КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине «Математика»

для студентов заочной формы обучения

по специальности:

15.02.08 - Технология машиностроения

2015г.

Составитель: Мозговая И.В., преподаватель СП ГБОУ СПО «Ленинградский машиностроительный техникум им. Ж. Я. Котина»

Рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии

Протокол № 7 от 14.05.2015 г.

Председатель предметно-цикловой комиссии:

__________________/Сергеева И.В./

Согласована на заседании методического совета

Протокол № 7 от 28.05.2015 г.

Заместитель директора по УР:

__________________/Семенова С.А./

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………………4

Глава I. Теория пределов

1. Последовательности, виды последовательностей.....................................................................5

2. Предел последовательности........................................................................................................6

3. Функции (повторение).................................................................................................................8

4. Предел функции в точке..............................................................................................................9

Глава II. Дифференциальное исчисление

1. Производная, механический и геометрический смысл производной,

уравнение касательной правила дифференцирования...............................................................12

2.Приложения производной к исследованию функции.............................................................14

3.Дифференциал, приложения дифференциала..........................................................................19

Глава III. Интегральное исчисление

1. Первообразная. Неопределенный интеграл............................................................................22

2. Определенный интеграл...........................................................................................................29

3. Приложения интеграла............................................................................................................ 31

Контрольная работа……………………………………………………………………………...34

ВВЕДЕНИЕ

Решение обучающимися задач по высшей математике часто сопряжено со многими трудностями. Помочь преодолеть эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач - основное назначение данного пособия.

Предлагаемые материалы предназначены для обучения на занятиях и самостоятельного изучения программы по математике. Они позволяют дифферинцировать обучение путем сочетания теоретического материала, подробного разбора основных методов и примеров решения задач.

Весь материал распределен по трем зачетным разделам (главам) программы. Каждая глава состоит из нескольких параграфов, которыми определяется ее теоретическая часть.

Все главы содержат:

-краткое изложение теоретического материала;

-примеры с подобным разбором разных методов решения;

-упражнения для самостоятельного решения;

Итоговая контрольная работа выполняется после изучения курса в соответствии с вариантом. Варианты рассчитаны на группу обучающихся в количестве 25 человек.

Данное пособие написано в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами и программой курса «Математика» для средних специальных учебных заведений.

Предназначено для внутреннего пользования.

ГЛАВА 1.ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Последовательности, виды последовательностей.

Выпишем в порядке убывания правильные положительные дроби с числителем 1:

;;……..

Каждому натуральному числу соответствует правильная дробь: 1; 2; 3 и т.д. В общем случае любому натуральному числу соответствует единственно правильная дробь с числителем 1, т.е. n.

Таким образом, между множеством всех натуральных чисел и множества дробей вида установлено соответствие. Это соответствие - функция, областью определения которой служит множество 1,2,3,4,…n

А множеством значений

Функция, определенная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.

Значение функции, соответствующие значениям аргумента 1, 2, 3,… принято называть 1-м, 2-м, 3-м,… n-м и т.д. членом последовательности.

Последовательность обозначают (а_1, а_2, а_3…..а_n) или (а_n). Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример: Последовательность задана формулой Х_n=

Найдите Х₁; Х₅; Х_r-2; Х_к;

Подставим вместо n последовательность 1, 5, к-2, к, к+3, получим:

Рассмотрим примеры:

1. (а_n)=

Заметим, что каждый член данной последовательности начиная, со второго, больше предыдущего, т.е. а_n+1> а_n для любого n. Такую последовательность называют возрастающей.

Последовательность (а_n) называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.

2. (Хn) = 1;каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. Хn+1 < Хn для любого типа n. Такую последовательность называют убывающей.

3) (Z_n) = 1; 1; 2; 2; 3; 3; …у этой последовательности Z_n+1 Z_n; такую последовательность называют неубывающей.

4) (Y_n) = 2; 2; 1/2; 1/2; 1/3; 1/3;…..у этой последовательности Y_n+1 Y_n такую последовательность называют невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называют монотонными.

5) (В_n) = -1; 1; -1; 1; ….(-1)ⁿ- не является монотонной.

Последовательность (Х_n) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число M(m), что для всех членов этой последовательности выполняется первенство Х_nM (X_nm). Числа M и m называют соответственно верхней и нижней границами последовательности (Х_n). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом m) геометрически означает, что ни одна точка Х_n не лежит правее точки М (левее точки m).

