Урок по алгебре и началам математического анализа Методы решения тригонометрических уравнений (10 класс)

Божко Светлана Викторовна, учитель математики МБОУ «Новоалександровская средняя общеобразовательная школа» Ровеньского района Белгородской области

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Класс: 10

Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений

Проект урока

1. Место данного урока в теме, разделе курсе.

Данный урок является заключительным в теме «Методы решения тригонометрических уравнений». На изучение этой темы в программе отводится 13 часов.

2. Связь с предыдущими уроками, темами, на что в них опирается.

На данном уроке используются знания учащихся по всем темам тригонометрии.

3. Влияние этого урока на последующие уроки, темы.

Урок является основополагающим в данной теме: на нем демонстрируются различные способы решения тригонометрических уравнений, ведется подготовка к контрольной работе.

4. Учет реальных возможностей учащихся класса, уровня его воспитанности, развития, интересов, склонностей.

Состав класса разнороден: 18 % учащихся имеют высокий уровень развития интеллектуальных способностей и учебной мотивации; 35 % хорошо усваивают учебный материал. Однако некоторые ученики имеют пробелы в знаниях за курс основной школы, поэтому испытывают затруднения в усвоении отдельных тем. Класс любит уроки математики, понимает, принимает и выполняет требования учителя. Адаптационный процесс к условиям обучения в средней школе проходит в соответствии с нормой. Вместе с тем, у некоторых десятиклассников завышена самооценка (18 %), у других есть желание иметь высокий балл, но нет желания прикладывать к этому какие-либо усилия (18 %).

5. Специфика урока, его тип.

Урок систематизации знаний, отработки умений и навыков учащихся.

6. Какие задачи будут решаться на уроке?

1) Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность.

2)Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.
3) Развитие умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий, развитие навыков самоконтроля.

7. Структура урока, его рациональность.

Урок состоит из следующих этапов:

• постановка цели, мотивировка учащихся;

• актуализация знаний: проверка знаний формул тригонометрии (математический диктант), проверка умений решения уравнений двумя известными по предыдущим урокам способами (самостоятельная работа);

• обобщение и систематизация знаний, отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами;

• подведение итогов урока, задание на дом.

8. Методы осуществления задач урока.

Методы самостоятельной познавательной деятельности являются ведущими в осуществлении задач урока. В ходе урока планируется проведение различных видов самостоятельных работ: проверочной, тренировочной по отработке и совершенствованию навыков.

9. Формы работы.

Коллективные, групповые и индивидуальные.

10. Средства, которые будут использованы на уроке.

Учебник и задачник под редакцией А.Г. Мордковича.
Раздаточный материал.

План-конспект урока

Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений.

Задачи:

• обобщить знания и отработать навыки решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность, подготовить учащихся к выполнению контрольной работы по данной теме;

• способствовать воспитанию самостоятельности и ответственности обучающихся за качество своих знаний;

• создать условия для развития навыков самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

Оборудование раздаточный материал для проведения математического диктанта, у каждого ученика на столе уравнение sinх - cosх = 1 и рекомендации по его решению разными способами, мультимедийный доска.

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

II. Актуализация знаний

Математическая разминка для проверки знаний формул тригонометрии, которые сегодня будут использованы на уроке (5 мин.).

1 вариант

1. Применив формулу синуса двойного аргумента, замените sinх =

2. Распишите тригонометрическую единицу для аргумента: 1 =

3. Восстановите правую часть формулы Аsinх - Bcosх =

4. Запишите формулу универсальной подстановки для cosх =

5. Решите уравнение: cos =0

6. Решите уравнение: sin(х-)=

7. Решите уравнение: cosx = -1

2 вариант

1. Применив формулу косинуса двойного аргумента, замените cosх =

2. Замените косинус угла на синус с помощью формулы приведения cosх =

3. Примените формулу разности двух синусов: sinх - sin(-х)=

4. Запишите формулу универсальной подстановки для sinх =

5. Решите уравнение tg=1

6. Решите уравнение: sin(х-)=

7. Решите уравнение: cosx = 0

Два ученика записывает тождества на закрытой доске. Остальные ученики класса выполняют задания на заготовленных листах, вставляя пропущенные части тождеств. Собрать выполненные работы и проверить, учащиеся проверяют ответы по образцу, выполненному на доске.

