Методические указания к выполнению практических заданий по теме Тела вращения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«ПЕРЕВОЗСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Методические указания

к выполнению практических заданий

по дисциплине «Математика»

Перевоз, 2013

Составитель: Е.В. Исайчева

Тела вращения: Методические указания к выполнению практических заданий по дисциплине «Математика»/ Перевозский строит. колледж; Сост.: Е.В. Исайчева. - Перевоз, 2013. - 42 с

Методические указания по теме "Тела вращения" предназначены для организации самостоятельной работы обучающихся 1 курса всех специальностей. Их цель - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач, а также помочь при подготовке к ЕГЭ.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

ЦИЛИНДР 5

КОНУС 12

Тестовые вопросы 23

Ответы к тестам 31

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 32

Контрольная работа 39

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 42

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания включают в себя краткий теоретический материал по теме "Тела вращения", практический блок, состоящий из решенных задач и заданий для самостоятельного решения. Методические указания предназначены для обучающихся 1 курса всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика», но ими могут воспользоваться и обучающиеся старших курсов при подготовке к ЕГЭ.

Цель методических указаний - помочь обучающимся освоить тему, систематизировать свои знания, ознакомиться с некоторыми методами решения простейших задач.

Попыткой достигнуть этой цели и определяется структура данного пособия: в начале каждого параграфа кратко изложен теоретический материал (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать пособие, не прибегая к учебникам. Далее указываются методы решения задач какого-либо вида и разбираются конкретные примеры на использование этих методов. Приведенные решения также могут служить иллюстрацией правильного оформления решения в письменных работах. После этого даны задания для самостоятельного решения, причем расположены они по возрастанию их сложности. В конце пособия приведены тестовые вопросы и варианты контрольной работы по данной теме.

Если после изучения темы с использованием данных методических указаний останутся невыясненные моменты, следует обратиться за консультацией (устной или письменной) к преподавателю.

ЦИЛИНДР

Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы цилиндра, сечение цилиндра, формулы площади боковой и полной поверхности цилиндра научиться решать задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

1. Изучите теоретический материал:

Понятие цилиндра

Определение : Цилиндр - тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр получается при вращении прямоугольника OBBO вокруг стороны OO.

прямая OO - ось цилиндра

отрезок OO- высота,

отрезок АА= ВВ - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O, OВ) - основание цилиндра

рис1.

Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 2,а), две стороны которого - образующие, а две другие - диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси, то сечение является

в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, то сечение является кругом (рис. 2,б)

а) рис. 2 б)

Развёртка цилиндра состоит из двух кругов (основания цилиндра) и прямоугольника (боковая поверхность) (рис 3). Длины окружностей равны длине прямоугольника.

рис. 3

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

₍₁₎

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

₍₂₎

2 Рассмотрите задачи с решениями:

Задача 1.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Значит,

Ответ: 8

Задача 2.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π, а высота - 8 . Найдите диаметр основания.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Найдём радиус основания:

Диаметр равен двум радиусам. Значит,

Ответ: 8

Задача 3.

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решeние:

Площадь боковой поверхности цилиндра , поэтому

Ответ: 12.

Задача 4.

Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решeние:

Площадь боковой поверхности цилиндра равна , где C - длина окружности основания. Поэтому

Ответ: 6.

Задача 5.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.

Решение.

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то

CD = AC cos 30°

Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций.

CD = 8 * √3/2 = 4√3

Аналогично,

AD = AC sin 30°

AD = 8 * 1/2 = 4

Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
S₁ = πR² = 4π

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть:

S₂ = 2πRh = 2π * 2 * 4√3 = 16π√3

Общая площадь поверхности цилиндра равна:

S₁ + S₂ = 4π + 16π√3

Ответ: 4π + 16π√3

Задача 6.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен . Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Дано:

Найти:

а) h; б) r; в) S_осн

Решение:

а)

б)

в) .

Задача 7.

Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Дано:

Найти: S_ABCD

Решение:

.

Ответ: 64

Задача 8.

Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра

Решение.

1. Проведем диагональ АС сечения АВСD.

2. DADC - равнобедренный, прямоугольный, АD=DC, h = 2r,

Þ ÐCAD = ÐACD=45°, тогда

3. Найдем радиус основания

4. Найдем площадь основания

Ответ:

Задача 9.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь основания цилиндра.

Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S_{квадрата} = Q.

Найти: S_{осн.цил.}

Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S_{осн.цил.} =

Задача 10.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S_сеч.

Решение:

S_сеч.= КМ×КС,

ОЕ = 4 см, КС = 6 см.

Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК − прямоугольный.

Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:

ЕК = ,

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S_сеч.= 6×6 = 36 см².

