Конспект урока по теории вероятности

Конспект урока «Противоположное событие и его вероятность. Диаграммы Эйлера»

Учитель математики: Храброва Екатерина Викторовна

Класс: 8 «Б»

Предмет: теория вероятностей и статистика.

Литература: 1. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1-4,Москва Педагогический университет «Первое сентября»,2006г

2. Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко Теория вероятностей и статистика, Издательство МЦНМО Москва 2011

Тема урока: «Противоположное событие и его вероятность. Диаграммы Эйлера».

Продолжительность урока: 45 мин.

Цели урока:

познакомить учащихся 8-го класса с понятиями противоположные события, формулами их вероятности

развивать умения решать задачи.

воспитывать аккуратность, внимательность, самостоятельность.

Задачи:

формировать вероятностное мышление;

способствовать запоминанию основной терминологии;

формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

Новые понятия:

Противоположные события

Диаграммы Эйлера

Оборудование: Монета, игральные кости, таблица бросания двух игральных костей.,

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока:

I. Организационный этап.

IІ. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала:

1. Сообщение темы изучения нового материала.

2. Формулировка цели и задач изучения нового материала.

3. Мотивация учащихся к усвоению нового материала.

Напомним, то случайный опыт оканчивается каким-либо одним элементарным событием. Какое именно элементарное событие наступит в данном опыте - дело случая. Два разных элементарных события произойти не могут.

Можно сказать, что всякое событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называются благоприятствующими событию А.

ІІІ. Этап усвоения новых знаний:

События «выигрыш» и «не выигрыш» в лотерее являются противоположными событиями.

Определение: Событие (А с чертой или не А) называют событием противоположным событию А, когда оно происходит, когда не происходит событие А.

Приведем несколько примеров:

1) «выигрыш» и «не выигрыш» в лотерее;

2) «появление орла» и «появление решки» в результате одного бросания;

3) «появление двух оков» и «появление не двух оков» (т.е. появление либо 1, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6) в результате бросания игрального кубика;

4) «остановка стрелки на секторе 4» и «остановка стрелки не на секторе 4» в результате раскручивания рулетки.

Если событие В противоположно событию А, т.е В = , то событие А противоположно событию В: А = . Поэтому события А и называют взаимно противоположными или дополнениями друг для друга.

Приведите примеры противоположных событий.

1) Рассмотрим следующие случайные события:

А = {выпадет четное число очков},

В = {выпадает шестерка},

С = {выпадет число меньше трех}.

Каждое из них можно записать в виде множества благоприятных исходов:

А = {2, 4, 6}, В = {6}, С = {1,2}.

Противоположные события будут:

= {выпадет нечетное число очков},

= {выпадает не шестерка},

= {выпадет число большее или равное трех}, а дополнительными множествами -

= {1,3,5}, = {1,2,3,4,5}, = {3,4,5,6}.

Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому

Р(А) + Р() = 1.

Другими словами, сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единицы.

Следовательно, Р() = 1 - Р(А) и Р(А) = 1 - Р().

Из этих формул следует, что для вычисления Р(А) достаточно знать Р(.

Пример:

Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадет разное (не одинаковое) число очков?

Решение: Пусть А = {на кубиках выпало разное число очков},

тогда = {на кубиках выпало одинаковое число очков}.

Событию благоприятствуют шесть элементарных событий:

(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Вероятность каждого из этих элементарных событий, как мы знаем, равна .

Следовательно, Р( = = .

Тогда Р(А) = 1 - Р() = 1 - = .

Соотношения и связи между событиями можно изобразить с помощью схематических рисунков. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера.

Пусть прямоугольник изображает все элементарные события. Событие А изобразим в виде круга внутри прямоугольника. В этом случае оставшаяся часть прямоугольника изображает событие , противоположное событию А.

На рисунке с помощью диаграммы Эйлера изображены два события: событие А и противоположное событие .