III. Постановка целей урока, мотивировка учащихся

Учитель: вспомните, какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете. Назовите их. (Учащиеся отвечают).

Сегодня на уроке мы решим только одно уравнение, но решать его мы будем различными способами. Итак, сегодня на уроке бенефис одного уравнения - рассмотрим 7 способов решения тригонометрического уравнения sinх - cosх = 1.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а большую часть урока работать самостоятельно.

IV. Обобщение знаний и закрепление навыков решения тригонометрических уравнений

- К этому уроку вам было задано домашнее задание 3-х уровней. Творческое задание «Графический способ решения уравнения sinх - cosх = 1» нам представит Клипина Надежда, которая подготовила презентацию решения.

1 способ

Совет: рассматриваемое уравнение перепишите в виде sinх = 1 + cosх, затем в одной системе координат постройте графики функций, соответствующие левой и правой частям уравнения: у = sinх и у = 1 + cosх.

Ученик демонстрирует на электронной доске задание, используя графический способ.

1 способ -графический

1. Самостоятельная работа (10 мин)

Карточка 1

2 способ: с помощью универсальной подстановки.

Решение

Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам:

С учетом приведенных формул уравнение sinx -cosx =1 запишем в виде:

Умножим обе части уравнения на

ОДЗ первоначального уравнения - все множество R.

При переходе к

из рассмотрения выпали значения, при которых

не имеет смысла, т.е.

Следует проверить, не является ли х=π+2πk решением данного уравнения.

Левая часть:

sin(π+2πk)-cos(π+2πk)=sinπ-cosπ=0-(-1)=1.

Правая часть: 1.

Значит, х=π+2πk, k€Z - решение уравнения.

Ответ:

2 человека работают по карточкам у доски со сложными заданиями

Вместе с ними получают такие же карточки учащиеся-консультанты и работают на местах в тетради.

Карточка 2

3 способ: Возведение в квадрат

Решение

Так как

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними.

Проверим

Левая часть:

Правая часть:1.

Следовательно,

2. Фронтальная письменная работа с классом

4 способ: введение вспомогательного аргумента с помощью формулы Аsinх - Вcosх =….

Решение:

В левой части вынесем за скобку (корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx). Получим

Ответ:

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение

распадается на два случая

Проверка работы сильных учащихся

• После того как решили у доски, проверяем работу по карточкам.

Вопросы консультантам:

1. Такое ли у вас решение?

2. Какие формулы вы применяли в ходе доказательства?

Все остальные и один ученик у доски решают задание средней степени сложности

3. Самостоятельная работа в группах по решению уравнения разными способами. Ученикам раздаются рекомендации

5 способ. Приведение уравнения sinх - cosх = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.

Совет: разложите левую часть уравнения по формулам двойного аргумента, а правую заменить тригонометрической единицей.

Решение:

Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:

И так далее, как в предыдущем способе …

7 способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение, используя формулу приведения.

Совет: в уравнении sinх - cosх = 1 замените косинус через синус по формулам приведения, затем воспользуйтесь формулой разности синусов.

Решение:

Запишем уравнение в виде:

Применяя формулу разности двух синусов, получим

Ответ:

Данное уравнение написано на доске.

Класс разбивается на 4 группы (состав каждой группы определяется учителем по его усмотрению) по количеству способов решения уравнения, предложенных учителем. Для дальнейшего обсуждения плюсов и минусов каждого способа необходимо вызвать к доске по одному представителю от группы.

6 способ - разложение на множители:

sinx - cosx =1

Вывод ученики должны записать в тетрадях.

Произведение равное нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому

однородное уравнение первой степени.

Делим обе его части на

что противоречит тождеству

Получим

Ответ:

IV. Подведение итогов урока

Сегодня мы с вами решили всего одно уравнение, но семью способами, что дало возможность за один урок вспомнить практически всю тригонометрию. Какому способу вы отдаете предпочтение? Отдайте свой голос за более понятный вам способ. Голосуем. Учащиеся прикрепляют номера на магнитную доску.

V. Задание на дом

I. Решите уравнения указанным способом.

1. Решите уравнение сведением к алгебраическому относительно какой-нибудь тригонометрической функции:.

2. Решите уравнение способом разложения на множители: .

3. Решите уравнение с помощью введения вспомогательного аргумента: .

4. Решите уравнение сведением к однородному: .

