85

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Межпредметные связи в школьном обучении являются выражением интеграционных процессов, происходящих сегодня в науке и в жизни общества. Эти связи играют важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки учащихся, существенной особенностью которой является овладение школьниками обобщенным характером познавательной деятельности.

Актуальность данной темы - в том, что межпредметные связи в обучении математике являются важным средством достижения прикладной направленности обучения математике, что создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения учеников и выпускников школ.

Межпредметные связи в школьном обучении являются конкретным выражением интеграционных процессов, происходящих сегодня в науке и в жизни общества. Эти связи играют важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки учащихся, существенной особенностью которой является овладение школьниками обобщенным характером познавательной деятельности.

Осуществление межпредметных связей помогает формированию у школьников цельного представления о явлениях природы и взаимосвязи между ними и поэтому делает знания практически более значимыми и применимыми, это помогает учащимся те знания и умения, которые они приобрели при изучении одних предметов, использовать при изучении других предметов, дает возможность применять их в конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной, так и во внеурочной деятельности, в будущей производственной, научной и общественной жизни выпускников средней школы.

С помощью многосторонних межпредметных связей не только на качественно новом уровне решаются задачи обучения, развития и воспитания учащихся, но также закладывается фундамент для комплексного видения, подхода и решения сложных проблем реальной действительности. Именно поэтому межпредметные связи являются важным условием и результатом комплексного подхода в обучении и воспитании школьников.

Межпредметные связи следует рассматривать как отражение в учебном процессе межнаучных связей, составляющих одну из характерных черт современного научного познания.

Цель работы - изучить и раскрыть теоретические и практические аспекты межпредметных связей математики и предметов естественного цикла школьного курса образования, в частности, физики и показать роль межпредметных связей в обучении.

В соответствии с данной целью поставлены такие задачи:

1. раскрыть понятие и классификацию межпредметных связей;

2. определить, с какими предметами можно устанавливать межпредметные связи при изучении математики школьного курса;

3. изучить некоторые пути установления межпредметных связей при изучении программного материала по физике и математике.

4. рассмотреть темы математики, которые наиболее часто используются при изучении физики;

5. разработать конспекты уроков для изучения физики и математики по теме: «Применение производной», подобрать учебный материал, который наглядно демонстрирует межпредметную связь этих учебных предметов.

Объект исследования - процесс обучения математики и физики в общеобразовательной школе.

Предмет исследования - применение межпредметных связей на уроках математики и физики.

В педагогической литературе проблеме межпредметных связей были посвящены труды Бурцева Н.М., Максимовой В.Н., П.Р.Атутов, С.Я.Батишева, М.М.Берулава, Ю.К.Васильева, Р.С.Гуревича, М.И.Думченко, А.И.Еремкина , и других авторов, освещены теоретические, содержательные и процессуальные аспекты в области общего среднего образования.

Методы исследования - теоретические: изучение философской, естественно-научной, технической, психологической, педагогической, методической литературы с целью определения научных основ межпредметных связей естественно-математических дисциплин, обоснование их моделей в работе учителя математики и физики, анализ учебных планов и программ учителей, систематизация и обобщение теоретических данных; эмпирические методы: опрос и анкетирование преподавателей естественно-математических дисциплин с целью выявления их отношения к проблеме внедрения межпредметных связей; изучение разработок уроков по физике и математике.

Новизна данной работы в том, что был проведен анализ межпреметных связей математики и предметов естественно-научного и гуманитарного циклов, проанализированы программы математики и физики общеобразовательной школы, и выявлены возможности создания межпредметных связей этих дисциплин, рассмотрены понятия «дробь», «степень», «функция и графики функций», «вектор», «производная» и др. с точки зрения разных наук - математики и физики.

Практическое значение - возможность применять предложенный материал на уроках физики и математики общеобразовательной школы, при проведении внеклассных мероприятий и предметных недель.

РАЗДЕЛ 1
Межпредметные связи как важная
составляющая учебного процесса

Проблема межпредметных связей интересовала педагогов еще в далеком прошлом. Ян Амос Коменский выступал за взаимосвязанное изучение грамматики и философии, философии и литературы, Джон Локк - истории и географии.

В России значение межпредметных связей обосновывали В.Ф.Одоевский, К.Д.Ушинский и другие педагоги, они подчеркивали необходимость взаимосвязей между учебными предметами для отражения целостной картины мира, природы «в голове ученика», для создания истинной системы знаний и миропонимания. Участие межпредметных связей в развитии познавательных способностей, активности, умственной деятельности содержится в трудах Ананьева Б.Г., Выготского Л.С., Рубинштейна С.Л.
[3, c. 25].

В более поздних работах, например, работах М.Н. Скаткина, Г.С. Костюка, В.В. Давыдова, было показано, что ведущие идеи мировоззренческого характера играют организующую роль в изучении учебного материала, т.е. они как бы «обрастают» теориями, понятиями, фактами, выходящими за пределы одного предмета, и создают целостную научную систему знаний о природе и обществе.

Детальные исследования межпредметных связей математики и физики проведены в работах А.Пинского и С.Тхамофоковой, В.Серикбаевой, Т.Богуславской, И.Семеновой, И.Юдиной, В.Бевз и других авторов.

1.1. Роль межпредметных связей в образовательном процессе

Принцип единства учения и воспитания предполагает целенаправленную реализацию во взаимосвязи образовательных, воспитательных и развивающих функций обучения. Развитие умственных способностей, мыслительной активности, познавательных интересов учащихся создает субъективные предпосылки для выработки у них самостоятельных суждений, убеждений и мировоззренческих взглядов. Систематическая реализация межпредметных связей в учебно-воспитательном процессе способствует комплексному решению задач по воспитанию и формированию личности.

Необходимо учить анализировать изучаемые проблемы, понятия, явления, а также делать определенные обобщающие выводы синтезирующего характера, опираясь на конкретные факты, наблюдения, сопоставления. Наряду с образовательной и воспитательной функцией межпредметные связи выполняют еще одну важную функцию - развивающую. Они выступают средством формирования не только гибкой и продуктивной системы знаний, но и обобщенных способов действий. Специальные исследования показали, что активизация учебной познавательной деятельности школьников становится более эффективной, если наряду с другими педагогическими факторами будут использоваться межпредметные связи. Именно межпредметные связи способствуют более продуктивному формированию у школьников познавательной активности, самостоятельности в выработке познавательных интересов и положительной мотивации учения [3, c.30].

В ходе учебного процесса, основанного на межпредметных связях, развиваются обобщенные интеллектуальные умения, характеризующие определенные виды деятельности, общие для ряда предметов.

Межпредметные связи стимулируют развитие творческой деятельности (умение самостоятельно переносить знания и умения в новую ситуацию, умение видеть новую проблему в знакомой ситуации, умение устанавливать новые свойства объекта изучения и др.).

Все функции межпредметных связей (образовательная, воспитательная, развивающая) тесно взаимосвязаны между собой, а единство реализации оказывает эффектное влияние на образование, воспитание и всестороннее развитие личности учащегося в процессе обучения. Немаловажное значение имеет при этом существенная перестройка и совершенствование методов и форм организации учебного процесса (комплексные уроки, межпредметные экскурсии, конференции, конкурсы, олимпиады, подготовка учащимися докладов межпредметного характера, использование в учебном процессе поисковых методов обучения, проблемно-познавательных задач, элементов исследования). Именно эти формы и методы организации учебно-познавательной деятельности школьников способствуют более продуктивной реализации принципа единства обучения, воспитания и развития школьников в учебном процессе, стимулируют развитие их творческой познавательной активности, познавательных интересов и способностей [7, c. 153].

Межпредметные связи следует рассматривать как отражение в учебном процессе межнаучных связей, составляющих одну из характерных черт современного научного познания.

При всем многообразии видов межнаучного взаимодействия можно выделить три наиболее общие направления:

1. Комплексное изучение разными науками одного и тоже объекта.

2. Использование методов одной науки для изучения разных объектов в других науках.

3. Привлечение различными науками одних и тех же теорий и законов для изучения разных объектов.

Связь между учебными предметами является прежде всего отражением объективно существующей связи между отдельными науками и связи наук с техникой, с практической деятельностью людей.

Необходимость связи между учебными предметами диктуется также дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, связью обучения с жизнью, подготовкой учащихся к практической деятельности [8, c. 54].

Задачами реализации межпредметных связей при конструировании содержания учебного предмета являются:

- выявление общих элементов содержания различных учебных предметов для определения «возможных» (сопутствующих) межпредметных связей;

- выявление элементов содержания, требующих предварительного изучения в другом предмете, для определения «необходимых» (предшествующих и перспективных) межпредметных связей;

- определение формы, типа и вида межпредметных связей, используемых при конструировании урока.

Таким образом, роль межпредметных связей значительна в образовательном процессе. Именно межпредметные связи позволяют развить у учащегося обобщенные интеллектуальные умения, характерные для ряда учебных предметов, стимулируют развитие творческой деятельности, прививают интерес к обучению, а функции межпредметных связей (образовательная, воспитательная и развивающая) способствуют всестороннему развитию личности учащегося.

1.2. Классификация межпредметных связей

Существуют различные формы, типы и виды межпредметных связей
[21, c.195]. Рассмотрим классификацию форм межпредметных связей (см. Рис.1.1.).

Межпредметные связи по составу показывают что используется, трансформируется из других учебных дисциплин при изучении конкретной темы.

Межпредметные связи по направлению действия показывают:

1) Является ли источником межпредметной информации для конкретно рассматриваемой учебной темы, изучаемой на широкой межпредметной основе, один, два или несколько учебных предметов.

2) Используется межпредметная информация только при изучении учебной темы базового учебного предмета (прямые связи), или же данная тема является также «поставщиком» информации для других тем, других дисциплин учебного плана школы (обратные или восстановительные связи).