Ответ: S_сеч.= 36 см².

Задача 11.

Диаметр основания цилиндра 1м.

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.

Найти: S_бок.ц.

Р

ешение:

S_бок. = 2πRh,

R = = 0,5 м,

S_бок. = 2πR × 2πR = (2πR)² = 4π² ×0,25 = π²

Ответ: S_бок. = π² (м²).

3 Задания для самостоятельной работы обучающихся

Решите следующие задачи, используя теоретический материал и примеры, приведенные выше:

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота - 1. Найдите диаметр основания.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.

3. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, где радиус основания равен 5см, а высота 15 см.

4. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 80π, а высота цилиндра 10.

5. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен 5 см, а площадь полной поверхности цилиндра равна 90π см².

6. Найдите радиус основания цилиндра, если площадь осевого сечения цилиндра равна 64 дм², а высота цилиндра 16 дм.

7. Радиус основания цилиндра 1,5 см, а высота - 4 см. Чему равна диагональ осевого сечения?

8. Осевое сечения цилиндра квадрат, площадь которого 36 дм². Чему равна площадь основания цилиндра?

9. Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг одной из своих сторон. Чему равна площадь основания полученного тела?

10. Высота цилиндра 8 см, радиус основания 1 см. Чему равна площадь осевого сечения?

11. В равностороннем цилиндре радиус основания равен 7,5 см. Чему равна площадь осевого сечения?

12. Определите площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра, высота которого 8 см.

13. Площадь боковой поверхности 75π см². Найдите площадь его полной поверхности, если радиус основания равен 5 см.

14. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности цилиндра, радиус основания которого 2 см, а высота- 10 см?

15. Какова площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра с радиусом основания 5 см?

16. Высота цилиндра 20 см, радиус основания 10 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 см от неё.

17. Высота цилиндра - 12 см, радиус основания - 7 см. Цилиндр пересечён плоскостью так, что в сечении оказался квадрат. Найдите расстояние от сечения до оси.

Тестовые вопросы к теме «Цилиндр»

1 вариант

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания - 3 см. Найдите высоту цилиндра.

а) см; б) 12 см; в) 5 см; г) см;

д) см;

2. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 4 см². Найдите площадь основания цилиндра.

а) 2π см²; б) π см²; в) 4π см²; г) 0,5π см²;

д) определить нельзя.

3. Радиус цилиндра равен х, его высота - 2, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности - 2у. Найдите х и у.

а) х = 2, у = 8π; б) х = 1, у = 4π; в) х = 2, у = 8;

г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16π

4. Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна 8√3, она наклонена к плоскости основания под углом 60°. Это сечение в основании отсекает дугу в 120°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

а) определить нельзя; б) 48; в) 16√3; г) 96√3;

д) 96.

5. Выберите верное утверждение.

а) Длина образующей цилиндра называется радиусом цилиндра;

б) цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;

в) сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, называется осевым;

г) площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле ;

д) цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг одной из сторон.

6. Сечение проведено параллельно оси цилиндра и отстает от нее на расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра равен 5, а его высота равна 10.

а) 40; б) 80; в) 60; г) 30; д)

7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

а) 2,0 кг; б) 2,1 кг; в) 2 кг; г) 1,9 кг; д) 2,03 кг.

8. Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат со стороной 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

а) 7,283; б) 0,159; в) 1,318; г) 1,159; д) 0,318.

9. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Найдите площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.

а) 40π; б) 40 ; в) 32π; г) 20π; д) 32.

10. Радиус r основания цилиндра в3 раза меньше его высоты h. Площадь полной поверхности цилиндра равна 288π см². Найдите r и h.

а) r = 18 cм, h = 6 cм; б) r = 6 см, h = 18 см; в) r = 2 см, h = 6 см;

г) определить нельзя; д) r = 12 см, h = 36 см.

2 вариант

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а высота - 5 см. Найдите радиус цилиндра.

а) см; б) 8 см; в) 4 см; г) см;

д) 16 см.

2. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2π см². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

а) 8π см²; б) 8 см²; в) 2 см²; г) 4 см²; д) определить нельзя.

3. Радиус цилиндра равен 2, его высота - х, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности равна 2у. Найдите х и у.

а) х = 2, у = 8π; б) х = 1, у = 4π; в) х = 2, у = 8; г) х = 6, у = 24; д) х = 4, у = 16π

4. Сечения цилиндра плоскостью, параллельное оси, удалено от нее на √3. Это сечение отсекает в основании дугу в 60°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь данного сечения равна 8.

а) определить нельзя; б) 8; в) 16√3; г) 8√3; д) 16.