II. Решите уравнения:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Приложение 2.

Предложить ребятам просмотреть задания домашней работы и при необходимости прокомментировать некоторые моменты.

Приложение 1.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Метод разложения на множители

Функционально-графический метод

Метод введения новой переменной

Метод

Необходимо помнить !

1. Разложение на множители

Разложение на множители с использованием формул тригонометрии или алгебраических приемов.

Из полученных значений неизвестного надо исключить те, для которых выражения, входящие в заданное уравнение, не имеют смысла.

Введение вспомогательного аргумента.

Применяется в уравнениях, содержащих сумму .

2. Введение новой переменной

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции

Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним.

При делении обеих частей однородного уравнения на (или ) область определения сужается, но потери корней не происходит, так как синус и косинус одного аргумента одновременно в нуль не обращаются.

Универсальная подстановка.

, ,

Посредством универсальной подстановки могут быть найдены все решения данного уравнения, за исключением тех, для которых не существует, т.е. . Наличие или отсутствие решений этого вида может быть установлено непосредственной проверкой.

Уравнения, рациональные относительно выражений .

Новая переменная:

Уравнения, где левая часть является рациональной функцией относительно может быть сведено к рациональному уравнению относительно неизвестного.

3. Функционально-графический

Уравнения вида.

Если при решении уравнения удается установить разный характер монотонности функций и , и угадать каким-либо образом один корень, то уравнение решено - найденный корень - единственный.

Домашнее задание.

1. Решите уравнения указанным способом.

5. Решите уравнение сведением к алгебраическому относительно какой-нибудь тригонометрической функции:.

6. Решите уравнение способом разложения на множители: .

7. Решите уравнение с помощью введения вспомогательного аргумента: .

8. Решите уравнение сведением к однородному: .

II. Решите уравнения:

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Домашнее задание.

1. Решите уравнения указанным способом

9. Решите уравнение сведением к алгебраическому относительно какой-нибудь тригонометрической функции:.

10. Решите уравнение способом разложения на множители: .

11. Решите уравнение с помощью введения вспомогательного аргумента: .

12. Решите уравнение сведением к однородному: .

II. Решите уравнения:

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

1 способ.

Функционально-графический

способ решения уравнения sinх - cosх = 1.

Совет: рассматриваемое уравнение перепишите в виде sinх = 1 + cosх, затем в одной системе координат постройте графики функций, соответствующие левой и правой частям уравнения: у = sinх и у = 1 + cosх.

Карточка № 1

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

2 способ:

с помощью универсальной подстановки.

Совет: не забудьте проверить множество значений х, при которых tq обращается в 0.

Карточка № 2

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

3 способ.

Возведение обеих частей уравнения sinх - cosх = 1 в квадрат.

Совет: проверьте полученные решения, при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

4 способ:

введение вспомогательного аргумента

с помощью формулы Аsinх - Вcosх =….

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

5 способ.

Приведение уравнения sinх - cosх = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.

Совет: разложите левую часть уравнения по формулам двойного аргумента, а правую заменить тригонометрической единицей.

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

6 способ.

Разложение левой части уравнения sinх - cosх = 1 на множители.

Совет: перенесите 1 в левую часть и воспользуйтесь формулами двойного аргумента для sinx и понижения степени для 1+cosx .

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

7 способ.

Преобразование разности тригонометрических функций в произведение.

Совет: в уравнении sinх - cosх = 1 замените косинус через синус по формулам приведения, затем воспользуйтесь формулой разности синусов.

Карточка № 1

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

2 способ:

с помощью универсальной подстановки.

Совет: не забудьте проверить множество значений х, при которых tq обращается в 0.

Карточка № 1

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

2 способ:

с помощью универсальной подстановки.

Совет: не забудьте проверить множество значений х, при которых tq обращается в 0.

Карточка № 1

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

2 способ:

с помощью универсальной подстановки.

Совет: не забудьте проверить множество значений х, при которых tq обращается в 0.

Карточка № 2

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

3 способ.

Возведение обеих частей уравнения sinх - cosх = 1 в квадрат.

Совет: проверьте полученные решения, при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.

Карточка № 2

Решить уравнение sinх - cosх = 1.

3 способ.

Возведение обеих частей уравнения sinх - cosх = 1 в квадрат.

Совет: проверьте полученные решения, при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.