Межпредметные связи по способу взаимодействия направляющих элементов показывают:

1) какие знания, привлекаемые из других школьных дисциплин, уже получены учащимися, а какой материал еще только предстоит изучать в будущем (хронологические связи);

2) какая тема в процессе осуществления межпредметных связей является ведущей по срокам изучения, а какая ведомой (хронологические синхронные связи).

3) как долго происходит взаимодействие тем в процессе осуществления межпредметных связей (хронометрические связи).

Вышеприведенная классификация межпредметных связей позволяет аналогичным образом классифицировать внутрикурсовые связи, а также внутрипредметные связи между темами определенного учебного предмета. (см. Рис.1.1.)

Во внутрикурсовых и внутрипредметных связях из хронологических видов преобладают преемственные и перспективные виды связей, тогда как синхронные резко ограничены, а во внутрипредметных связях синхронный вид вообще отсутствует [21, c. 120].

Относительно какого-либо предмета «необходимые» межпредметные связи разделяют на:

• межпредметные связи «как цель»(предшествующие) и

• межпредметные связи «как результат» (перспективные).

Более важную роль для конкретного предмета играют целевые межпредметные связи, так как без их реализации изучение рассматриваемого учебного материала считается невозможным. Реализация межпредметных связей «как результат» необходима для обеспечения преподавания другого предмета, но при этом и они способствуют более глубокому изучению рассматриваемого предмета [21, c. 126].

Реализация межпредметных связей «как цель» заключается в выявлении дидактических целей по другим предметам на этапе определения вспомогательных целей.

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ

Ф О Р М Ы

ПО СПОСОБУ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НАПРАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

ПО НАПРАВЛЕНИЮ ДЕЙСТВИЯ

ПО СОСТАВУ

ТИПЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ

ОДНОСТОРОННИЕ

ДВУСТОРОННИЕ

МНОГОСТОРОННИЕ

ХРОНОЛИГИЧЕСКИЕ

ХРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ

ОПРЕРАЦИОННЫЕ

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ

В И Д Ы

ПО ФОРМАМ И СПОСОБАМ ОРГАНИЗАЦИИ УВП

- ПО ФАКТАМ

- ПО ПОНЯТИЯМ

- ПО ЗАКОНАМ

- ПО ТЕОРИЯМ НАУК

- ПРЯМЫЕ

- ОБРАТНЫЕ

- ВОССТАНОВИТЕЛЬНЫЕ

- ПРИЕМСТВЕННЫЕ

- СИНХРОННЫЕ

- ПЕРСПЕКТИВНЫЕ

ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ПРИЕМОВ

- ПО ФОРМИРУЕМЫМ НАВЫКАМ, УМЕНИЯМ, МЫСЛЫТИЛЬНЫМ ОПЕРАЦИЯМ

- ЛОКАЛЬНЫЕ

- СРЕДНЕДЕЙСТВУЮЩИЕ

- ДЛИТЕЛЬНО ДЕЙСТВУЮЩИЕ

Рис. 1.1. Классификация межпредметных связей

Межпредметные связи «как результат» должны инициироваться предметами, нуждающимися в элементах содержания математики.

С помощью многосторонних межпредметных связей не только на качественно новом уровне решаются задачи обучения, развития и воспитания учащихся, но также закладывается фундамент для комплексного видения, подхода и решения сложных проблем реальной действительности. Именно поэтому межпредметные связи являются важным условием и результатом комплексного подхода в обучении и воспитании школьников.

Подводя итоги, можно выделить формы и типы межпредметных связей по составу - содержательные, операционные, организационные и методические; по направлению действия - односторонние, двусторонние и многосторонние; по способу взаимодействия направляющих элементов - хронологические и хронометрические. Также существуют различные виды связей: по фактам или понятиям, по формам и способам организации учебно-воспитательного процесса, по формируемым навыкам, умениям, мыслительным процессам, по использованию педагогических методов и приемов, а также прямые и обратные, преемственные и синхронные, локальные и среднедействующие. Все это говорит о многообразии существующих межпредметных связей.

1.3.Межпредметные связи при изучении математики

Математика - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предметов; они получены в результате абстрагирования от качественных особенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к описанию явлений природы, технического, а также экономического и социальных процессов.

Математика возникла из практических нужд людей. Её связи с практикой со временем становятся всё более и более многообразными и глубокими.

Развитие человеческого общества немыслимо без передачи новому поколению знаний и опыта предшествующих поколений. Это касается всех областей знаний, в том числе и математики.

Обучение учащихся математике направлено на овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов и решения практических задач, на развитие логического мышления, пространственного воображения, устной и письменной математической речи, формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, инструментальных и графических навыков.

1.3.1. Математика и предметы естественно-научного цикла

Предметы естественно-математического цикла дают учащимся знания о живой и неживой природе, о материальном единстве мира, о природных ресурсах и их использовании в хозяйственной деятельности человека. Общие учебно-воспитательные задачи этих предметов направлены на всестороннее гармоничное развитие личности. Важнейшим условием решения этих общих задач является осуществление и развитие межпредметных связей предметов, согласованной работы учителей-предметников.

Изучение всех предметов естественнонаучного цикла тесно связано с математикой. Она дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных предметов.

На основе знаний по математике в первую очередь формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Преемственные связи с курсами естественнонаучного цикла раскрывают практическое применение математических умений и навыков. Это способствует формированию у учащихся целостного, научного мировоззрения [21, c. 54].

Межпредметные связи в обучении математике являются важным средством достижения прикладной направленности обучения математике. Возможность подобных связей обусловлена тем, что в математике и смежных дисциплинах изучаются одноименные понятия (векторы, координаты, графики и функции, уравнения и т.д.), а математические средства выражения зависимостей между величинами (формулы, графики, таблицы, уравнения, неравенства) находят применение при изучении смежных дисциплин. Такое взаимное проникновение знаний и методов в различные учебные предметы имеет не только прикладную значимость, но и создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения.

С дидактических позиций реализация межпредметных связей предполагает использование фактов и зависимостей из других учебных дисциплин для мотивации введения, изучения и иллюстрации абстрактных математических понятий, формирования практических навыков [7, c. 43].

При изучении смежных дисциплин раскрывается практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений о математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

Курс алгебры и начал анализа наглядно показывает универсальность математических методов, демонстрирует основные этапы решения прикладных задач. Аксиоматическое построение курса геометрии создает базу для понимания логики построения любой научной теории, изучаемой в курсах физики, химии, биологии [7, c.68].

Важную роль в осуществлении межпредметных связей играет математическое моделирование. Моделирование как метод познания включает в себя:

- построение, конструирование модели;

- исследование модели(экспериментальное или мысленное);

- анализ полученных данных и перенос их на подлинный объект изучения.

Решая прикладные задачи, мы проходим названные выше три этапа:

1. построение модели (перевод условия задачи с обыденного на математический язык);

2. работа с моделью (решение уравнения, неравенства и т. д.);

3. ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим, какие темы предметов естественного-научного цикла переплетаются с математическими понятиями (см. Табл. 2.1.).

Таблица 2.1.

Предметы естественного цикла их математическое содержание

Кл.

Предмет

Учебная тема

Математ. содержание

10

Физика

Равноускоренное движение

Линейная функция, производная функции

8,

9,

10

Движение, взаимодействие тел. Электричество

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

8,

10

Механика

Векторы, метод координат, производная, функция. График функции

7,

11

Оптика

Симметрия, гомотетия, подобие фигур

10

Кинематика

Векторы, действия над векторами

10,11

Информатика

Алгоритм, программа, электронные таблицы

Уравнения, неравенства, графики функций

6

Географ.

Изображение земной поверхности

Масштаб, координаты

8,

9

Химия

Масса, объем и количество вещества;

задачи с массовой долей выхода продукта реакции; расчеты массовой доли примесей по данной массе смеси; растворы; определение формулы вещества по массовым долям элементов.

Уравнения, проценты

10, 11

Черчение

Техника выполнения чертежей и правила их оформления; аксонометрические проекции; деление окружности на равные части, сопряжение

Параллельность, перпендикулярность прямых, измерение отрезков и углов, окружность, масштаб, параллельное проецирование

10,11

Экономика

Проценты, уравнения, неравенства

Анализируя представленную таблицу, можно увидеть, что большинство тем, имеющих математическое содержание приходится на дисциплины физика, химия, черчение.

Можно проиллюстрировать сказанное на примере системы задач с физическим содержанием при изучении темы «Векторы» в 9-м классе на примере раздела физики 10 класса «Динамика». Векторные умения и навыки отображают модельный характер этого материала. Графические упражнения позволяют учащимся перевести физическую ситуацию на геометрический язык и получать информацию о физических явлениях с помощью геометрической модели векторного пространства [4, c. 32].

У многих учеников вызывают затруднения задачи на смеси и сплавы. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало внимания. Вместе с тем они входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, нередко включаются в варианты ГИА и ВНО.

При решении задач данного типа полезно пользоваться наглядной моделью - схемой, в которой смесь (раствор, сплав) изображается в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соответствии с числом входящих в нее (в него) компонентов, а непосредственно при составлении уравнения - проследить содержание какого-нибудь одного компонента [6, c. 50-55].

Реализация межпредметных связей может быть осуществлена различными путями. Одним из наиболее эффективных способов достижения данной цели является решение прикладных задач из смежных дисциплин, позволяющих продемонстрировать учащимся применение математических методов для решения задач из других предметных областей. В качестве примера можно рассмотреть следующее задание.

Пример 1.1. Через какое время тело, брошенное вверх со скоростью 20 м/с, достигнет высоты 15 м? Может ли оно достичь 25 м?

Решение. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v движется по закону S=vt-gt²/2. Принимая приближенно g=10 м/с², имеем формулу S=vt-5t². Подставляя известные данные, получаем квадратное уравнение:
5t² - 20t+15 = 0. Решая данное уравнение, получаем ответ t=1с, t=3с.

Для ответа на второй вопрос вместо S подставим значение 25м. Полученное квадратное уравнение 5t² - 20t+25 = 0 не имеет корней, а, следовательно, нет такого значения времени t, при котором тело достигло бы высоты 25 м.

