Средняя линия треугольника. Свойство медиан

План-конспект урока

Класс 8

Тема: Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника

Образовательная цель:

1. Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о средний линии треугольника и свойства медиан треугольника.

Развивающая цель:

Развивать речь, продолжать обогащать и усложнять словарный запас учащихся.

Воспитательная цель:

Воспитывать чувства доброжелательности, ответственности к своему и чужому мнению.

Тип урока: закрепление.

Организационная форма урока: практическая работа с учащимися.

ТСО и наглядность: готовые чертежи, карточки с заданиями для самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент (3 минут);

2. Актуализация знаний учащихся (7 минут);

3. Проверка домашнего задания (5 минут);

4. Практическая работа (25минут);

5. Итог урока (3минуты);

6. Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока.

Организационный момент:

- приветствие;

- проверка списочного состава класса;

-настрой учащихся на работу;

- сообщение темы урока, целей занятия и плана.

Актуализация знаний учащихся:

Теоретический опрос:

• Сформулируйте и докажите теорему средней линии треугольника.

• Сформулируйте свойства медиан треугольника.

Проверка домашнего задания:

Проверить решение задач № 567.

Практическая работа:

1. Решение задач на готовых чертежах. Устно с обсуждением решений.

В В 4 С В

Е М N P C¹ O A¹

6 9

A F C A 6 D A C

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

1. Найти: а) EF, если BC=10,6 см; б)BC, если EF=4,2. (Ответ: а) EF=5,3; б) ВС=8,4)

2. ABCD - трапеция. Найти: MP. (Ответ: MP=5 см.)

3. Найти: С¹О и А¹О. (Ответ: по свойству медиан треугольника С¹О =9/2=4,5; А¹О=6/2=3).

2. Решение задач. (Один ученик решает у доски, остальные на местах)

В прямоугольном треугольнике АВС медиана ВВ¹ равна 10 см. Найдите медианы АА¹ и СС¹, если известно, что АС=12 см. (Ответ: АА¹=4√10, СС¹=2√13).

А Решение: Рассмотрим треугольник С ВВ¹ и найдем СВ по т.Пифагора

СВ=√10²-6² =√64 =8 (см). Найдем АА¹ по т.Пифагора из

В¹ С¹ треуг-ка С АА¹, АА¹=√12²+4² = 4√10 (см). Рассмотрим

треуг-к СС¹В в нем СС¹= С¹В ( С¹А¹ параллельна АВ, т.к.

С В сред. линия АВС, → С¹А¹ перпендикулярна к СВ, значит

А¹ С¹А¹ является и высотой и медианой, а следовательно

треугольник СС¹В равнобедр.) Найдем АВ по т.Пифагора

АВ=√12²+8² = 4√13 (см)

С С¹=С¹В=2√13 (см)

Ответ: АА¹=4√10 (см), С С¹=2√13 (см)

3. Самостоятельная работа (Учащиеся работают на местах самостоятельно)

1 уровень.

1 вариант

1. Е и F - середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

1 уровень.

2 вариант

1. М и N - середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2 уровень.

1 вариант

1. - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, E и F - середины сторон AB и BC, OE=4 см, OF=5 см. Найдите периметр ABCD.

2. Вычислите меди анны треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

2 вариант

1. АВСD - параллелограмм с периметром 28 см, O - точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки O до середины CD, если расстояние от точки O до середины BC равно 3 см.

2. Вычислите медианы треугольника со сторонами 13 см, 13 см, 10 см.

Ответы к самостоятельной работе:

1 уровень.

1 вариант

1. EF=7см, ےBEF=72°. (По теореме о средней линии треугольника)

2. рис. АА¹=√13²+5² = 12, ОА¹=2:1→ АО=8, ОА¹= 4, ОВ=√5²+4² =√41.

Ответ: ОВ=√41

А

13 О 13

4

В 5 5 С

2 вариант

1. АВ=16см, ےB=46°. (По теореме о средней линии треугольника)

2. рис. ВВ¹=√10²+8² = 6, ОВ:ОВ¹=2:1→ АО=8, ОВ¹= 2, АО=√8²+2² =√68 =2√17

Ответ: АО=2√17

В

10 О 10

2

А 8 В¹ 8 С

2 уровень

1 вариант

1. рис. EO и OF - средняя линия, АВС → ВС=8см, АВ=10см. PABCD=36 см.

Ответ: 36 см.

F

В C

5

E 4 O

A D

2. рис. ВВ¹=√25²+7²= 24 см, ОВ¹=8 см→АО=√7²+8² = √113 см, АА¹=СС¹=1,5√113 см

Ответ: 24 см, √113 см, 1,5√113 см

В

С¹ А¹

О

8

А С

7 7 2 вариант

1. OM и ON - средняя линия, BCD→ CD=6 см, BC=2ON→

PАВСD= 2(CD+BC)=2(6+2ON)=28, откуда ON=4 см.

Ответ: 4см.

В M C

3

O N

A D

2. рис. ВВ¹=√13²-5²= 12 см, ОВ¹=4 см, АО=√5²+4² = √41 см, АА¹=СС¹=1,5√41 см

Ответ: 12 см, √41 см, 1,5√41 см.

В

С¹ А¹

О

4

А 5 В¹ 5 С

Итог урока:

- И так, сегодня мы с вами повторили теорему о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника, решили задачи на применение данных теорем, а так же прошла небольшая самостоятельная работа, после проверки которой, вам будут выставлены соответствующие оценки.

Домашнее задание: п. 62, № 568(а), № 569.

Самостоятельная работа

1 вариант

1. Е и F - середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2 вариант

1. М и N - середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

1. вариант

1. Е и F - середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2. вариант

1. М и N - середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

1. вариант

1. Е и F - середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2. вариант

   1. М и N - середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.

   2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

1. вариант

1. Е и F - середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.

2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2. вариант

   1. М и N - середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.

   2. В равнобедренном треугольнике АВС О - точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2 уровень.

1 вариант

1. O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, E и F - середины сторон AB и BC, OE=4 см, OF=5 см. Найдите периметр ABCD.

2. Вычислите меди анны треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

2 вариант

3. АВСD - параллелограмм с периметром 28 см, O - точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки O до середины CD, если расстояние от точки O до середины BC равно 3 см.

4. Вычислите медианы треугольника со сторонами 13 см, 13 см, 10 см.

3 уровень

1 вариант

1. В параллелограмме ABCD угол A=30°, AD=16 см, M - середина BC. AM пересекает BD в точке N, CN пересекает AB в точке P, AP=6 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. В треугольнике со сторонами 15 см, 15 см, 24 см найдите расстояние от точки пересечения медиан до сторон треугольника.

2 вариант

1. В параллелограмме ABCD угол A=60°, AВ=10 см, E - середина CD. BE пересекает AC в точке P, DP пересекает BC в точке K, BK=7 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. Расстояние от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см, 5 см. найдите стороны треугольника.