Урок по геометрии на тему Многогранники. Прямоугольный параллелепипед

Тема: Многогранники. Параллелепипед.

Цель:

Обучающая: дать определение многогранника, рассмотреть его основные элементы

Формировать понятие параллелепипеда, его свойств.

Использовать свойства прямоугольного параллелепипеда при решении задач

Развивающая:

- развивать графические навыки, навыки изображения пространственных фигур

- развивать пространственное мышление;

Воспитательная:

Развивать умение слушать, высказывать свое мнение, самостоятельность

Воспитывать такое качество как познавательная активность

План урока:

1. Актуализация знаний

2. Изучение новой темы

3. Доказательство теоремы и вывод формул.

4. Решение задач

5. Рефлексия.

6. Итоги урока.

Ход урока.

1. Актуализация знаний: в 10 классе мы с вами начали изучать раздел геометрии - стереометрия. Стереометрия -это раздел геометрии, в котором изучаются свойство фигур в пространстве.

-Давайте вспомним основные аксиомы стреометрии (учащиеся у доски отвечают и выполняют чертеж)

- Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?

- Каково может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве?

Тема нашего урока - многогранники. Скажите, а какие многогранники вам знакомы? Встречаются ли они в жизни? Природе?

Рассмотрим многогранники:

Определение многогранника:

Поверхность, составленная из многоугольников, и ограничивающая, некоторое геометрическое тело, называют многогранником.

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани - это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра - это стороны граней.

Вершины - это концы ребер.

С каким многогранником мы с вами уже встречались? (прямоугольный параллелепипед)

Определение параллелепипеда:

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырех параллелограммов АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DАА₁D₁, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1

2. Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А₁В₁С₁D₁ (равные параллелограммы по определению),

АА₁В₁В = DD₁С₁С (так как АА₁В₁В и DD₁С₁С - противоположные грани параллелепипеда),

АА₁D₁D = ВВ₁С₁С (так как АА₁D₁D и ВВ₁С₁С - противоположные грани параллелепипеда).

Давайте выполним практическую работу: (учащимся предлагается провести диагонали параллелепипеда и сделать вывод о их свойствах)

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали АС₁, В₁D, А₁С, D₁В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 - АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 - AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 - АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

3. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Рис. 3

4. Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА₁⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

5. Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А₁В₁С₁D₁ - прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

6. Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5

Доказательство:

Прямая СС₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС₁А - прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС₁ = АА₁, то что и требовалось доказать.

7. Следствие

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС₁ = СА₁ = В₁D = DВ₁ =

Рис. 6

8. Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба - это равные квадраты.

9. Задача

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Рис. 7

Решение:

см.

Ответ: см.

Рефлексия:

Давайте вспомним цели нашего урока. Достигли мы этих целей?

Домашнее задание:

1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите длину ребра

Решение.

Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора

.

Ответ: 1.

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39 , 7, 9.

3. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.