Последовательность (Х_n) называется ограниченной, если существуют два числа M и m такие, что для всех n выполняется неравенство m X_nM. Тот факт, что последовательность ограничена числами M и m геометрически означает, что все её члены помещаются в промежутке .

Последовательность (Х_n) называется постоянной, если все её члены совпадают.

Пример: Доказать, что последовательность (Х_n)= ограничена снизу и сверху.

Хn = (Х_n=1+); т.е. последовательность ограничена снизу.

Хn =1+ - правильная дробь 1<

§ 2 Предел последовательности

Рассмотрим последовательность Х_n=. Замечаем, что при возрастании номера n члены последовательности приближаются к нулю, причем расстояние между нулём и точками изображающие члены последовательности могут быть как угодно малыми. В этом случае говорят, что предел последовательности (Х_n) равен нулю, т.е.

Х

Число а называют пределом последовательности Х_n если для любого все члены последовательности Х_n кроме, может быть, конечного их числа, лежат в - окрестности (а-; а +) точки а, т.е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство

(Х_n -а)< .

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Если последовательность (Х_n) имеет пределом число а, то пишут

Последовательность называется бесконечной малой, если её предел равен нулю

Последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности

Если (а_n) -бесконечно большая последовательность, то последовательность бесконечно малаяЕсли (а_n) - бесконечно малая, то - бесконечно большая.

Теоремы о пределах

1)

2) след. СR

3)

Примеры: Разделить числитель и знаменатель на n и применить теорему о пределе частного

1)

2)

3)

4)

5)

Упражнения для самостоятельного решения

1) Вычислить пять первых членов последовательности.

а) Х_n=2n+5

б) Х_n=

в) Х_n=

г) Х_n= 4n²+3n+1

2) Напишите общий член последовательности:

а) 1;

б) 1; 7; 13; 19;…

в) 2; 4; 8; 16; 32;…

г) 1; 7; 17; 31; …

1. Даны последовательности:

а) Х_n= б) Х_n= в) Х_n= г) Х_n=

Докажите, что последовательности а и б - возрастающие, в и г - убывающие.

2. Даны последовательности:

а) Х_n= 3n-1 б) Х_n= в) Х_n= г) Х_n= д) Х_n=

Какие из них являются ограниченными?

3. Вычислите пределы последовательностей:

а) г)

б) д)

в) е)

§ 3 Функции (повторение)

Функцией называют соответствие двух множеств D и Е, где D и Е R, при котором каждому элементу х D соответствует единственный элемент у Е.

Множество D называют областью определения функции, а множество Е - множеством значения функции. О.О.Ф. обозначают D (ƒ ), а множество её значений - Е(ƒ ).

Функция у=ƒ (х), полностью определяется заданием множество пар (х; ƒ(х)), где х пробегает все множество D (ƒ), а ƒ(х) - соответствующие значения функции.

Для каждой функции необходимо и достаточно задать закон соответствия ƒ, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения.

Функция может быть задана: аналитически, таблицей, функциональной шкалой, словесно или еще каким-либо способом.

Задачи:

1) Дана функция ƒ(х)=х³-2х+х-1

Найти: ƒ(-1); ƒ(2)

Подставим в функцию вместо х значение -1 и 2.

ƒ(-1)=(-1)³-2·(-1)²+(-1)-1=-5

ƒ(2)=2³-2·2²+2-1=1

2) Найти области определения функций:

а) у= Функция дробно-рациональная, знаменатель не должен быть равен нулю.

Поэтому: х²-5х+6≠0. Находим: х≠2, х≠3.

Следовательно, область определения функции любое значение кроме х=2 и х=3.

D(у)=

б) у= Функция иррациональная, значит выражение, стоящее под корнем, должно быть больше или равно нулю.

Решаем неравенство 2х-4

Находим: х

Значит, D(у)=[2;

в) у= Решаем систему неравенств

Значит, D(у)=[1;

г) у= Неравенство решаем методом интервалов.

+ - + Значит, D(у)=

-3 2/3

§ 4 Предел функции в точке

Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что при всех х ≠ а, таких, что |x - a |< δ, выполняется неравенство | f(x) - a | < ε.

Данное определение предполагает, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке означает, что для любого числа ε> 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2δ > 0, высотой 2ε и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а- δ; а + δ), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике - см. рис.:

Критерий Коши существования предела функции в точке.

Число b - предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 можно указать такую проколотую δ- окрестность точки а, что для любых чисел х₁ и х₂, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство
| f(x₁) - f(x₂) | < ε.