Решение данной задачи на уроке физики невозможно без умений решать квадратные уравнения, но и решение этой задачи на уроке математики требует от учеников знания основных физических формул, умений анализировать процессы, описанные в задаче. В частности, при решении первой части задачи, получилось два ответа. Почему? Ответ окажется очень простым, если вспомнить, что тело, брошенное вверх, достигнув определенной высоты, начинает падать. Поэтому тело оказывается на высоте 15м дважды : первый раз, когда оно движется вверх, и второй раз - когда оно падает.

Задачи подобного рода представляют большую ценность, поскольку позволяют продемонстрировать значимость математического материала для изучения других наук.

Другой способ реализации межпредметных связей заключается в том, что учитель приводит примеры из других учебных предметов, показывая, таким образом, ученикам, где еще можно встретить изучаемый материал.

Пример 1.2. Неравенства можно встретить не только в математике. В курсе физики учащиеся знакомятся с понятием силы Архимеда. Условия, при которых тело плавает на поверхности жидкости или тонет, записывается с помощью следующих неравенств:

F_A > mg ( тело плавает)

F_A < mg (тело тонет),

где F_A - сила Архимеда,

mg - сила тяжести.

Для наглядности изучаемого материала на уроках математики можно использовать блок-схемы, что показывает межпредметную связь между информатикой и математикой.

Блок-схема - это схема-рисунок, где с помощью условных знаков, определенных слов, черточек, символов и иногда отдельных предложений передается главное содержание материала. Блок-схема составляется и строится так, чтобы направить детскую мысль в нужное русло, благодаря алгоритмам, заложенным в нее, дает возможность активизировать умственную деятельность учащихся, развивать их творческую и познавательную активность, логическое мышление, речь. Блоки обычно составляют стержень, вокруг которого выстраивается урок с применением разнообразных приемов и средств обучения. Блок-схемы могут использоваться на всех этапах решения учебной задачи. [14]

Пример 1.3. Блок-схема для решения квадратных уравнений помогает наглядно представить случаи решения квадратного уравнения (см. рис.1.2.)

Рис.1.2. Блок-схема для решения квадратных уравнений

Перечисленные выше примеры показывают связь математики с предметами естественно-математического цикла, но это не означает, что невозможно осуществить связь математики с другими предметами, в частности, с предметами общественно-гуманитарного цикла .

Таким образом, математика и предметы естественного цикла взаимно дополняют друг друга. Это с одной стороны показывает практическую направленность математики, с другой стороны - при изучении предметов естественного цикла нельзя обойтись без математики.

1.3.2. Математика и предметы общественно-гуманитарного цикла

Математика в первую очередь основана на логике и расчетах, но на уроках математики необходимо использовать и элементы гуманитарных наук. Покажем на примерах, как можно реализовать связь математики с историей, литературой и русским языком.

Одна из важнейших целей, присутствующих на любом уроке - научить детей правильно говорить и грамотно писать. На уроках математики необходимо обратить особое внимание на реализацию этой цели. Следует требовать от учеников правильного написания математических терминов, четкого обоснования выполняемых действий, постоянного повторения правил и формулировок теорем, грамотной речи при устной работе. Некоторые учителя очень серьезно подходят к решению этой проблемы. Они предлагают детям завести специальные словарики, в которых пишут математические термины, обращают внимание на грамотность, и даже пишут потом словарные диктанты. Особенно эта форма работы необходима в 5-6 классах, когда внимание еще недостаточно развито и ученики допускают много ошибок. Во многих кабинетах математики есть специальные стенды «Пиши и говори правильно», содержание которых представлено математическими терминами с указанием правильного ударения и выделением тех частей слова, в которых можно допустить ошибку. [7, c.45]

Использование на уроках математики материала из художественных произведений, имеющего отношение к предмету, цитат известных людей о необходимости изучения математики позволяет внести в урок элементы занимательности и продемонстрировать связь математики с таким важным школьным предметом, как литература.

Пример 1.4. Живой человеческий характер Толстой представлял в виде дроби, в числителе которой были нравственные качества личности, а в знаменателе - ее самооценка. Чем выше знаменатель, тем меньше дробь, и наоборот. Чтобы становиться совершеннее, нравственно чище, человек должен постоянно увеличивать, наращивать числитель и всячески укорачивать знаменатель.

Нередко на уроках математики учителя используют дидактические стихи и сказки, которые несут с собой различные функции: контроля, обучающие, мировоззренческую. Например, сказка, в которой главный герой убеждается в необходимости изучения той или иной темы или математики вообще, может способствовать формированию мировоззрения. Стихи-загадки, или сказки-вопросы позволяют проконтролировать знания учеников по изучаемой теме. А стихи и сказки, в которых герои открывают для себя новые факты, способствуют изучению нового материала.

Пример 1.4. Загадка.

Нас трое в треугольнике любом.

Предпочитая золотые середины,

Мы центр тяжести встречаем на пути,

Ведущем прямо из вершины.

Как нас зовут? (Медианы).

Чтобы разгадать эту загадку ученики должны не только вспомнить определение медианы из курса геометрии, но и использовать сведения о том, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан, а это применяется чаще в физике, чем в математике. Таким образом, налицо реализация межпредметных связей математики не только с литературой, но и с физикой.

Другая форма работы, которая дает возможность заинтересовать учеников изучаемым материалом и позволяет им проявить свои творческие способности, - написание самими учениками математических сочинений, сказок и стихов по определенной теме или выполнение ими рисунков, например, «Математика в жизни людей», «Математика в жизни моих родителей» и т.п. Эта работа вызывает интерес у большинства учеников и при подготовке задания, и при выступлении перед одноклассниками. Такие задания могут быть предложены в качестве домашних, что позволит разнообразить самостоятельную деятельность учеников.[22, c.67]

Из всех предметов общественно-гуманитарного цикла, изучаемых в школе, культурную значимость содержанию математики и ее методам исследования придает, несомненно, история.

Реализация связи истории с математикой способствует не только возникновению и поддержанию интереса на уроке, но преследует более важную цель: формирование мировоззрения и общей культуры учащихся.

Элемент историзма в обучении математике - это любое единичное высказывание, любой единичный факт, имеющий непосредственное отношение к истории математики» (например, биографическая справка, цитирование первоисточника, демонстрация портретов математиков).

Пример 1.5. Из истории хорошо известно, что в Древнем Египте было развито земледелие. Для построения прямого угла землемеры использовали следующий прием. Веревку узелками делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем ее растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол, лежащий напротив стороны с 5 делениями был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц называют египетским.

На этом примере исторической справки показано, как математические знания появляются из практических нужд человека и затем используются людьми для решения практических задач.

В случае, когда к математическому объекту добавляется исторический факт, говорят об историзме в математическом понятии, формуле, теореме, задаче и др. математических объектах. Математические объекты, которым присвоены имена ученых, называют именными. Их изучение целесообразно сопровождать историческими экскурсами, включающими элементы биографии ученых. Поскольку задачи представляют собой математические объекты, с которыми приходится наиболее часто иметь дело на уроках математики, остановимся более подробно на историзме в математической задаче.

Историзм в математической задаче имеет место тогда, когда к условию задачи добавляется исторический факт (включенный в текст задачи или дополнительно).

Пример 1.6. Вспомните знаменитый ответ Фалеса египетским жрецам о том, как измерить высоту египетских пирамид: «Когда тень от моей палки будет равна самой палке, тень от пирамиды будет равна самой пирамиде». Но это лишь один раз в день. А как можно сделать это измерение в любое время дня?

Авторы статьи [21, с.42] отмечают: «Исторический факт или дополнение к задаче должны иллюстрировать одно или несколько следующих обстоятельств:

• значение задачи для развития математики;

• значение задачи для развития других наук;

• значение задачи для практики;

• происхождение задачи;

• эволюция методов решения задачи;

• другие реальные связи математики и истории (элементы биографии, библиографии, этнографии, хронологии и т.д.)» .

Среди подобного рода задач можно выделить несколько типов, которые наиболее часто используются на уроках математики.

Исторические задачи - это математические задачи, которые привлекают к себе внимание многих математиков на протяжении продолжительного периода времени (например, знаменитые задачи древности). Среди исторических задач также выделяются именные задачи.

Кроме исторических задач в методической литературе встречаются старинные задачи. Под старинными задачами понимают задачи из исторических математических источников, начиная с древнеегипетских математических папирусов и заканчивая сборниками отечественных старинных задач. Обычно такие задачи вызывают интерес, поскольку несут в себе полезную информацию практического и исторического характера.

Еще одним средством историзации являются хронологические таблицы, которые в понимании авторов представляют собой систему историко-математических фактов, построенную последовательно и характеризующую основные этапы развития в историческом времени какого-либо математического события, понятия, теоремы, жизни и творчества ученого.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод: существует большое разнообразие направлений реализации межпредметных связей математики с другими науками, в том числе и с общественно-гуманитарного направления. Их использование учителем на уроке является несомненным достоинством и способствует более полной реализации целей изучения математики в школе.

Выводы к разделу 1

Анализируя межпредметные связи как составляющую образовательного процесса, можно выделить, что проблема создания межпредметных связей давно волновала ведущих педагогов разных периодов истории педагогики. Основные функции межпредметных связей - образовательная, воспитательная, развивающая, которые тесно взаимосвязаны между собой. Осуществление межпредметных связей позволяет всесторонне и гармонически развить личность учащегося, оказывает эффектное влияние на образование и воспитание ребенка.

Межпредметные связи можно классифицировать по составу, по направлению действия и по способу взаимодействия составляющих элементов, а также и более детально, рассматривая типы и виды межпредметных связей в зависимости от их форм. Основные типы - содержательные, операционные, организационные, методические, односторонние, многосторонние, двусторонние, хронологические и хронометрические. Это показывает разнообразие межпредметных связей и тем самым дает возможность их использовать на разных этапах обучения. С помощью многосторонних межпредметных закладывается фундамент для комплексного видения, подхода и решения сложных проблем реальной действительности, идет подготовка учащегося к дальнейшей профессиональной работе по окончанию школы.

