Теория вероятностей

Урок 2. Понятие о теории вероятностей и математической статистике

(8 класс)

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний, умений и навыков

Цель урока:

Создать условия, необходимые для рассмотрения этапов развития теории вероятностей, элементов теории вероятностей, научить решать задачи на заданную тему

Задачи:

- изучить предмет теории вероятностей и математической статистики, место теории вероятностей в системе научного познания мира, научить в процессе реальной ситуации определять термины теории вероятностей, научить решать задачи из жизни

- формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук, владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями, развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства), способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию;

- развитие самостоятельности и навыков самоконтроля, способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитического мышления, смысловой памяти, внимания, развитию навыков исследовательской деятельности

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, элементы исследовательской деятельности

Оборудование и материалы для урока: доска, экран, монеты, игральные кости, коробка с шарами, карточки с заданиями

На партах учащихся: тексты задач, таблицы для опытов, учебники

План урока:

1.Организационный момент

2.Вводная беседа. Актуализация знаний

3.Постановка темы, цели, задач урока

4..Изучение материала

5.Решение задач и проведение экспериментов в группах. Выводы

6.Отчет каждой группы

7.Подведение итогов урока

8.Домашнее задание

I . Организационный момент. Проверка домашней работы № 320, № 322 (учебник стр. 124-125)

II. Вводная беседа.

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ - нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики, который мы с вами начали изучать.

А сейчас мы определим ключевое слово нового раздела. Я предлагаю вам разгадать кроссворд:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1. Прямоугольник с равными сторонами

2. Одна сотая часть числа

3. Место, занимаемое цифрой в записи числа

4. Результат вычитания величин

5. Какой знак стоит между 0 и 1, если получившееся число больше 0 , но меньше 1

6. Часть прямой

7. Наименьшее натуральное число

8. Метод Эратосфена, в котором простые числа "отсеиваются" от составных

9. Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда, которого нет у прямоугольника

10. Число, которое делится на каждое из данных чисел

11. Выражение, содержащее числитель и знаменатель

III. Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?

Учитель: Начнем урок с проблемной задачи, ведь скоро вы станете студентами и можете попасть в такую же ситуацию. Как вы считаете, что надо применить для решения этой задачи? Встречались ли вы раньше с такого рода задачами? Где? Когда? Что вы помните из изученного раньше? Приведите примеры таких задач из своего жизненного опыта.

Так вот, чтобы помочь студенту, научиться решать задачи по теории вероятностей и успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо обновить свои знания и изучить этот раздел математики.

IV. Тео́рия вероя́тностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Российский создатель теории вероятности А. Н. Колмогоров писал: «вероятность математическая - это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно вероятность математическая (Р), как объективная мера возможности появления случайных событий.

Учитель: Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев.

Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна P (A) = , где

m - количество исходов, при которых событие А появляется.

Учитель: Вот теперь мы вернемся к решению задачи, которую я поставила перед вами в начале урока.

Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет.

Решение. Общее число билетов n=25; выбор каждого билета равновозможен. Событие A- «студенту достанется на экзамене выученный билет»; количество благоприятствующих исходов m=25-1=24. Вероятность события A:

Ответ: .

V. Решение задач в группах.

Учитель: А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях, провести эксперимент и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями, таблицы и материалы для экспериментов на столах. Если вам надо вспомнить материал предыдущих тем, воспользуйтесь учебником или моей помощью. Помогайте друг другу при решении.

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

1 группа Задача № 1. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3?

Решение. Количество жетонов n=15; извлечение каждого жетона считаем равновозможным. Рассмотрим событие A - «номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3».

Исключаем 7 четных номеров жетонов (делятся на 2), а также нечетные номера 3, 9, 15(делятся на 3); получаем Тогда Ответ:

2 группа Задача № 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение. Элементарный исход в этом опыте - упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе - на втором.

Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы - на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, событию А = {сумма выпавших очков равна 6} благоприятствует 5 элементарных исходов. Следовательно, т = 5.

Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14

3 группа Задача № 3. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

• Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

• Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
  Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
  Две монеты - уже четыре исхода:

• Орел орел

• Орел решка

• Решка орел

• Решка решка

• Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 2 2 = 2³ = 8.

• Вот они:

• Орел орел

• Орел орел

• Орел решка

• Орел решка

• Орел решка

• Орел орел

• Орел решка

• Решка решка

• Орел решка

• Решка решка

• Орел решка

• Решка решка

• Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
  Ответ: 3/8.