Пример: Доказать, что

Зададим произвольное и покажем, что существует такое, что из неравенства вытекает неравенство Имеем , ,. Значит, если положить , то выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства . Таким образом, согласно определению заключаем, что

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции, аналогичных теоремам о пределе числовой последовательности.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Замечательные пределы:

1) 3) 1a)

2) 4) 2a)

Примеры:

1)

2)

3)

₄₎

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке а, если предел функции в точке а существует и равен значению в этой точке, т.е. если .

Таким образом, если в точке а функция непрерывна, то:

1. существует предел функции в точке а;

2. этот предел совпадает со значением функции в точке х=а.

Если одно из указанных условий непрерывности функции в точке х=а нарушено, то в этой точке функция имеет разрыв и эту точку называют точкой разрыва функции.

Упражнения для самостоятельного решения

1. Является ли функция f(x) непрерывной в точке х₀=2, если

_{и f(2)=4 ?}

Ответ обоснуйте.

2. Является ли функция f(x) непрерывной в точке х₀=7, если

и f(7)=-5? Ответ обоснуйте.

3. Вычислите пределы функции:

1) 7)

2) 8)

_{3) 9)}

_{4) 10)}

_{5) 11)}

6) ₁₂₎

ГЛАВА II. ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Производная; механический и геометрический смысл производной;

уравнение касательной; правила дифференцирования.

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции (в этой точке к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:

а) При прямолинейном движении точки скорость V в данный момент t = t₀ есть производная от пути S по времени t, вычисленная при t=t₀ . Ускорение а в данный момент t=t₀ есть производная от скорости V по времени t, вычисленная при t=t₀

б) Производная в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в этой точке.

y y

α α

0 x₀ x 0 x₀ x 0 x₀ x

в) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х₀:

Таблица производных

1. 6. 11.

2. 7. 12.

3. 8. 13.

4. 9. 14.

5.

_{Правила дифференцирования.}

Пример:

1.

_2.

_{Второй производной функции}

у=f(x) называется производная от производной и обозначается .

Упражнение для самостоятельного решения

Вычислить производные следующих функций:

_{11.Точка движется прямолинейно по закону S=2t}³ _+t² _{-4. Найти скорость и ускорение в момент времени t=4.}

_{12.Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S=3t}² _{+t+4. Найти кинетическую энергию (Ек=mV}²_{/2) через 4 с после начала движения.}

_{13.Напишите уравнение общей касательной к параболам у=х}² _{+2х и у=х}² _{- 4х.}

_{Решение :}

_{х1=х2-3; -(х2-3)}²_=;

_{Подставим полученное значение в уравнение касательной.}

;

_{§ 2 Приложение производной к исследованию функции}

Функция у=f(x) называется возрастающей в промежутке (а, в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку и таких, что х₁<х₂ имеет место неравенство f(x₁)< f(x₂) (рис.1).

Функция у=f(x) называется убывающей в промежутке (а, в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку и таких, что х₁<х₂ имеет место неравенство f(x₁)> f(x₂) (рис.2).

y у=f(x) y у=f(x)

f(x₂) f(x₁)

f(x₁)

f(x₂)

0 a x₁ x₂ b x 0 a x₁ x₂ b x

Рис.1

Рис.2

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции у=f(x) характеризуются знаком её производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же

_{то функция убывает в этом промежутке.}

_{Пример: Исследовать на монотонность} f(x)=х³- 6х² + 4

Находим производную и критические точки

+ - + х

0 4

f(x)

Итак, в промежутках - функция возрастает, а - убывает.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку х₀ производная _{меняет знак, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак, с минуса на плюс, и максимум - когда с плюса на минус.}

_{Если при переходе через критическую точку х0 производная не меняет знака, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума.}

_{Пример: Исследовать на экстремум у=х}³_-3х²

_{Находим производную и критические точки.}

_{+ - +}

f(x) 0 2

max min

f_max=f(0)=0 f_min=f(2)=-4

Кривая у=f(х) называется выпуклой вниз (вогнутой) в промежутке (а, в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая у=f(х) называется выпуклой вверх в промежутке (а, в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называют промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у=f(x) характеризуется знаком её второй производной:

• если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке (рис.1),

• если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке (рис.2).

y y

A B

M M B

A

0 a b x 0 a b x

Рис.1 _рис.2

Пример: Найти промежутки выпуклости f(x)=x⁴-2x³+6x-4

Находим производные первого и второго порядков

_{+ - + x}

f(x) 0 1

На промежутках кривая выпукла вниз, на (0; 1) кривая выпукла вверх.