Математика является важной дисциплиной при изучении предметов естественного цикла. На основе знаний математики формируется расчетно-измерительные умения, развивается логическое мышление, умение математически моделировать происходящие процессы повседневной жизни. Математика тесно связана с такими учебными предметами, как физика, информатика, химия, черчение, экономика. Также на уроках математики учителю можно использовать элементы историзма, для элемента занимательности можно использовать дидактические материалы изобразительного искусства, литературы или языка.

РАЗДЕЛ 2
математика и физика в школьном курсе

Математика и физика обычно считаются наиболее трудными предметами школьного курса. Во все переходы формирования человеческого сознания эти направления научной мысли развивались взаимосвязано, стимулируя обоюдный прогресс. Непонимание школьниками и абитуриентами какого-либо вопроса из курса физики или неумение решить физическую задачу часто связаны с отсутствием навыков анализа функциональных зависимостей, составлением и решением математических уравнений, неумением проводить алгебраические и геометрические построения.

При изучении различных учебных дисциплин ученики школы получают всесторонние знания о природе и обществе, но простое накопление знаний еще недостаточно для эффективной подготовки их к трудовой деятельности. Выпускник школы должен уметь синтезировать знания, творчески применять их в разнообразных жизненных ситуациях. Формирование синтезирующего мышления школьника способствует осуществлению межпредметных связей при изучении ими основ наук, в частности физики и математики.

Физика занимает одно из важнейших мест в системе знаний о природе. Изучение физики в старших классах средней школы способствует превращению отдельных знаний учащихся о природе в единую систему мировоззренческих понятий. Современное преподавание требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявление сути физических законов на основе доступных школьнику понятий элементарной математике. Такой подход одновременно обеспечивает повышение уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального мира и показывает тесную взаимосвязь между математикой и физикой.

2.1.Особенности изучения физики в школьном курсе

Физика как наука о наиболее общих законах природы, выступая в качестве учебного предмета в школе, вносит существенный вклад в систему знаний об окружающем мире. Она раскрывает роль науки в экономическом и культурном развитии общества, способствует формированию современного научного мировоззрения. Курс физики в примерной программе среднего (полного) общего образования структурируется на основе физических теорий: механика, молекулярная физика, электродинамика, электромагнитные колебания и волны, квантовая физика. Особенностью предмета физика в учебном плане образовательной школы является и тот факт, что овладение основными физическими понятиями и законами на базовом уровне стало необходимым практически каждому человеку в современной жизни.[1, c.35]

2.1.1. Принцип и содержание связи физики с другими учебными
предметами

Принцип межпредметной связи лежит в основе изучения физики, поскольку это наука включает знания из других областей и в свою очередь необходима для их понимания. При рассмотрении многих явлений и процессов на уроках физики нужны знания математики, географии, химии, биологии и другие. Вместе с тем и для изучения этих учебных дисциплин необходимы глубокие и прочные знания физики и методов физической науки (например, применение понятий энергии и закона сохранения и превращения энергии в биологических процессах; физические явления, законы и методы в астрономии и т.д.). это значит, что в принципе межпредметных связей находит своё воплощение дифференциация и интеграция наук, которые в настоящее время развиты так хорошо [11, с. 24]. Эти процессы влияют и на развитие общего среднего образования.

Школьные программы по физике построены так, что большое внимание уделяется в них осуществлению межпредметных связей. При этом преследуются следующие цели [11, с.53]:

• формирование систематичности общего представления о природе на основе диалектического единства всех естественнонаучных знаний;

• обеспечение систематичности знаний (внутрипредметные и межпредметные связи), ведущеё к сознательному и прочному их усвоению, способствующей развитию научного мышления и памяти;

• выработка у учащихся умения устанавливать всесторонние связи между понятиями и теориями, отражающие объективно существующие отношения в природе;

• развитие естественнонаучного и научно-технического мышления;

Нужно помнить что реализация в процессе обучения межпредметных связей облегчает школьникам понимание нового материала, повышает эффективность учебного процесса.

Таким образом, физика имеет связи с другими предметами в школьном образовании.

2.1.2.Содержание межпредметных связей математики и физики

Связи между науками математики и физики многообразны и постоянны [1, 18]. Объектом чистой математики является весьма реальный материал: пространственные формы и количественные отношения материального мира. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершено отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное. Из этих соображений вытекает, что основным методом математики является метод абстракции. По способу отражения действительности она является аспектной наукой. Её предметной областью является вся действительность, другими словами, нет ни одной материальной области, в которой не проявились бы закономерности, изучаемые математикой. Таким образом, математика изучает количественные отношения и пространственные формы как существующих областей объектов, так и тех, которые можно «сконструировать»[ 12, c.123].

Физика, как наука, имеет своей предметной области фундаментальные свойства материи в двух её формах - в форме вещества и поля. Они представляют собой комплекс самостоятельных областей знания, объединённых исходными принципами, фундаментальными теориями и методами исследования. В начале физика главным образом исследовала свойства окружающих нас тел.

Однако уже на этом этапе изучались и некоторые общие проблемы - движение, взаимодействие тел, строение вещества, природа и механизм ряда явлений, например тепловых, звуковых, оптических. Следовательно первоначально физика была в основном объектной наукой. Но в ХХ веке главным объектом физики становятся фундаментальные явления природы и описывающие их законы.

Математика как наука сформировалась первой, но по мере развития физических знаний математические методы находили всё большее применение в физических исследованиях.

Взаимосвязи математики и физики определяются прежде всего наличием общей предметной области, изучаемой ими, хотя и с различных точек зрения. Взаимосвязь математики и физики выражается во взаимодействии их идей и методов. Эти связи можно условно разделить на три вида, а именно [11, c.132]:

1. Физика ставит задачи и создает необходимые для их решения математические идеи и методы, которые в дальнейшем служат базой для развития математической теории.

2. Развитая математическая теория с её идеями и математическим аппаратом используется для анализа физических явлений, что часто приводит к новой физической теории, которая в свою очередь приводит к развитию физической картины мира и возникновению новых физических проблем.

3. Развитие физической теории опирается на имеющийся определенный математический аппарат, но последний совершенствуется и развивается по мере его использования в физике.

Исходя из вышеперечисленного, физика и математика имеют очень много общего в выражении идей и методов познания явлений природы и свойств окружающих тел.

2.1.3. Взаимосвязь обучения физике и математике

Современный курс математики построен на идеях множества, функции геометрических преобразований, охватывающих различные виды симметрии. Школьники изучают производные элементарных функций, интегралы и дифференциальные уравнения. Математика не только дает физики вычислительный аппарат, но и обогащает её в идейном плане.

На уроках математики школьники учатся работать с математическими выражениями, а задача преподавания физики состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с переходом от физических явлений и связей между ними к их математическому выражению и наоборот [11, c.138].

Одно из центральных математических понятий в школьном курсе физики - понятие функции. Это понятие содержит идеи изменения и соответствия, что важно для раскрытия динамики физических явлений и установления причинно-следственных отношений.

В школьном курсе математики рассматривают координатный метод, изучают прямую и обратную пропорциональные зависимости, квадратичную, кубическую, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, строят их графики, исследуют и применяют их основные свойства.

Все это позволяет школьникам осмысливать математические выражения физических законов, с помощью графиков анализировать физические явления и процессы, например всевозможные случаи механического движения, изопроцессы в газах, фазовые превращения, колебательные и волновые процессы, спектральные кривые электромагнитных излучений и др. [2].

Усвоение координатного метода помогает также сознательно пользоваться понятием системы отсчета и принципом относительности движения при изучении всего курса физики и особенно основ теории относительности и релятивистских эффектов.

Знание понятия производной позволяет количественно оценить скорость изменения физических явлений и процессов во времени и пространстве, например скорость испарения жидкости, радиоактивного распада, изменения силы тока и др.

Умение дифференцировать и интегрировать открывает большие возможности для изучения колебаний и волн различной физической природы и вместе с тем для повторения основных понятий механики (скорости, ускорения) более глубоко, чем они трактовались при введении, а также для вывода формулы мощности переменного тока и др. Пользуясь идеями симметрии, с которыми учащиеся знакомятся на уроках математики, можно физически содержательно рассмотреть строение молекул и кристаллов, изучить построение изображений в плоских зеркалах и линзах, выяснить картину электрических и магнитных полей [2].

Тесная связь между школьными курсами физики и математики является традиционной. В результате коренной перестройки преподавания этих дисциплин связь между ними усилилась, однако имеют место и некоторые нарушения [2], и хотя они не столь уж значительны знание их позволит учителю физики более эффективно построить преподавание предмета.

1. В ряде случаев новые математические понятия вводятся на уроках физики раньше, чем математики:

- при изучении колебаний математического маятника в 8 классе, нет возможности работы с формулой периода маятника, т.к. понятие «квадратный корень» на уроках алгебры еще не рассматривается, это понятие будет рассматриваться только в конце 8 класса.

- Понятия аргумента ∆х и приращения функции ∆f вводятся в математике позже, чем в физике при изучении мгновенной скорости в начале 10 класса. В этом месте курса физики понятия приращения аргумента и приращения функции ещё выражены нечётко, к тому же время является скалярной величиной, а перемещение - векторной, в то время как в математике 10 класса вводится понятие приращения лишь для скалярных величин.

- С радианным измерением углов учащиеся также знакомятся раньше на уроках физики, а не математики: в математике о радианном измерении углов впервые говорится в 10 классе, а в физике оно рассматривается уже в начале 10 класса в связи с изучением угловой скорости.

