражнений, решаемых с помощью доказанных теорем.

А. найти все значения параметра а, при которых корни следующих уравнений действительны, и определить знаки корней.

1.

2.

3.

4.

Б. 1. Найти все значения а, при которых корни уравнения действительны и каждый из корней больше 1.

2. Найти все значения а, при которых корни уравнения были бы меньше 2.

В. 1. Найти все действительные значения а, при которых оба корня уравнения заключены между 0 и -2.

2. Для каких действительных значений а уравнение имеет корень, больший 3, а другой меньше 2?

Вариант В усложнен тем, что сразу нужно применять две из рассмотренных теорем или одну и ту же теорему два раза.

Г. При каких значениях а не имеют корней уравнения:

а)

б) ?

Группа г усложнена введение функции вместо переменной x и неявностью условия применяемости приведенных теорем.

Рассмотрим решение некоторых заданий из приведенных групп.

1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

действительны и определите знаки корней.

Решение. Найдем дискриминант.

+ 12a - 8

По условию должно выполняться неравенство . Тогда имеем:

а) При Д = 0, то есть при а=-2 или при а= имеем:

б) При

Выходит, что один из коней равен нулю, а другой положительный.

В) выясним, при каких значениях параметра а выполняется неравенство

По теореме 1 решаем систему неравенств

Видно, что

Г) найдем при каких значениях а выполняется неравенство

Для этого применим теорему 2:

д) Выясним при каких значениях а выполняется неравенство . Используем теорему 3.

Из схемы видно, что ни при каких значениях параметра а корни заданного квадратного уравнения не являются одновременно отрицательными.

е)

Ответ: уравнение имеет действительные корни при

Ни при каких значениях а корни не являются одновременно отрицательными;

При а = один из корней уравнения равен нулю, а другой положительный.

№2. Для каких действительных значений а уравнение

Решение. Так как рассматривается лишь условие существования двух корней, то Найдем соответствующие значения а.

По условию должно выполняться неравенство , то есть система неравенств.

При а∈(2;5) один из корней заданного уравнения больше 3, а другой меньше 2.

Ответ: а∈(2;5).

№3. Решим задание №6 из работы выпускного экзамена 1997-1998 учебного года.

При каких значениях а уравнение sin²x+(a+2)sinx +3a+1=0 не имеет корней?

Решение.

Квадратное уравнение не имеет корней при D<0, значит, для заданного квадратного уравнения имеем:

Откуда

Итак, при а ⍷ (a;8) уравнение не имеет корней.

Для значения а (a;8) введено обозначение: , где

При этом получим уравнение в виде (2)

Значение а, при которых оба корня уравнения (2) меньше -1 или оба больше 1, или первый меньше -1, а второй больше 1, задания уравнение не имеет корней

Для случая расположения" " применяем теорему 3

Так как рассматривается случай, когда а∈ (-∞;0)⋃(8;∞), то из системы

a>0

a>8 имеем: a>8

Значит, при а ∈(8;∞) данное уравнение не имеет корней.

Для случая "1<y₁<y₂" применим теорему 1:

1∙(1²+(а+2)1+3а+1)>0 4а+4>0 a>-1

1∙(2∙1+(а+2))<0; a+4<0 a<-4

Эта система противоречива, а это означает, что ни при каких значениях а оба корня уравнения (2) не будут одновременно больше 1. Поэтому в этом случае мы не нашли таких значений а, при которых исходное уравнение не имеет корней.

В третьем случае, т.е. при расположении "y₁<-1<1

Получим, что при один из корней уравнения (2) меньше -1, а другой больше . В таком случае исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при уравнение

Не имеет корней