5. Выберите верное утверждение.

а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра;

б) площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади основания цилиндра на его высоту;

в) сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра, называется осевым;

г) площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле ;

д) цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

6. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

а) 3; б) 4; в) 8; г) 5; д)

7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,44 м и высоту 1,25 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

а) 2,0 кг; б) 2,2 кг; в) 2,3 кг; г) 2,1 кг; д) 2,23 кг.

8. Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

а) 5,141; б) 0,159; в) 4,637; г) 2,159; д) 0,318.

9. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной, равной 4, и углом 60°. Высота параллелепипеда равна 5. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед цилиндра.

а) 20π√3; б) 10√3; в) 10π; г) 20π; д) 10π√3.

10. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256π см². Найдите радиус r и высоту цилиндра h.

а) r = 8 cм, h = 6 cм; б) r = 6 см, h = 6 см; в) r = 6 см, h = 8 см;

г) r = 8 см, h = 8 см. д) определить нельзя.

Ответы к тестам

КОНУС

Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы конуса, сечение конуса, формулы площади боковой и полной поверхности конуса ,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

1 Изучите теоретический материал:

Понятие конуса

Определение: Конус - тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

точка S - вершина конуса

круг(О,ОА) - основание конуса

SA=SB - образующие конуса

Отрезок SO - высота конуса

Прямая SO - ось конуса

Рассмотрим сечение цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник (рис. 4 ,а), основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг (рис. 4 ,б).

а) рис. 4 б)

Боковую поверхность конуса, как и боковою поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор ( рис 5), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

рис.5

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

_{Усеченный конус}

Определение : Усеченным конусом - называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Круги O и O₁ - его основания, его образующие AA₁ равны между собой, прямая OO₁ - ось, отрезок OO₁ - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

2 Рассмотрите задачи с решениями:

Задача 1

Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами:

S₁= пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей

S₂= пr²- площадь круга, то есть основания конуса

Таким образом, площадь поверхности конуса составит

S = S₁+ S₂

Поскольку S₁= пrl , найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то

l²= h²+ r²

Тогда

Ответ: 300п ≈ 942,48 см².

Задача 2.

Площадь основания конуса 36π см² , а его образующая 10 см.
Вычислить боковую поверхность конуса.

Решение.
Зная площадь основания, найдем его радиус.
S = πR²
36π = πR²
R² = 36
R = 6
Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле:
S = πRl
где
R - радиус основания
l - длина образующей

откуда
S = π * 6 * 10 = 60π

Ответ: 60π см² .

Задача 3.

Высота конуса равна 57, а диаметр основания - 152. Найдите образующую конуса.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

Ответ: 95

Задача 4.

Высота конуса равна 21, а длина образующей - 75 . Найдите диаметр основания конуса.

Решение:

Диаметр основания конуса равен двум радиусам. Радиус мы можем найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника:

Следовательно, диаметр основания конуса равен 144.

Ответ: 144

Задача 5.

Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей - 100 . Найдите высоту конуса.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

Ответ: 96

Задача 6.

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решeние:

Площадь боковой поверхности конуса равна , где - длина окружности основания, а - образующая. Тогда

Ответ: 3.

Задача 7.

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Решeние:

Площадь боковой поверхности конуса равна , где - длина окружности основания, а - образующая. При увеличении образующей в 3 раза площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.

Ответ: 3.

Задача 8.

Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной 2r.Найдите площадь сечения , проведенного через две образующие конуса,угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Решение:

а)∠BSC=30 ° ;SC=SB=2r

SBSC = ½∙SB∙SC∙sin30 °,

SBsc =2r∙2r/4=r²

б)∠BSC=45°;

SBSC =2r∙2r∙√2/4=r²√2

в)∠BSC=60 °;

SBSC =2r∙2r∙√3/4=r²√3

Задача 9.

Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центом О1 радиуса r1, где О1-точка пересечения плоскости α с осью РО, α

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1. ΔРО1М1~ΔРОМ (острый <Р) =>

=>

=> (·) М лежит на окружности основания конуса, => РМ - образующая конуса.

2) ΔРО1М1~ΔРОМ =>

=> окружность радиуса r1 с центром О1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.

Задача 10.

Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Дано:

АВС- прямоугольный треугольник

С=90

АС=6 см.

СВ=8 см.

АВ- образующая

АВ=L

Найти:

Sбок. пов.-?

Sпол. пов.-?

Решение:

1. АВ-?

АВС- прямоугольный =>

АВ² = АС² + СВ²

АВ= √100 =10

2. Sбок. пов. -?

Sбок. пов. =ПRL

S= П*8*10= 80П см²

3. Sпол. пов. -?

S пол. пов. =ПR*(R+L)

S=8П(8+10)=8П*18= 144П см²

Задача 11.

Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3см и 4см, а высота равна 4 см

Дано: усеченный конус, OB=3см, АО₁=4см, ОО₁=4см

Найти: АВ - ?

Решение:

AB - образующая

Осевое сечение - трапеция (ABCD)

BC = 2OB = 6 см

AD = 2AO₁ = 12 см

AB₁ = (AC - BC)/2 = 3 см т.к. р/б трапеция

(АB)² = (AB₁)² + (BB₁)² = 9 + 14 = 25 (см²)

АB = 5 см

Ответ: 5 см

3 Задания для самостоятельной работы обучающихся

Решите следующие задачи, используя теоретический материал и примеры, приведенные выше:

1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.

2. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

3. Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса.

4. Найдите площадь осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2 см, а высота равна 6 см.

5. Найдите площадь сечения проходящего через вершину конуса, если угол между образующими в сечении равен 30° и образующая равна 5см.

6. Найдите высоту конуса, если радиус основания конуса равен 6 см, а площадь боковой поверхности равна 60π см².

7. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°. Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 36 см², а высота конуса 12 см. Найдите радиус основания.

9. Чему равна площадь развёртки боковой поверхности конуса, у которого радиус равен 4 см, а высота равна 3 см?

10. Найдите площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если радиус основания равен 7 см.

11. Чему равна площадь боковой поверхности равностороннего конуса, если его образующая равна 12 см?

12. Определите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиусу оснований равны 6 см и 8 см, а образующая равна 5 см.

13. В равностороннем конусе образующая равна 8 см. Чему равна площадь осевого сечения?

14. Площадь полной поверхности конуса равна 136π см², радиус основания конуса - 6 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

15. Площадь развёртки полной поверхности усечённого конуса 150π см². Чему равна площадь его боковой поверхности, если радиусы оснований 3 см и 6 см?

Тестовые вопросы к теме «Конус»

1 вариант

1. Выберите верное утверждение.

а) Конус может быть получен в результате вращения равностороннего треугольника вокруг его стороны;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) разверткой боковой поверхности конуса является круговой сегмент;

г) площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению суммы длин окружностей оснований на образующую;

д) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг.

2. Образующая конуса, равная 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

а) 2√3 см²; б) 4√3 см²; в) 16√3 см²; г) 8√3 см² д) 32√3 см².

3. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.

а) б) в) г) 5625π см² д) 9π см²

4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

а) 2π см²; б) 2π√2 см²; в) 4π см²; г) 4π√2 см²; д) 8π см²

5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

а) б) 12π(7 - 4√3) см²; в)

г) π см²; д)

6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту усеченного конуса.

а) 4 см; б) 3 см; в) 12 см;

г) определить нельзя; д) 6 см.

7. Полукруг свернут в конус. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°.

8. Длина образующей усеченного конуса равна 29 см, высота - 20 см, радиусы оснований относятся, как 5:9. Найдите периметр осевого сечения усеченного конуса.

а) 205 см; б) 102,5 см; в) 47,25 см; г) 26,25 см; д) 73,5 см.

9. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 4, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

а) Определить нельзя; б) 9π; в) 72π; г) 18π; д) 36π.

10. Радиус верхнего основания, высота, образующая и радиус нижнего основания усеченного конуса составляют арифметическую прогрессию с разностью 4. Вычислите площадь полной поверхности усеченного конуса.

а) 144π; б) 1256π; в) 1584π; г) 1440π; д) 360π.

2 вариант

1. Выберите неверное утверждение.

а) Конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле ;

г) осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция;

д) конус называется равносторонним, если его осевое сечение - правильный треугольник..

2. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

а) 8√3 см²; б) √3 см²; в) 16√3 см²; г) 4√3 см² д) 2√3 см².

3. Радиус основания конуса и его высота равны 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей параллельно основанию на расстоянии 4 см от его вершины.

а) 16π см² б) 12π см² в) 8π см² г) 49π см² д) 3,0625π см²

4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 60°. Угол между образующими в сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

а) 2π см²; б) 2π√2 см²; в) 4π см²; г) 4π√2 см²; д) 8π см²

5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его радиуса и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

а) π см² б) 4π(2√3 + 3) см²; в) г) д) 4π см²;

6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 10√3 см и 6√3 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту усеченного конуса.

а) 4 см; б) 6 см; в) 12 см;

г) определить нельзя; д) 3 см.

7. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.

а) 120°; б) 90°; в) 60°; г) 45°; д) 30°.