- Понятие предела рассматривается в 11 классе на уроках математики, но в физике несколько раньше, в 10 классе, при изучении мгновенной скорости. Приходится знакомить учащихся с понятием мгновенной скорости лишь качественно, на основе идеи непрерывности движения: «Мгновенная скорость - скорость в каждой конкретной точке траектории движения в соответствующий момент времени». И когда проводится анализ уравнения Менделеева - Клапейрона , сказано следующее: «Это давление исчезает лишь при m0 или V∞, а также при Т0 [2]. Разъясняя ученикам этот материал, учитель физики должен здесь пользоваться интуитивным понятием предела, предварительно выяснив, как изменяется дробь, когда числитель неограниченно уменьшается, знаменатель неограниченно возрастает, а числитель не меняется.

2. Имеют место случаи, когда чисто математические понятия в математике не рассматриваются, а в физике вводятся и используются. В геометрии подробно рассматриваются операции сложения вычитания векторов, умножение вектора на число, и совершенно отсутствует понятие проекции вектора на ось.

3. Не всегда на уроках физики используются некоторые математические понятия, которые прочно утвердились в математике. В физике не пользуются понятием противоположных векторов и нулевого вектора, хотя они известны учащимся из курса геометрии 8 класса [14].

4. В учебниках физики и математики иногда используется различная терминология.

- В учебниках математики вместо старого термина «абсолютная величина числа» применяется термин «модуль числа». В учебниках по физике продолжают пользоваться термином «абсолютная величина».

- В школьном курсе математики применяется термин «длина вектора», поскольку рассматриваются исключительно геометрические векторы. В школьном же курсе физики пользуются терминами «модуль вектора» и «абсолютное значение вектора».

5. Иногда в школьных курсах математики и физики имеет место несоответствие между символикой.

Хотя эти нарушения не столь уж значительны, знание их позволит учителю физики более эффективно построить преподавание предмета.

Делая вывод по всему выше сказанному, можно сказать, что успешное решение задач обучение во многом зависит от реализации внутри- и межпредметных связей.

Выводы к разделу 2

Физика как наука о наиболее общих законах природы, выступая в качестве учебного предмета в школе, вносит существенный вклад в систему знаний об окружающем мире . Физика имеет связи с другими предметами в школьном образовании, не только естественного цикла, но и гуманитарного. Однако наиболее тесная связь физики именно с математикой, что объясняется наличием общей предметной области, изучаемой ими, хотя и с различных точек зрения.

В общеобразовательной школе изучение математики и естественных дисциплин происходит параллельно, и таким образом, математика часто используется в физике и в определённой мере даже определяет ход физического образования. Преподавание физики и математики необходимо строить на взаимном использовании элементов математики в курсе физики и физических представлений при изучении алгебры и начала анализа. Это способствует решению трех главных дидактических задач:

1. Повышение научности последовательности учебной информации;

2. Стимулированию познавательных интересов и активного отношения школьников к усвоению знаний и вследствие этого ускорение их умственного развития;

3. Формирование у учащихся научного мировоззрения.

Математический аппарат, используемый на уроках физики необходимо предварительно определить в соответствии с фундаментальными фактами, понятиями и теориями, содержащимися в учебной информации курса физики.

раздел 3
Основные понятия математики в изучении физики

3.1. Понятие дроби и степени

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, - понятие о числе. Это понятие является одним из базовых понятий математики, и его усвоение имеет для учащегося большое значение. Знакомство с понятием дробного числа происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби расширяется и углубляется. В связи с этим, учителю необходимо хорошо владеть методами ознакомлении с дробными числами, обучению действиям, научить видеть взаимосвязи между множествами натуральных и рациональных чисел, и, в конечном счёте, полноценному усвоению понятия рационального числа. Понятие дроби и действия с дробями не являются такими элементарными как представляется математикам и учителям математики. Нередко действия с дробями вызывают серьезные затруднения даже у старшеклассников [2].

Первое знакомство с обыкновенными дробями происходит в 3 классе параллельно изучению натуральных чисел. Систематическое изучение дробей начинается в 5 классе. Десятичные дроби не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. В математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются десятичные дроби. Обыкновенные дроби в вычислениях используются гораздо реже.

В методике математики существуют различные подходы к порядку изучения обыкновенных и десятичных дробей: 1) вначале изучаются обыкновенные дроби, затем - десятичные (традиционный подход), 2) вначале изучаются десятичные дроби, затем - обыкновенные, 3) смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется. Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в 5 классе. После этого в 6 классе вновь возвращаются к обыкновенным дробям: изучают сравнение произвольных дробей, арифметические действия над ними. Понятие процента примыкает к понятию десятичной дроби. Проценты - это новая форма записи десятичных дробей со знаменателем 100: 1%==0,01, 15%==0,15 и т.д..

В математике существует такое понятие как «степень». Степень - это произведение нескольких равных сомножителей. У степени есть основание, равное одному из таких сомножителей. Так же есть показатель степени, в которую возводится один из таких сомножителей. Например, 2³ = 2 * 2 * 2 = 16, где 2 - это основание степени, а 3 - это её показатель.

При изучении понятия степень в школе получаем следующую последовательность:

- степень с натуральным показателем (7 класс)

- степень с нулевым и целым отрицательным показателем (7 класс)

- степень с рациональным нецелым показателем (11 класс)

- степень с иррациональным показателем (11 класс).

Физика начинает изучаться в школьном курсе с 7 класса.

В курсе математики 5-6 классов учащиеся получили знания об измерении величин. Они имеют понятие о том, что каждую величину измеряют с помощью соответствующей ей единицы измерения. При этом измеряемая величина и единица должны быть однородными величинами, т.е. длину можно измерять единицей длины, площадь - единицей площади и т. п.

Особенности начала изучения физики следующие: Во-первых, школьники обладают еще малым запасом физических знаний. Во-вторых, учащиеся уже имеют некоторую математическую подготовку (запас математических знаний), на которую можно опираться преподавателю физики (понятие числа, буквенные обозначения величин, пропорции, решение уравнений, метод координат, построение графиков, округление числа, измерения площади прямоугольника и объема параллелепипеда). В-третьих, элементы физики они изучали в курсе познания мира, там же учились наблюдать, производить опыты с простейшими приборами. В-четвертых, ряд сведений и практических умений, необходимых для изучения физики в 7 классе, школьники получили в трудовом обучении, в их числе: измерение, использование инструментов, понятие о механических свойствах тел, применение простых механизмов и др. Все это надо учесть при подготовке к уроку физики в 7 классе [5].

Курс математики 5-6 классов формирует определенные умения, в частности измерение длины различными единицами измерения (километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр). В курсе математики 5 класса приводится вывод формулы для вычисления длины пути s = vt и разбирается решение простых задач на определение скорости v и времени t с помощью уравнений. При этом используют общепринятые обозначения: км/ч, км/мин, м/с. Несмотря на умение решать простейшие уравнения, учащиеся недостаточно подготовлены к решению физических задач в общем виде и получению результата с подстановкой числовых данных. Это следует учесть на уроках физики.

Первая формула, которую изучают в физике 7 класса - формула плотности , разбираются решения задач на определение массы m и определения объема V.

Уже при работе с этой формулой учащиеся должны хорошо понимать, что такое обыкновенная дробь, что существует связь между делением и обыкновенной дробью. (см. Приложение А)

В старших классах в основном физические формулы представлены именно в виде дробей. Например, в 7 классе при изучении оптики - формула тонкой линзы , формула освещенности E = ; в 8 классе - при изучении механического движения - понятие периода колебаний
или T = , при изучения понятия давления p = , определения кинетической и потенциальной энергии ( соответственно E_к = и E_п = ), понятия коэффициента полезного действия (КПД) . Можно привести большое количество примеров физических формул, записанных именно в виде дробей. Решение задач с применением таких формул требует от учащихся умения выполнять действия с дробями.

При решении задач физики иногда приходится округлять полученный результат, полученный в виде десятичной дроби. Округление чисел - это математическое действие, которое позволяет уменьшить количество цифр в числе, заменяя его приближенным значением. Округление чисел применяют для удобства при измерениях и расчетах.

Одним из важных факторов успешного решения задачи физики является точность измерений (не путать с точностью вычислений).

Пример 3.1.:

16 августа 2009 года в Берлине на ЧМ по легкой атлетике легендарный Усейн Болт установил феноменальный рекорд в беге на 100 метров - 9,58 секунды.

Из этого сообщения имеем два измерения (расстояние и время), в каждом из которых по три значащих цифры. Значащими цифрами считаются те, которые были фактически получены в ходе измерения.

Чтобы определить среднюю скорость мирового рекорда, надо разделить путь на время. Получим 10,4384133611 м/с. Казалось бы, получили очень точный результат средней скорости атлета. Однако это не верно. После измерения расстояния и времени были получены по три значащие цифры, то точность измерений не может возрасти до пяти-семи-десяти… значащих цифр.

В этом примере следует ограничиться тремя значащими цифрами, т.е., средняя скорость У.Болта будет равна 10,4 м/с.

Здесь применялось и округлении числа. Правило округления очень простое: если цифра справа от округляемой равна или больше 5, то округление выполняется в сторону увеличения; в противном случае - в сторону уменьшения. Например: 1,92=1,9; 2,47=2,5; 39,6=40

Если сказать, что У.Болт пробежал 100,00 м за 9,58 с, то в измерении расстояния теперь указано пять значащих цифр Чтобы правильно вычислить среднюю скорость спортсмена, надо придерживаться следующих правил определения чисел с разным количеством значащих цифр: при умножении или делении чисел результат будет иметь то же количество значащих цифр, что и исходное число с наименьшим количеством значащих цифр.

При сложении или вычитании чисел нужно расположить их в столбик и выровнять по положению десятичной запятой - самая последняя значащая цифра в результате будет соответствовать самой правой значащей цифре в том столбце, в котором все числа в столбике имеют значащие цифры.
Например:

Округляем до 8,4

Также буквально с первых шагов изучения физики школьники сталкиваются со стандартной формой записи числа, которое изучается на уроке алгебры 7 класса. Число, записанное в стандартной форме, имеет вид:

а = ,

Число m является целым числом или десятичной дробью, удовлетворяет неравенству

,

и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме [14].

Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме.

Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:

,

Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.

Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел.

Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.

Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа

и ,

то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.

Если же сравнить между собой числа

и ,

то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.

Такая форма записи числа удобна при решении задач физики:

Пример 3.2.:

Определите, за какое время космический корабль, летящий со скоростью 11 000 м/с, пролетит расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 км.

Решение:

Пример 3.3.:

Масса Земли 5 980 000 000 000 000 000 000 000 кг, а масса Марса 640 000 000 000 000 000 000 000 кг. Во сколько раз масса Земли больше массы Марса?

Из рассмотренных примеров, видно, что при изучении понятий физики и решении физических задач требуется прочное знание понятий и приемов вычисления математики. Физические формулы часто записываются в виде дробей, физические величины - в стандартной форме числа или в виде десятичной дроби, а при вычислениях и измерениях необходимо уметь округлять числа.

3.2.Функция как важнейшее звено межпредметных связей

В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в реализации межпредметных связей [14].

Функция является одним из основных понятий математики, выражающих зависимость одних переменных величин от других. Как и остальные понятия математики, оно сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития, опираясь в начале на представление о переменной величине, а затем на понятия теории множеств.

Понятие функция начинает изучаться в 7 классе на уроке алгебры. Трактовка функции как зависимости одних переменных величин от других вводится следующим образом. Если величины x и y связаны так, что каждому значению х соответствует определенное значение y, то y называют функцией аргумента х.

Соотношение между x и y записывают так: . Если связь между х и y такова, что одному и тому же значению х соответствует несколько значений y, то у называют многозначной функцией аргумента х.

Иными словами, это можно сформулировать следующим образом [11], чтобы задать функцию , следует указать: 1) множество значений Х, которое может принимать х (область задания функции); 2) множество значений Y, которое может принимать у (область значения функции); 3) правило, по которому значения х из Х соотносятся со значениями у из Y. В физике чаще всего правило отнесения значениям х соответствующих им значений у задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы получить у.

Функция иногда задается своим графиком, те есть множеством точек х, у - плоскости, у которой х принадлежит области задания функции, а .

Развитие математики в XIX-XX вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия функции. Оно заключалось, с одной стороны, в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел на переменные объекты любой природы, с другой стороны, в определении понятия «функция» без упоминания о её аналитическом изображении. Такое определение функции стало возможным благодаря развитию теории множеств.

Понятие «множество», которое вводится в школьный курс в алгебре 10 класса, можно представить себе как совокупность некоторых объектов, объединенных между собой по какому-либо признаку. Важным вопросом, возникшим в применении к множествам, был вопрос об их количественном сравнении между собой. Возможность сравнительной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами . Если каждому элементу множества Х поставлен в соответствие в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный элемент множества Y и при этом каждый элемент множества Y оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Х, то говорят, что между множествами Х и Y установлено взаимно однозначное соответствие.

Общее определение однозначной функции можно сформулировать следующим образом: пусть А и В - два множества, составленные из элементов любой природы, и М - множество упорядоченных пар, такое, что каждый элемент х, принадлежащий А , входит в одну и только одну пару из М; тогда М задает на А функцию . Множество А называют областью определения функции , а множество В - областью значения этой функции.

Понятие функции играет в физике исключительно важную роль. По существу любой физический закон лишь тогда считается четко сформулирован, когда ему придана математическая форма, точнее - если он записан в виде некоторой функциональной зависимости между физическими величинами.

Важно учитывать и другой факт. Не всякая формула, связывающая физические величины, выражает причинно-следственную зависимость между ними. В ряде случаев аналитическая запись отражает лишь определенное соответствие между физическими величинами. Примерами могут служить формулы для расчета плотности твердых тел (), удельной теплоты плавления (). На основании, например, первой формулы можно, казалось бы, сказать, что при , но такое (математически правильное) высказывание неверно с физической точки зрения.

Функциональное соответствие, связывающее давление Р и объем V идеального газа при постоянной температуре (закон Бойля - Мариотта), записывается так: .

При изотермическом процессе причиной изменения давления идеального газа служит изменение его объема, и наоборот. Причинно-следственную связь между физическими величинами для этих и аналогичных случаев назовем взаимной.

Понятие «функция» является одним из важнейших как в курсе математики, так и в курсе физики и позволяет воспринимать зависимость разных величин как изменяющийся процесс. Однако существует принципиальная разница в понимании этого понятия в математике и физике. Понятие «функция» рассматривается в математике с седьмого по одиннадцатый класс. Количество часов выделяемых на изучение темы «функция» в разных классах не позволяет научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции. Математическая функция понятие абстрактное. Функциональная зависимость физических величин наполнена конкретным содержанием, и важно понимать физический смысл входящих в формулу величин [14]. В курсе физики существует многообразие задач требующие для своего решения функционального подхода.

3.3. Построение и анализ графиков при изучении физики

Первое знакомство с графиками ученики получают на уроках математики в 6 классе. При этом они учатся строить графики движения пешехода, поезда, температуры (по таблице), находить по графику значение одной переменной, если задано значение другой переменной. При вычерчивании графиков на уроках физики учащиеся применяют знания по математике и развивают представления о функциональной зависимости. Обращают внимание на то, что при рассмотрении физических закономерностей широко используют графики, причем координатные оси обозначают символами тех физических величин, зависимость между которыми исследуется графиком. Рядом с буквенным обозначением через запятую записывают единицы измерения физических величин. Говорят, например, что данный график представляет собой зависимость пути от времени [18]. Иногда учащиеся отождествляют график с траекторией движения. Чтобы избежать такой ошибки, которая встречается в знаниях учащихся по физике не только в 8, но и в 10 классе, следует научить их читать и анализировать графики движения. С этой целью прежде всего надо организовать активную работу школьников с графиками, которые приведены в учебнике физики. При решении графических задач учащиеся получают навыки в чтении и анализе графиков пути и скорости равномерного движения, а по этим графикам они смогут определить скорость или пройденный путь.

3.3.1.Линейная функция и ее график

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x - независимая переменная, k и b - некоторые числа.

Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику фунции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Пример 3.4. Построить график функции ,

Для построения графика удобно взять x = 0 и x = 3, тогда ординаты эти точек будут равны y = 2 и y = 3.

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции (см. рис.3.1.)

Рис. 3.1. График линейной функции

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо

если k < 0, то график наклонен влево

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b > 0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY

если b < 0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kxсдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY

Если k=0 , то функция y = kx + bпревращается в функцию y = b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y = b равны b

Если b=0, то график функции y = kx проходит через начало координат:

Для рассмотрения практического применения графика линейной функции при решении задач физики целесообразно рассмотреть прямолинейное равномерное движение (физика 8 и 10 класс). Движение называется равномерным прямолинейным, если траектория есть прямая линия и точка за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния [18].

При равномерном прямолинейном движении скорость v_x=const, следовательно, и её модуль v=const, т.е. не изменяется с течением времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как v>0( см. рис. 3.3).

Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определённом масштабе есть v, а сторона ОС - время движения t, поэтому s=vt.

v

A B

O C t

Рис. 3.3.График скорости равномерного прямолинейного движения

При равномерном прямолинейном движении путь s прямо пропорционален времени t, так как модуль скорости v=const: s=vt. Следовательно, графиком, выражающим зависимость пути от времени, является прямая, выходящая из начала координат (s(0)=0). Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график с осью времени. Для того, чтобы по графику зависимости пути от времени определить путь, пройденный телом за определённой промежуток времени, надо из точки на оси времени, соответствующей концу промежутка, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из этой точки опустить перпендикуляр на ось s.точка пересечения его с этой осью даст значение пути в данный момент времени. На рис.3.4. представлены графики пути 1 и 2 для двух движущихся тел.

v

O t

Рис. 3.4. График пути равномерного прямолинейного движения

Так как координата при равномерном прямолинейном движении является линейной функцией времени х=х₀+v_xt, то графиком зависимости координаты от времени является прямая линия. По графику зависимости х(t) можно судить о прошлом в движении тела, т.е. можно находить положение тела до начала отсчета времени, при условии, что и до этого момента тело двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчёта считаются отрицательными.

Все графики равномерного прямолинейного движения представляют собой прямые линии. Для их построения достаточно указать значения х(t) или s(t) для двух моментов времени. На рис. 3.5. приведены графики зависимости координаты от времени для трех случаев.

Рис. 3.5. Графики зависимости координаты от времени при
прямолинейном равномерном движении

В Приложении Б предложен фрагмент урока для 8 класса «Экспериментальное определение зависимость силы тяжести от массы тела». Данный эксперимент наглядно демонстрирует, что такое линейная зависимость между величинами и практическое построение графика линейной функции.

3.3.2. Графики квадратичной функции

Квадратичная функция - это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( см.Рис. 3.6. ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

Рис. 3.6. Квадратная парабола

График функции y = ax² + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D = b² - 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.3.7.

Рис. 3.7. Графики квадратичной функции

В физике данный вид графика используется при рассмотрении координаты и перемещения при равноускоренном (равнозамедленном движении) в 10 классе. Равноускоренное движение - это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение - это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 3.8. Перемещение определяют по формуле:

Рис. 3.8. Зависимость перемещения тела от времени.

3.3.3. Графики гармонических колебаний

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Примеры колебательных систем

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением x = x_m cos (ωt + φ0).

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, xm - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Графиком такого процесса в данном случае является косинусоида, представленная на рис. 3.10.

Рис. 3.10. График гармонического колебания

Таким образом, были рассмотрены примеры графиков функций, которые описывают физические процессы.

3.4. Понятие вектора

Понятия вектора и действий с векторами в школьном курсе вводится в 9 классе средней школы при изучении механики и математики.

С понятием «вектор» учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса [13].

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом . Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой либо выделяют жирным шрифтом: , a. Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце:

Длина вектора называется его модулем и обозначается символом . Вектор , у которого , называется единичным. Вектор называется нулевым (обозначается ), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут . Все нулевые векторы считаются равными.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости). Такой вектор называется свободным.
Пример 3.5.