Точка графика функции у=f(х), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика называется точкой перегиба. Точками перегиба может служить только критические точки, принадлежащей области определения функции у=f(x), в которой вторая производная _{обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку х0 вторая производная} меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х_{0; f (х0)).}

_{Пример: Найти точки перегиба кривой f (x)=6х}²_-х³

_{Находим производные первого и второго порядков}

+ - Точка (2; 16)-точка перегиба

f(x) 2 х

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2. найти значения функции на концах промежутка;

3. сравнить полученные значения и выбрать набольшее и наименьшее.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x²-4x+3 в промежутке

₁₎ -наименьшее значение

₂₎ - наибольшее значение

_{Общая схема для построения графиков функций.}

1. _{Область определения функции}

2. _{Четность, нечетность и периодичность}

3. _{Точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)}

4. _{Асимптоты}

5. _{Производная, критические точки, значение функции в критических точках}

6. _{Монотонность и экстремумы}

7. _{Производная второго порядка, промежутки выпуклости, точки перегиба}

8. _{Контрольные (опорные) точки}

9. _{Построение графика.}

Пример: _{Построить график функции:}

_{2)Функция не является ни четной ни нечетной, ни периодичной}

3. _{х=0, у=0 - график проходит через начало координат}

4. _{Так как вертикальная асимптота.}

_{Находим наклонную асимптоту у=kx+b.}

Следовательно у=х+3 - наклонная асимптота

5) и терпит разрыв х=3

6) _{+ - - +}

f(0)=0 f(6)=12

f(x) 0 3 6 x

max min

7)

+ - и терпит разрыв при х=3, точек перегиба нет

f(x) 3 x

8)

y

16

14

12

10

8

6

4

2

x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-2

-4

Y=x+3 -6

X=3

Упражнения для самостоятельного решения

1. Найдите промежутки монотонности следующих функций:

1) 6) у= ln x²

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5)

2. Исследуйте на экстремум следующие функции:

1) 4)

2)

3)

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданных промежутках:

1)

2)

4. Найдите промежутки выпуклости кривых:

1)

2)

5. _{Найдите точки перегиба следующих кривых:}

1)

6. _{Исследуйте следующие функции и постройте графики:}

1)

_{§3 Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.}

_{Дифференциалом функции у=f(x) называется производной этой функции}

на произвольное приращение аргумента

Поэтому - дифференциал первого порядка

- дифференциал второго порядка.

Основные правила и формулы вычисления дифференциалов.

Основные формулы дифференцирования могут быть представлены через дифференциалы следующим образом:

1. _{Найти дифференциалы первого порядка:}

2. _{Найти дифференциалы второго порядка:}

_{Вычисление приближенного числового значения функции.}

_{Пусть дана функция у= f (x); приращение этой функции} , её дифференциал . При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента _{будем считать, что} т.е., что приращение функции приближено равно её дифференциалу.

_{Заменим приращение функции её дифференциалом, получим}

_Откуда

_{Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.}

_{Найти приближенное значение функции f(x)= 5x}³_{-2x+3 при х=2,01}

_{Полагая х=2 и , получим:}

_{Приближенное вычисление степеней}

_{Рассмотрим функцию f(x)=x}ⁿ_{. Пусть аргумент Х получает малое приращение .}

_{Вычислим приближенное значение функции применяя формулу}

_{Имеем , откуда}

_{Найти приближенное значение (4,012)}²

_{Полагая}

_{Приближенное вычисление корней}

_{Рассмотрим функцию}

_{Пусть аргумент Х получает малое приращение}

_{Применим формулу}

_откуда

_{Найти приближенное значение}

_{Приближенное вычисление обратных величин}

_{Рассмотрим функцию:}

_{Пусть аргумент Х получает малое приращение}

_{Применим формулу}

_откуда

_{Найти приближенное значение}

_{ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ}

_{§ 1. Первообразная, неопределенный интеграл}

_{Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) в промежутке если в любой точке этого промежутка её производная равна f(x):}

_{Отыскание первообразной функции по заданной ею производной f(х) или по дифференциалу f(x)dx есть действие, обратное дифференцированию - интегрирование.}

_{Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом}

_{Таким образом если}

_{Здесь f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, С - произвольная постоянная.}