Если нужно изобразить несколько событий, то рисуют несколько фигур - по одной для каждого события. При этом фигуры могут располагаться по-разному, показывая, как связаны между собой данные события.

Упражнения:

1. В случайном эксперименте 20 элементарных событий. Событию А благоприятствуют 12 из них. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию . (8)

2. В некотором случайном опыте может произойти событие К. Найдите вероятность события , если вероятность события К равна:

а) 0,4; б) 0,85; в) 0,13; г) .

Решение: Воспользуемся формулой Р() = 1 - Р(К).

а) Р() = 1- 0,4 =0,6; б) Р() = 1 - 0,85 =0,15; в) Р() =1 - 0,13 =0,87;

г) Р() = 1 - =

3. В ящике лежит 3 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар окажется не белый?

Пусть А - вынутый шар не белый.

Найдет вероятность противоположного события - вынутый шар белый.

Р() = = = . Искомая вероятность находится Р(А) = 1 - Р() = 1 - = .

4. Монету бросают 6 раз. Событие А записано как подмножество исходов:

А = {ОРОРОР, РОРОРО}. Найдите Р().

Решение: Всего в опыте 2⁶ = 64 равновозможных исхода. Событие А содержит 2 исхода, значит, - 62 исхода. Получаем , Р () = = .

5. В школьном научном обществе 10 человек: 7 мальчиков и 3 девочки. Случайным образом из членов общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию. Какова вероятность того, что среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка?

Решение: Пусть А - среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка. Тогда событие - среди выбранных двух человек нет ни одной девочки (т.е. выбраны только мальчики). Найдет Р(). число всевозможных пар, составленных из мальчиков

N= ; m = N = = 21.

число всевозможных пар, составленных их 10 школьных, равно

n = = 45. Таким образом, Р() = = = .

Тогда по формуле Р(А) = 1 - Р() = 1 - = .

Итак, мы сегодня познакомились с понятием противоположные события и формулами их вероятности. Для закрепления нового понятия диктант.

Диктант.

Назвать событие, противоположные указанному в данном испытании.

1. При бросании игральной кости выпало четное число очков.

(«При бросании игральной кости выпало нечетное число очков» или «При бросании игральной кости не выпало четное число очков»).

2. Алеша вытащил выигрышный билет в розыгрыше лотереи.

(«Алеша вытащил билет без выигрыша» или «Алеша не вытащил выигрышный билет»)

3. После раскручивания стрелки рулетки она остановилась на секторе 2.

(«После раскручивания стрелки рулетки, она остановилась на секторе 1 или 3 или 4 » или «После раскручивания рулетки она остановилась не на секторе 2»)

4. Из ящика, в котором лежат 2 белых и 3 черных шара случайным образом вынут белый шар. («Из ящика случайным образом вынут черный шар» или «Из ящика вынут не белый шар»)

Домашнее задание:

П 32., упр. 3, 5(в), 7.

3) а) Докажите, что события А и В не могут быть противоположными, если Р(А) = 0,7, а Р(В) = 0,44. (Для того, то бы события были противоположными, сумма их вероятностей должна быть равной 1, а Р(А) + Р(В) = 0,7 + 0,44 = 1,14 не равно 1, значит события А и В не могут быть противоположными.)

б) вероятность события А равна 0,3, а вероятность события В равна 0,7. Могут ли события А и В быть противоположными. (Р(А) + Р(В) = 0,3 + 0,7 = 1, значит события А и В могут быть противоположными.

5) Бросают одну игральную кость. События А состоит в том, что:

в) выпало число очков, кратное 3.Пересислите элементарные события, благоприятствующие событию и найдите Р()

(А - {3,6}, )

7) В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Из класса случайным образом выбирают одного ученика. Событие D - «выбрана девочка».

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию D?

б) чему равна вероятность события D?

в) Опишите словами событие .

г) чему равна вероятность Р( )?

( а) 10, б) Р(D) = , в) событие - «выбрана не девочка» или «выбран мальчик»,

г) Р() = )