Рассмотрим квадрат ABCD. На основании определения равенства векторов можно записать:
и , но , , хотя .
Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается . Для вектора противоположным является вектор .

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», т.е. в обычном трехмерном пространстве в классической физике или в четырехмерном пространстве-времени в современной физике.

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, т.е. любой вектор любого сколь угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идет не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определенной их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. В физике векторами чаще всего, а векторными величинами - практически всегда - называют векторы двух сходных между собою классов:

1. в классической физике (классической механике, электродинамике в классической трехмерной формулировке и в других областях физики, преимущественно сформировавшихся до начала ХХ века) векторными величинами или просто векторами называют, как правило, векторы обычного трехмерного пространства - т.е. обычные "геометрические" векторы или, быть может, отличающиеся от таковых на скалярный множитель (в том числе и на множитель размерный);

2. в релятивистской физике (начиная с Пуанкаре, Планка и Минковского) и, в значительной степени, в современной теоретической физике под векторами и векторными величинами понимаются прежде всего векторы четырехмерного пространства-времени;

3. в квантовой механике, квантовой теории поля итд слово «вектор» стало стандартно применяться и для обозначения такого объекта, как вектор состояния.

Примеры векторных физических величин: скорость, сила, поток тепла.

Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.

Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого равен , можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [ 13].

При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.

Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости

и уравнением для координаты

,

где х₀ - координата начальной точки, V_0x и a_x - проекции векторов на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.

.

Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух независимых уравнений:

.

Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения упрощаются и принимают вид:

.

Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути (путь - скалярная величина, равная длине траектории):

.

Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у учащихся при вычерчивании графиков.

Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.

Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом : , где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это же уравнение записывается так:

.

Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий прем. Допустим, что к телу приложены две силы и . Тогда телу сообщается ускорение , направленное в сторону равнодействующей

Если спроецировать вектора и на произвольную ось х, то, учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми, можно записать:

.

Откуда , где - проекция равнодействующей на ось х.

Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме проекций приложенных сил, то есть

,

следовательно, .

Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на проекцию ускорения по этой же оси.

В практике средней школы встречаются физические задачи, которые сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть уравнения динамики, а другие - кинематики. Если в задаче рассматривается равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости имеет вид , формула пути будет, а формула выразится так .

Пример 3.5. «Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько времени продолжается торможение?»

Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу приложены три силы: сила тяжести , сила реакции (направленная нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления . Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем соответствующее уравнение динамики:

, так как

поскольку , то .

Между тем для проекций на ось х уравнение динамики имеет вид:

откуда (поскольку и ) получим:

, или (где и - модули векторов и ).

Искомую величину - время - можно определить из уравнений кинематики:

Если теперь выразить проекции векторов через их модули, то получим:

Откуда находим, что , или . Поскольку , то .

Пример 3.6.

Движение тел по наклонной плоскости.

Чтобы удержать тело на наклонной плоскости с углом наклона 30° при основании, надо приложить минимальную силу 100 Н, направленную параллельно наклону. Чтобы втащить тело наверх, нужно, чтобы та же сила была не менее 200 Н. Найдите коэффициент трения.

В задаче рассматривается два случая:

- тело находится в покое на наклонной плоскости. Оно скатывается под действием силы тяжести. Ей противодействует сила трения + минимальная сила. Значит, эта сила должна быть сонаправлена с силой трения.

- тело поднимают вверх равномерно. В этом случае сила трения мешает движению и направлена в сторону, противоположную движению.

Таким образом, вектор и векторная величина часто используется при решении физических задач кинематики и механики. И очень важно, чтобы учащиеся понимали что такое вектор, какие физические величины являются векторными.

3.6. Формирование физико-математических понятий: производная,
первообразная и интеграл в школе

Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, , или

Если при некотором значении x, например при x=a, отношение при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Выясним геометрический смысл производной. Для этого рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀ f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.

Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x0), так как

a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

Выясним физический смысл производной. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.V_ср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0. lim V_ср (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент времени t₀ , ∆t → 0. А lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной). Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x Î [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x - переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника

х"(t) + ω2x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины

(H/m).

Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких

уравнений является функция у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,φ₀ - начальная фаза.

В Приложении В рассматриваются примеры задач на применение производной при решении задач физики. В приложении Г представлен конспект интегрированногоурока (математика +физика) в 11 классе по теме «Производная. Применение производной». Этот урок был опробован на уроке автором дипломной работы (видеоматериал прилагается).

Интеграл, одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа - является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

1. Задача о пройденном пути. Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени , если известен закон изменения мгновенной скорости v = v (t). Разобьем отрезок моментами времени (точками) на n отрезков времени (частичных отрезков) и положим Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: . Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки движение на каждом из них можно считать равномерным, что дает для пути приближенное выражение где - одна из точек сегмента . Эта сумма тем точнее выражает искомый путь s, чем меньше каждый из временных отрезков , k = 1, 2, ..., n. Поэтому за путь s, пройденный точкой в течение промежутка времени со скоростью v = v (t), естественно принять предел указанной суммы при λ→0:

2. Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть требуется найти площадь плоской фигуры ограниченной графиком функции у = f (х), непрерывной и неотрицательной на отрезке [a ; b], и отрезками прямых . Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем [a ; b] точками на n частичных отрезков и положим . Наибольшую из этих разностей обозначим через λ: . На каждом частичном отрезке , = l, 2, ...,n, выберем произвольную точку . Произведение даст площадь прямоугольника, имеющего основание и высоту , а сумма - приближенно площадь S криволинейной трапеции aABb. Отсюда, как и в предыдущей задаче,

Межпредметные связи физики и математики при формировании таких понятий, как функция, величина, производная, первообразная и интеграл имеют ряд трудностей: во-первых, позднее изучение в курсе математики названных понятий затрудняет преподавание, например, механики в курсе физики; во-вторых, изучению всего курса физики препятствует недостаточное использование математического аппарата, которое происходит либо из-за позднего его формирования у учащихся, либо из-за отсутствия согласованности действий преподавателей физики и математики в использовании общих физико-математических понятий.

Выход из создавшейся ситуации состоит в совместном формировании у учащихся понятий математического анализа в курсе физики и математики. Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических понятий - мгновенная скорость, мгновенная ускорение, перемещение, работа и т. д., так и математических - производная, первообразная и интеграл.

Выводы к разделу 3

Понятие о числе - одно из первых математических понятий, с которым приходится встречаться при знакомстве с физикой. Учащиеся должны хороша разбираться, как правильно записывать число, уметь работать с обыкновенными и десятичными дробями, округлять числа.

При описании физических явлений решении задач по физики требуется работа с формулами, применение математических понятий функциональной зависимости между величинами, умение строить и анализировать графики.

Особое внимание в физике уделяется понятиям «вектор» и «векторная величина», которые особенно часто приходится применять при решении задач по механике.

Элементы высшей математики, такие понятия как «производная», «первообразная», «интеграл» можно применять в старшей школе, однако сложности применения этих понятий в том, что в физике они изучаются несколько раньше, чем в математике.

выводы

В общеобразовательной школе изучение математики и естественных дисциплин происходит параллельно, и таким образом, математика часто используется в физике и в определённой мере даже определяет ход физического образования. Преподавание физики и математики необходимо строить на взаимном использовании элементов математики в курсе физики и физических представлений при изучении алгебры и начала анализа. Это способствует решению трех главных дидактических задач:

1. Повышение научности последовательности учебной информации;

2. Стимулированию познавательных интересов и активного отношения школьников к усвоению знаний и вследствие этого ускорение их умственного развития;

3. Формирование у учащихся научного мировоззрения.

Математический аппарат, используемый на уроках физики необходимо предварительно определить в соответствии с фундаментальными фактами, понятиями и теориями, содержащимися в учебной информации курса физики.

Наиболее важными выводами дипломной работы являются следующие:

1. межпредметные связи позволяют развить всесторонне личность учащегося, стимулируют развитие творческой деятельности, прививают интерес к обучению;

2. математика имеет тесную связь с предметами естественно-научного цикла, раскрывая практическое применение математических умений и навыков;

3. при изучении предметов школьного курса целесообразно реализовать связь математики с историей, литературой и русским языком, что повышает познавательный интерес учащихся к изучаемым дисциплинам;

4. математика и физика - наиболее сложные предметы школьного курса, которые дают учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека;

5. при изучении математики и физики школьного курса возникает ряд трудностей - новые математические понятия вводятся на уроках физики раньше, чем математики; не всегда совпадает терминология понятий и процессов;

6. основными понятиями математики при изучении физики являются: понятия числа, дроби и степени; понятие функции и способы ее представления; понятие вектора и векторной величины; понятия производной, первообразной и интеграла;

7. для реализации межпредметных связей школьного курса математики и физики имеется большой практический материал: разработки уроков, примеры решений задач; рекомендации проведения уроков.

Приложения

Приложение А

Фрагмент урока

физики в 7 классе по теме «Плотность вещества»

(этап изучения нового материала)

Сегодня на уроке мы будем говорить о таком физическом понятии как плотность вещества. Запишем тему урока «Плотность вещества».

Демонстрация опыта с телами разной массы (по взвешиванию тел, жидкостей).

Вещества, в силу разного строения, в равных объемах имеют разные массы. Понятие «масса» относится к телу, а понятие «плотность» - к веществу, из которого изготовлено тело.

Плотность вещества - это физ. величина, характеризующая состояние вещества и показывающая, чему равна масса вещества в единице объема.

Чтобы найти плотность вещества необходимо определить массу и объем тела.

m -масса тела;

V - объем тела;

ρ - плотность тела («ро»)

Единицей плотности в СИ является ρ=

Очень часто плотность выражают в г/см³_.

Найдем правило перевода из одной размерности плотности в другую.

Приложение Б

Экспериментальное определение зависимости силы тяжести от массы

(фрагмент урока физики 8 классе)

Оборудование:

• динамометры;

• наборы грузов массой по 100 г.

