Исследовательская работа по математике Задачи на переливание

Научно-практическая конференция

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ

Выполнил:

Иванов Никита, ученик 7 класса МБОУ «Арабосинская ООШ»

Урмарского района ЧР

Руководитель:

Кузьмина Юлия Николаевна, учитель математики МБОУ «Арабосинская ООШ» Урмарского района ЧР

I. Введение

Обоснование выбора:

Сегодня мы живем во времена огромного информационного прогресса. Много задач решаем в школьном курсе математики, задачи можно находить и на сайтах. Приводятся способы решения задач. Логические задачи решаем на кружковых занятиях. Но мало времени уделяется задачам на переливание. Решать задачи на переливание очень увлекательно. А как решить задачу на переливание быстро и не запутаться в решении?

Из истории задач на переливание.

В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» - спрашивает второй слуга. «8 мер», - отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», - заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)». [9]

Актуальность темы.

Одной из основных проблем разностороннего изучения математики в школе является нехватка времени на решение логических задач, в частности задач на переливание. К сожалению, в учебниках математики не рассматриваются способы решения задач на переливания и не многие учащиеся умеют их решать.

Гипотеза проекта

Мы считаем, что словесный способ решения задач, несколько не удобен, и для более быстрого и понятного решения надо искать другие способы и методы.

Цели и задачи:

Цель данной работы - изучить способы решения задач на переливание.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Познакомиться с методами решения задач на переливание.

3) Рассмотреть различные методы и решения задач на переливание.

4) Научиться решать задачи на переливание, применяя найденные способы решения.

5) На примерах конкретных задач, выяснить: какие методы более эффективные?

6) Развивать свое логическое мышление.

7) Подготовить подборку наиболее интересных задач, и выпустить брошюру, которую можно использовать при проведении различных внеклассных мероприятий и подготовке к конкурсам и олимпиадам, а также для самосовершенствования.

Методы исследования

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:

• Теоретические - изучение статей и литературы.

• Эмпирические - наблюдения, беседа с одноклассниками.

• Экспериментальные - проведение исследований.

II. Основная часть

В своей работе мы провели большую работу с литературой, проводили опрос среди школьников. Ни один сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без задач на дележи, на переливание, причём много задач на переливании жидкостей из сосуда в сосуд.

Во многих источниках решение задач приводится словесное и в ходе решения можно запутаться, из чего переливали в начале.

Мы решали довольно много задач на переливание, но часто возникал вопрос, как грамотно оформить свои мысли, рассуждения, а иногда проводя решение. Поэтому мы решили разобраться: как можно решать задачи на переливание, существуют ли особые приемы решения таких задач?

Исследовательская работа состояла из двух частей и строилась следующим образом. Первоначально нами было опрошено 58 учащихся 5-9 классов нашей школы по следующим вопросам:

1. Встречались ли вам задачи на переливание?

2. Умеете ли вы решать задачи на переливания?

3. Сколько способов решения задач на переливание вы знаете?

4. Интересно ли вам решать задачи на переливания?

5. Решите задачу на переливания.

Затем с учениками класса с помощью учителя математики были решены задачи на переливание разными способами. В ходе работы, во второй части, исследовали и проводили наблюдение, какими способами пользовались ученики при решении задач на переливания.

Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

1 тип: «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

В задачах такого типа разрешены следующие операции:

• заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

• переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

Необходимо учитывать следующие замечания:

• разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

• разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

• разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным. [6]

2 тип: «Переливайка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую;

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что все сосуды без делений нельзя переливать жидкости "на глаз" невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Способы и методы решения задач

Каждую задачу на переливание можно решать двумя способами:

1 способ. Начать переливания с большего сосуда;

2 способ. Начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя. [10]

Способ использования таблицы

Простейший способ решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Для поиска верного хода решения требуется визуальный контроль сразу нескольких параметров сосудов. Если в одном из них находится жидкость, то вместе с объемом налитого, приходится помнить еще и об объеме свободной части. А это уже целых 2 параметра. Чтобы упростить учет всех возможностей по изменению состояний удобно заносить данные об объемах каждого сосуда в специальную таблицу.