8. Длина образующей усеченного конуса равна 13 см, высота - 12 см. Найдите радиусы оснований, если периметр осевого сечения усеченного конуса равен 56 см..

а) 6 см и 12 см; б) 5 см и 10 см; в) 5 см и 15 см; г) 10 см и 12 см; д) 12 см и 13 см.

9. В усеченный конус, образующая которого равна 6, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

а) Определить нельзя; б) 9π; в) 72π; г) 18π; д) 36π.

10. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если его радиусы равны 21 и 11, а длина диагонали осевого сечения равна 40.

а) 1394π; б) 832π; в) 1273π; г) 953π; д) 562π.

Ответы к тесту

Ответы

Вариант

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

б

в

а

б

б

д

в

а

д

Г

2

в

г

а

б

г

в

д

б

д

А

СФЕРА И ШАР

Цели: в ходе изучения данной темы обучающиеся должны освоить основные понятия и определения темы, элементы сферы и шара, сечение шара, формулу площади сферы ,научиться решать простейшие задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

1 Изучите теоретический материал:

1. Шар - тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.

Сфера - граница шара.

Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

2. т. О - центр шара

ОА=ОВ - радиус шара

АВ - диаметр

3. а) Всякое сечение шара плоскостью - круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

б) плоскость, проходящая через центр шара - диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью.

4. Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А - плоскостью касания.

а) многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.

б) многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.

2 Рассмотрите задачи с решениями:

Задача 1.

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Решeние:

Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы - как . Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга.

Ответ: 12.

Задача 2.

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решeние:

По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2r равна

.

Площадь поверхности шара радиуса равна , то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.

Ответ: 12.

Задача 3.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

Решeние:

Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 2² = 4 раза.

Ответ: 4.

Задача 4.

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решeние:

Объемы шаров соотносятся как

,

Откуда Площади их поверхностей соотносятся как

.

Ответ: 9.

Задача 5.

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решeние:

Из условия найдем, что радиус такого шара

.

Ответ: 10.

1. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

2. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см².

3. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

4. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

5. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см². Чему равен радиус шара?

6. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.

7. Шар с центром в т.О касается плоскости в т.В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

8. Найдите координаты центра сферы и радиус сферы, если она задана

Сфера и шар

1 вариант

1. Найдите расстояние от центра шара с радиусом 6 см до плоскости сечения, радиус которого равен 3√3 см.

а) 2√3 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 3√3 см; д) 6 см.

2. Даны шары с радиусами 4 см и 3 см, расстояние между их центрами равно 5 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

а) Определить нельзя; б) 2,4 см; в) 4,8π см; г) 1,2 см; д) 2,4π см.

6. Выберите неверное утверждение.

а) Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра;

б) тело, ограниченное сферой, называется шаром;

в) сечение шара плоскостью есть круг;

г) площадь сферы можно вычислить по формуле S = 4πr²;

д) если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.

а) Определить нельзя; б) 3π; в) 4π√3; г) 12π; д) 36π.

9. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π и 25π. Найдите площадь сферы, если расстояние между сечениями равно 17.

а) 100π; б) 169π; в) 676π; г) 576π; д) 119π.

10. Диаметр шара разделен на три части в отношении 1:3:2, через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если сумма площадей сечений равна 52π см².

а) 36π см²; б) 144π см²; в) 72π см²; г) 324π см²; д) 100π см².

2 вариант

1. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см, а радиус сечения равен √7 см.

а) 3√2 см; б) 3 см; в) √2 см; г) 4 см; д) 2 см.

2. Даны шары с радиусами 8 см и 6 см, расстояние между их центрами равно 10 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

а) 9,6π см; б) 2,4 см; в) Определить нельзя; г) 4,8 см; д) 4,8π см.

6. Выберите неверное утверждение.

а) В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром имеет вид ;

б) если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы есть окружность;

в) плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере;

г) радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, параллелен касательной плоскости;

д) радиус шара совпадает с радиусом сферы, ограничивающей данный шар.

8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.

а) 32π; б) 64π; в) 16π√2; г) 16π; д) Определить нельзя.

9. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10π и 24π, расстояние между сечениями равно 7, их центры лежат на одном радиусе. Найдите площадь сферы.

а) 100π; б) 169π; в) 144π; г) 576π; д) 676π.

10. Радиус сферы разделен на три равные части и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите площадь сферы, если разность длин сечений равна 6(2√2 - √5)π см.

а) 36π см²; б) 144π см²; в) 324π см²; г) 72π см²; д) 100π см².

Ответы

Вариант

Задание

1

2

3

4

5

6

1

б

в

д

г

в

Б

2

г

а

г

а

д

В