Задание 1. Определить цену деления, пределы измерения и погрешность динамометра.

Задание 2. Измерить силу тяжести, действующую на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й грузы.

Задание 3. Записать результаты опыта в таблицу.

Задание 4. Построить график зависимости силы тяжести от массы тела: Fт (m). Сделать вывод.

Задание 5. Определить коэффициент пропорциональности.

Результаты работы:

По результатам измерений заполняем таблицу для построения графика Fт(m):

m, кг

0

0,1

0,2

0,3

0,4

F, H

0

1

2

3

4

График Fт(m) имеет вид, представленный на рисунке. Между силой тяжести и массой тела существует прямая пропорциональная зависимость, т.е. чем больше масса тела, тем большая сила тяжести на него действует: Fт ~ m

Чтобы определить коэффициент пропорциональности, воспользуемся формулой: g = , выбрав значения из таблицы.

Получаем g = = 10 (Н/м), что соответствует приближенному значению g, приведенному в учебнике.

Приложение В

Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1. Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Решение: Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки. Высота y(t) описывается формулой: ,так как движение равноускоренное. В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t², из которого ; В этот момент по т. Пифагора, т.е. .Скорость его изменения Ответ:

Задача 2. Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Решение: Скорость капли , её кинетическая энергия в момент t равна Исследуем функцию на наибольшее с помощью производной: =0 t₁=0 t₂=1 (t>0). При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение. Ответ: при t =1 сек.

Приложение Г

Интегрированный урок (математика + физика) по теме «Производная. Применения производной», 11-й класс

Цель интегрированного урока - дать учащимся всесторонние (углубленные и расширенные) знания о предмете изучения, его целостную картину. Основные его свойства - синтетичность и универсальность. Он позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не только данной темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в познавательный процесс.

По своей структуре он является повторительно-обобщающим.

Ход урока

Рада видеть всех, присутствующих на этом интегрированном уроке, который позволит объединить знания по математике и физике. Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения Вагнера: «Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются».

Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач. Только осознанное применение знаний, овладение математическим аппаратом, умение логически мыслить позволит достичь успехов в покорении вершин других наук.

Какой математической операции посвящен урок мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда.

Вопросы кроссворда:

1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
   "Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
   заданной точки ".

2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени.

3. Приращение какой переменной обычно обозначатся ∆х.

4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.)

5. Что является мерой изменения механической энергии?

6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.

7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют.. .

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово «Лагранж».

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина " производная". Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже, Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице.

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в "Геометрии" Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

Итак, теперь мы можем сформулировать тему урока: "Производная. Геометрический и физический смысл производной".

Ответим на следующие вопросы:

1. Что такое производная функции?

2. В чем ее геометрический смысл?

3. В чем ее физический смысл?

Ученик (готовился заранее): Производной функцией в точке х_о называется число, к которому стремится разностное отношение при х, стремящемся к нулю, т.е. ( х_о)=

Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии физикой) скоростью изменения функции в точке х_о .

Рассмотрим механический смысл производной. Производная от координаты по времени есть скорость. Если материальная точка движется по координатной прямой и ее координата изменяется по закону, заданному функцией х(t), то мгновенная скорость v(t)=x(t) . Аналогично уравнение и для ускорения движения: a(t)= v(t), т.е. производная от скорости есть ускорение.

С помощью производных создаются и другие физические величины. Например, мощность есть производная работы по времени: N=A (t)

Еще один пример применения производной в физике. Если дан неоднородный стержень, и его масса зависит от его длины, т.е. m(l), то за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от длины l принимают линейную плотность d(l)=m(l).

Гармонические колебания

х(t)=A cos (wt+s) и х(t)=A sin (wt+s)

x(t)= v(t) - скорость изменения колеблющейся величины

a=x - ускорение.

Производная сложной функции

Если функция имеет производную в точке х_о, а функция g имеет производную в точке y_o=(x_o), то сложная функция h(x)=g(t(x)), также имеет производную в точке х_о, причем h (x_o)=g (f(x_o). f( x_o).

(f(kx+b)=kf (kx+b)

Рассмотрим примеры решения задач физики с применением понятия производная (решают учащиеся у доски)

Тема: «Прямолинейное движение материальной точки»

1. Что такое материальная точка? Почему в большинстве задач в механике рассматривают не какое-то конкретное тело, а материальную точку?

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t + 0,4t² . Каков характер движения точки? Найти координату, скорость и ускорение точки в момент е=5с.

3. Координата движущейся прямолинейно материальной точки меняется по закону x(t) = -2t³ + 4 t² + 0,5 t. Запишите уравнение зависимости скорости и ускорения от времени. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Тема: «Механические колебания»

1. Что такое колебание? Какие колебания называются гармоническими?

2. Координата материальной точки, совершающей гармоническое колебание, изменяется по закону: х(t)=20 sin 4t; Определить амплитуду колебаний, максимальное значение скорости и ускорения точки.

3. Тело участвует в гармоническом колебании, происходящем по закону:
   х(t)=0,5 cos (2t +). Записать уравнения изменения его скорости и ускорения по времени. Чему равна координата, скорость и ускорение тела в момент t=0,5 с?

Тема: «Формулировка и запись II закона Ньютона».

1. Какие виды механической энергии знаете? По каким формулам их можно найти?

2. Найдите силу, действующую на тело массой 2 кг, движущееся прямолинейно по закону , при t = 2с.

3. Материальная точка массой 1 кг движется по закону . Найдите:

   1. Силу, действующую на точку;

   2. Кинетическую энергию точки через 3с после начала движения.

Закрепление: самостоятельное решение тестового задания:

Тест. Вариант 1

1. Точка движется по закону S(t)=2t³+3t.

Чему равна скорость точки в момент времени t= 1c ?

А) 5

Б) 12

В) 9

Г) 13

2. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)=4x² - х в точке Х₀=1

А) 8

Б) 7

В) 3

3. Найти силу, действующую на материальную точку массой Зкг, движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t³ - 4,5t² при t=2c?

А) 27

Б) 30

В) 81

Г) 54

4. Найти производную функции g(x)=tg(2x+п/3)

a) 2(2x+п/3)/cos2x 6)2/cos2x b)2/cos2 (2х+п/3)

5. Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=2t + 0,02t³ (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=5c?

А) 2,0 Б) 1,5 В) 3,5 Г) 4,0

6. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х² - Зх + 5 в точке а=-1

А) у=-5х + 4 Б) у=5х-4 В) у=-5х

Тест. Вариант 2

7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= - t³/6+3t²-5.Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0.

А) 2

М) 4

К) 8

0) 6

8. В какой точке графика функции y=vx касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°?

Г) нет ответа

9. Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с
течением времени по закону q(t)=0,2t + 3t² + 1

Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2c

Ф)19 А)18,4 В)13 И)21

10. Найти производную функции

11. Две материальные точки движутся по законам: X_l(t)=2,5t²-6t+l; X₂(t) =0,5t² + 2t - 3

В какой момент времени их скорости равны?

Р)10

Б) 4

И) 2

Ю) 7

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=2 - х² в точке

х₀=3

А) у =2х +5 Е) у =6х +11 В) у = -Зх - 6 Г) нет ответа

Итак, если вы абсолютно правильно решили все задания, то мы читаем слово « исследование», а оно соответствует теме нашего сегодняшнего урока.

Как применить производную к исследованию функции, мы увидим на следующем примере:

Исследовать на монотонность функцию у =2х³ +3х² -1 и построить график этой функции.

f(x) = 6x² + 6x = 6x(x + 1)

Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно и громоздко.

Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Вагнер, когда говорил, что "Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются".

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бурцева Н.М. Межпредметные связи как средство формирования ценностного отношения учащихся к физическим занятиям: дис. кандидата пед. наук.: 01.03.02 / Бурцева Наталья Михайловна. - СПб., 2001. - 231 с.

2. Вся элементарная математика (средняя математическая интернет-школа) [Электронный ресурс] - Режим доступа: bymath.net

3. Елисеев А.Ф. Межпредметные связи между общеобразовательными и специальными предметами / А.Ф. Елисеев. - Киев : Вища школа, 1978. - 96 с.

4. Каданер А.П. Бизнес-курс. Сборник экономико-математических задач для 6-8 классов. 2 ступень программы СЭО. / А.П. Каданер, К. Г. Козлов, С.Ю. Козлова - СПб.: СМИО Пресс, 2005. - 48 с.

5. Лукинова Е. Н. Межпредметные связи в курсе физики 7 класса [Электронный ресурс] - Режим доступа: rudocs.exdat.com/docs/index-1355.html

6. Математика на уроках химии / М.В. Дорофеев, М.Б. Лесов // Химия в школе. - 1999. - №6. - С. 50-55

7. Максимова В.Н. Межпредметные связи в процессе обучения / В.Н. Максимова. - М. : Просвещение, 1988. - 192 с.

8. Максимова В.Н. Межпредметные связи и совершенствование процесса обучения / В.Н.Максимова. - М. : Просвещение, 1984. - 143 с.

9. Межпредметные связи курса физики в средней школе / под ред. Ю.И. Дика, И.К. Турышева и др. - М. : Просвещение, 1987 г. - 191 с.

10. Понятие вектора [Электронный ресурс] - Режим доступа: webmath.exponenta.ru/bsd/sp/m152.html

11. Предмет методики преподавания математики [Электронный ресурс] - Режим доступа: fmf.gasu.ru/kafedra/algebra/1/elib/mpm_t/1.htm

12. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Фізика. 7-12 класи. - Перун, 2005. - 17 с.

13. Равнопеременное прямолинейное движение [Электронный ресурс] - Режим доступа: av-physics.narod.ru/mechanics/rectilinear-movement.htm

14. Рейнгард И.А. Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием / И.А. Рейгард. - М. : Учпедгиз, 1960. - 116 с.

15. Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения / А.В. Усова. - М. : Педагогика, 1986. - 178 с.

16. Федорова В.Н. Межпредметные связи / В.Н. Федорова, Д.М.Кирюшкин. - М., 1972. - 196 с.