Задача: Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? [7]

В каждую колонку надо заносить состояния всех сосудов после каждого изменения и внимательно следить за их параметрами, чтобы избежать повторений. Если перебрать все возможные варианты, ни разу не повторяясь, то среди них обязательно найдется искомая комбинация.

Способ использования Бильярдного стола

Задача: с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2 л воды. [1,2]

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц (рис. 1).

Рис. 1

Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст.

Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически на рисунке. Наклонные стрелки говорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо больший сосуд надо наполнить водой до краев.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. Метод бильярдного шара можно применить к задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов.

Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь нижний правый угол (рис. 3). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объем.

Способ использования координатной четверти.

После рассмотрения метода бильярдного стола мы пришли к мысли, нельзя ли поменять стол на координатную четверть? Построив координатную четверть хОу, мы попробовали решить задачи на переливание. И унас получилось. На оси Ох отметил объем большего сосуда (Б), а на оси Оу - объём меньшего (М). Можно наоборот. Просто количество ходов будет другим. Начертили прямоугольник со сторонами ОМ и ОБ. Полученный прямоугольник разделил на Б*М квадратов. Построили ломаную линию. Начало ломаной точка (0;0). Если звено ломаной параллельно ОБ, то наполняется большой сосуд, а если параллельно ОМ, то жидкость выливается из меньшего сосуда, т.е. он опустошается. Если звенья проходят по диагоналям квадратов вверх, то жидкость переливается из большего в малый. Конец ломаной точка, одна из координат которой будет показывать количество жидкости в сосуде, которое нам необходимо было получить. Если нужное нам число является первой координатой точки, то необходимое количество жидкости находится в большом сосуде. Если же это число, вторая координата точки, то - в малом сосуде.

Задача. Рядом с нашей деревней Арабоси протекает река Аря. Как при помощи двух вёдер объёмом 8 л и 5 л отмерить ровно 7 л речной воды? 1 решение На оси Ох отметим объём меньшего сосуда, а на оси Оу объём большего. (0;0) __ (5;0)__(0;5)__(5;5)__(2;8)__(2;0)__(0;2)__(5;2)__(0;7). Задача решена в 8 ходов.

2 решение. На оси Ох отметим объём большего сосуда, а на оси Оу- меньшего. (0;0)__(8;0)__(3;5)__(3;0)__(0;3)__(8;3)__(6;5)__(6;0)__(1;5)__(1;0)__(0;1)__(8;1)__ (4;5).__(4;0)__(0;4)__(8;4)__(7;5) Задача решена в 16 ходов.

Условие разрешимости задач

Всегда ли задачи типа «Водолей» и «Переливашка» имеют решения?

Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.

Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, можно отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель. [10]

Заключение

Подведя итог, можно сказать, что в ходе исследовательской работы: 1. Собран теоретический и практический материал по проблеме исследования. 2. По итогам данной работы нами были систематизированы задачи на переливания и составлена брошюра с задачами и решениями. 3. Проведено анкетирование учащихся 7 класса в количестве 13 учащихся перед началом и после организации работы по обучению навыкам решения задач на переливание. 4. Проведена работа с учащимися 7 класса по исследованию гибкости мышления с помощью задач на переливания. 5. Адаптирован способ решения задач на переливание на координатной четверти.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что выполненная нами работа оказалась плодотворной, учащиеся ознакомились со способами и методами решения задач типа «Водолей» и «Переливайка». Научились правильно применять оптимальные способы для решения задач на переливания. По отзывам учащихся, проведенная работа позволила им овладеть методами решения задач на переливания, расширила их кругозор. Учащиеся отметили возможность и практичность применения координатной четверти при решении данного типа задач. Проделанная работа получила положительные отзывы от учащихся и учителей математики нашей школы.

Список использованных источников

1. Гальперин Г.А., Математические бильярды - М.: Наука,- 1990.- 290с.

2. Гальперин Г.А., Периодические движения бильярдного шара/ Квант. 1989. № 3.

3. Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988

4. Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959

5. В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990

6. Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование. 1996. N1.

7. И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991

8. i-u.ru/biblio/archive/makovelskiy_logic_history/4.aspx (сайт русского гуманитарного интернет университета, статья история логики)

9. ru.wikipedia.org/wiki/ (ВИКИПЕДИЯ-современная энциклопедия)

10. wiki.syktsu.ru/index.php/Способы решения логических задач.