4 группа Задача № 4. Население города составляет около 400 000 жителей. Сколько горожан родились 29 февраля?

• Заметим, прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

• 29 февраля бывает только в високосном году - один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

• Это значит, что среди 400 000 жителей города следует ожидать около

человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

5 группа Задача № 5. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

• Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно.

• В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N.

• Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет 86/N.

• С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте: 86/N=6/78.

• Отсюда N = 86 • 78 / 6 = 1118.

6 группа Задача № 6.

В мешке 4 белых, 3 синих и 2 черных шарика. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается один из них. Найдите вероятность того, что он окажется: а) синим; б) черным.

а) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна:

P=3:9=1/3=0,33(3)

б) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна P=2:9=0,2(2)

VI. Отчет каждой группы о проделанной работе. Выводы.

На доске показывается условие задач, а после отчета, каждая задача сверяется с решением на слайдах, исправляются ошибки, устраняются пробелы в знаниях. Учащиеся рассказывают, какой опыт проводили и к какому выводу пришли.

Самостоятельная работа (проверочного характера).

Заполнить таблицу:

№ задания

Испытание

Число возможных исходов испытания (n)

Событие А

Число исходов, благоприятствующих событию А (m)

Вероятность наступления события А

Р(А)=m/n

1

Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков нечетно

2

Подбрасывание игрального кубика

Выпавшее число очков кратно трем

3

Игра в лотерею (1500 билетов, из которых 120 выигрышных)

Выиграли, купив один билет

4

Случайный выбор двузначного числа

Число состоит из одинаковых цифр

Самостоятельная работа (проверочного характера).

Заполнить таблицу:

№ задания

Испытание

Число возможных исходов испытания (n)

Событие А

Число исходов, благоприятствующих событию А (m)

Вероятность наступления события А

Р(А)=m/n

1

Подбрасывание игрального кубика

6

Выпавшее число очков нечетно

3

2

Подбрасывание игрального кубика

6

Выпавшее число очков кратно трем

2

3

Игра в лотерею (1500 билетов, из которых 120 выигрышных)

1500

Выиграли, купив один билет

120

4

Случайный выбор двузначного числа

90

Число состоит из одинаковых цифр

9

VII. Рефлексия. Подводя итог урока, необходимо добиться понимания учащимися следующих важных положений:

1. В окружающей реальности действую два основных типа законов - статистические законы и законы жесткой детерминации.

2. Законы обоих типов объективны, несводимы друг к другу и выражают необходимые связи в природе.

3. Детерминистические законы представляют собой низший уровень процесса познания окружающего нас мира, статистические законы более современны, они отражают объективные связи в природе и являются более высоким этапом познания.

Итоги урока.

Учитель предлагает учащимся обобщить приобретённые знания на уроке. Что нового узнали на уроке? Понравились ли подобранные задачи? Чем? Просит учеников оценить свою работу на уроке? Что понравилось на уроке, а что нет? Учащиеся высказывают своё мнение, подводят общий итог урока. Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, выполнены задачи урока; говорит о дальнейшем плане изучения темы, выставляет ученикам оценки за урок.

VIII. Домашнее задание.

Разбить учеников на тройки. Каждая тройка готовит сообщение на одну из тем (реферат):

1. Бернулли и его вклад в развитие теории вероятностей

2. Гюйгенс и его вклад в развитие теории вероятностей

3. Блез Паскаль и его вклад в развитие теории вероятностей

4. Ферма и его вклад в развитие теории вероятностей

Литература

1.Алгебра: элементы статистики и теории вероятности: учебное пособие для учащихся 7-9кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк; под. ред. С. А. Теляковского. -6-е изд.-М.: Просвещение,2008

2. М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.-2-е изд.-М.:Просвещение,2005

3. В. Н. Студенская. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7-9 классы.-2-е изд.-В.: Учитель,2009

4. Учебник А. Е. Абылкасымова Алгебра-8 Алматы «Мектеп» 2012

Дополнительно 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; n =10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верна, поэтому m=1

P (A) = = Ответ:

2. В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на 1 этаже, 6 - на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на 1 или на последнем этаже?

Решение. Общее количество равновозможных исходов n=93. Пусть событие A -«жильцу досталась квартира на 1 или на последнем этаже».

Событие A не наступит при любом из n-m_A исходах, или

Ответ:

3. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.

Площадь закрашенной части квадрата 16см2 - 4см2 = 12см2.

Значит,