• Преподавателю
  • Математика
  • «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:
«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Урок №69 СДО

Тема: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

- дать определение предела числовой последовательности; рассмотреть теоремы о пределах, сформулировать необходимое условие существования предела(теорема Вейерштрасса); дать понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей; выработать умения вычислять пределы последовательностей ;вывести формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии; выработать практические навыки применения этой формулы при решении задании.

- развитие логического мышления, памяти, умение применять математические знания по теме, коммуникативных компетенций (культуры общения), познавательного интереса.

-воспитание математической речевой культуры, привития интереса к изучаемому предмету.

II. Актуализация знаний.

1) Проверка домашнего задания

Ответьте на вопросы:

  1. Дайте определение числовой последовательности?

  2. Какие способы задания последовательностей вы знаете?

  3. Какие бывают виды последовательностей?(возрастающая, убывающая, немонотонная)

  4. Какая последовательность называется ограниченной сверху?

  5. Какая последовательность называется ограниченной снизу?

  6. Какая последовательность называется ограниченной ?

  7. Какая последовательность называется неограниченной?

  8. Какая последовательность называется сходящейся?(привести пример)

  9. Какая последовательность называется расходящейся? (привести пример)

Ответить на вопросы по домашней работе.

2) Решить пример: исследовать последовательность«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». на ограниченность и монотонность.

III. Изучение нового материала.

Рассмотрим две числовые последовательности

(yn):1, 3, 5, 7, 9, 11,…,2n-1,…; (xn):1, «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ,

1 3 5 7 9 11 0 «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». 1«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Заметим , что (yn) -расходится, а (xn)-сходится. У последовательности (xn) все её члены «сгущаются» около точки 0. В математике не используют слова «точка сгущения», а используют термин «предел последовательности».

Итак, Если последовательность сходится, то она имеет предел.

Определение: Окрестностью точки b называется промежуток, на котором точка b является внутренней.(r-радиус окрестности)

b-r b b+r

Определение1: Число b называется пределом последовательности (xn), если все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в окрестности точки b.

Пишут так:«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».( читают: предел последовательности (xn) при стремлении n к бесконечности равен b).

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».-сокращение латинского слова limes, обозначающего «предел» (сравните слово «лимит»).

Пояснение к определению

Если число b-предел последовательности, то образно выражаясь, окрестность точки b- это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера n0 эта ловушка «заглатывает » xn0 и все последующие члены последовательности. Чем меньше выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется » последовательность, но потом всё равно попадает, в выбранную окрестность.

Пример. (xn):1, «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ,- последовательность сходится к 0.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». или «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Приведём пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возмём окружность и будем последовательно вписывать в неё правильные многоугольники: четырёхугольник, восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена снизу числом 0, а сверху числом выражающим площадь описанного около окружности квадрата. Значит по т. Вейерштрасса последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга.


Теоремы о пределах

  1. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

  1. Предел суммы равен сумме пределов:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

  1. Предел произведения равен произведению пределов:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

  1. Предел частного равен частному пределов:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». , при условии что «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». и (bn)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».для любого n

  1. Предел степени равен степени предела: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». где«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность( х n ) называется бесконечно малой, если её предел равен нулю,

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

(Пример «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». , последовательность (xn):1, «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ,- бесконечно малая)

Последовательность( х n )называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M , как бы велико оно ни было, существует такой номер N , что для всех ( х n ) с номерами n>N справедливо неравенство | х n | >M .

То есть, последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности,

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

(Пример «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». , последовательность (zn):1,2,3,4,5,…,n,… бесконечно большая).

Заметим, что если последовательность (xn) является бесконечно малой (бесконечно большой), то «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». - бесконечно большая (бесконечно малая).

Примеры. «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3,…,bn,…

Пусть S1=b1,

S2=b1+b2,

S3=b1+b2+b3,

…………………….

Sn= b1+b2+b3+…+bn.

Получилась последовательность S1, S2,S3,…,Sn,… Как всякая последовательность она может сходится или расходится. Если последовательность Snсходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии.

Пусть надо найти сумму n первых членов геометрической прогрессии: Sn= b1+b2+b3+…+bn.,то

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..Рассмотрим случай, когда знаменатель q геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Наедём: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

(Так как «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». )

Поэтому «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».для «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

  1. Закрепление изученного материала.

Примеры (№№1-4 из Приложения1

1.Вычислите пределы числовой последовательности.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn),если

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

4.Решите уравнение, если известно, что «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». <1:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Решения и ответы:

№1 «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

№2 а) S=4,5 ; б)q=«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; S=64 ; в)-33,75.

№3 а)q=0,5 ; б)q=«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

№ 4

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ,левая часть геометрическая прогрессия «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».т.к «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». <1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Ответ:«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

б) х=0,3;

в)

геометрическая прогрессия b1=x;q=x; «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». <1

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

Ответ: «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

г) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».


  1. Самостоятельная работа.

Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

1)30; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)125; 4)25.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.

1)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)0,8; 4)10.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)-2 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)2 ; 4)6.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)0; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

1)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2)-24; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)13«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2)30; 3) 33; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)-2 ; 2)0 ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)0 ; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) 4.

Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12;3;0,75;…;

1)16; 2)8; 3)9; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)5; 2) 2; 3)0; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)-2; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)3 ; 4)1,5.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)3; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)6 ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)24; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 3)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 4)-12.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)7 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)0 ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)1 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)0.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1) 0; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

Ответы:

№1

№2

№3(а)

№3(б)

№3(в)

Вариант 1

2

1

2

3

2

Вариант 2

3

2

3

1

4

Вариант 3

1

3

1

3

3

Вариант4

3

2

2

4

4


  1. Подведение итогов.

  2. Задание на дом:.











Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

1.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

2.Найдите сумму геометрической прогрессии (bn), если

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

3.Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn) и b3,если

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

4.Решите уравнение, если известно, что «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». <1:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».



Тест.

Вариант1

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

1)30; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)125; 4)25.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b1=-1; q=0,2.

1)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)0,8; 4)10.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)6 ; 2) 2 ; 3)0 ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)-2 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)2 ; 4)6.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)0; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

Вариант2

1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

1)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2)-24; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)13«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 2)30; 3) 33; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)4 ; 2)0 ; 3)-4 ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)-2 ; 2)0 ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)0 ; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) 4.

Вариант3

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 12,3,0,75,…;

1)16; 2)8; 3)9; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)2; 2)-4,5; 3)-2; 4)-0,5.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)5; 2) 2; 3)0; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)-2; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)3 ; 4)1,5.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».;

1)3; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)6 ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .


Вариант4

1.Найдите сумму геометрической прогрессии 18,-6,2,-«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)24; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 3)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».; 4)-12.

2.Найдите сумму геометрической прогрессии если «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ;

1)10; 2)22,5; 3)15 4)13.

3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)7 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)0 ; 4)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма»..

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1)1 ; 2) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4)0.

«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

1) 0; 2)«Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 3) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». ; 4) «Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма». .









© 2010-2022