_{Основные свойства:}

1. _{Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:}

2. _{Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:}

3. _{Неопределенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:}

4. _{Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:}

5. _{Есть и u=g(x) - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то}

_{Основные формулы интегрирования:}

_{Непосредственное интегрирование}

_{Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:}

_{1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;}

_{2. данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;}

_{3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.}

_{Примеры: Найти следующие интегралы:}

_{так как dx=d(1+x)}

_{так как}

_{так как}

_{так как}

_{так как}

_{так как}

_{так как то}

16)

17)

18)

19)

20)

Упражнения для самостоятельного решения

Найти следующие интегралы:

1) 13)

2) 14)

3) 15)

4) 16)

5) 17)

6) 18)

7) 19)

8) 20)

9) 21)

10) 22)

11) 23)

12) 24)

Интегрирование методом замены переменной

Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интегралкоторый легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки x=g(u). Дифференцируя это равенство получим

Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем

_{После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки} он приводится к переменной х.

Примеры:

1)

3х+2=u 3dx=du

2)

4x+1=u

4dx=du

3)

2x³+1=u

6x²dx=du

4)

x²+1=u

2xdx=du

5)

5x⁵+1=u

15x²dx=du

6)

cos kx = u

-k sin kxdx = du

7)

5x²=u 10xdx=du du

8)

-3x²+1=u

-6xdx=du du

9)

du du

10)

3^x=u 3^xln3dx=du

Упражнения для самостоятельного решения

Найти следующие интервалы:

1) 9)

3)

4) 12)

5)

14)

7) 15)

8)

Интегрирование по частям.

Интегрируя обе части равенства d(uv)=udv+vdu, получим откуда

_{С помощью этой формулы вычисление интеграла} сводится к вычислению интеграла если последний окажется проще исходного.

Примеры:

u=x dv=sin xdx du=dx т.е. v=-cos x

2)

u=ln x;

Упражнения для самостоятельного решения

Найти следующие интегралы:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4)

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

При вычислении интегралов вида _или от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени

При вычислении интегралов вида или от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая cos x = t в первом интеграле и sin x = t - во втором.

При вычислении интегралов вида , применяются формулы:

Примеры:

1)

3)

_{4) (см. 3)}

Рассмотрим tgx=u

cosx=u -sinxdx=du

Упражнения для самостоятельного решения

Найти следующие интегралы:

7)

§ 2. Определенный интеграл

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Свойства:

_{Непосредственное интегрирование}

Примеры:

_{Упражнения для самостоятельного решения}

_{Вычислите определенные интеграл:}

Интегрирование методом замены переменной (подстановки)

Примеры:

2x-1=u 2dx=du dx= u_n=2 u_b=2

5x -1=u 5dx=du u_n=5 u_b=5

2x³+1=u 6x²dx=du

u_n=1; u_b=3

Упражнения для самостоятельного решения

Вычислить с помощью подстановок следующие определенные интегралы:

§ 3 Приложения интеграла

I. Вычисление площади плоской фигуры

1) Дано: у²=х , х=1, х=4

S-?

у

3

1

0 Ответ:

1 4 9 х

2) Дано: у=sin x, y=0, x=0, x=π

S-?

Ответ: 2кв.ед.

0 π х

3) Дано: у=х² , у=2х

S-?

у Пределы интегрирования (точки пересечения графиков функции)

х²=2х х²-2х=0 х(х-2)=0

х=0 х=2 (кв.ед.)

Ответ:

-1 0 1 2 х

II. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох. a≤x≤b

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y²=2x, прямой х=3 и осью Ох.

Решение Применим формулу

III. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Оy. . a≤y≤b

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной параболой y=x², прямой y=4.

Решение Применим формулу

II. Вычисление пути

1.Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденной точкой за 10 с от начала движения.

Ответ:1110м

2.Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Ответ: 83м

III. Вычисление работы .

Часто используется закон Гука: F =kx. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04м, если для сжатия её на 0,01м нужна сила 10Н.

Так как х=0,01м при F=10H, то используем закон Гука. Находим

т.е. _{Ответ: 0,8 Дж}

Упражнения для самостоятельного решения

а) Вычислите площади фугур, ограниченных указанными линиями:

1) х-у+2=0, у=0, х=-1, х=2

2) у=х², у=0, х=0, х=3

3) у=х²+1, у=0, х=-1, х=2

4) у=

_{5) у=cosx, y=0, x=0,}

_{6) y=x}²_,y=-3x

_{7) y=x}²_{, y=2-x}²

_{б) 1) Скорость движения точки изменяется по закону} . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

2) Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.

3) Скорость движения точки изменяется по закону . Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Выполняется в соответствии с вариантом

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. а) б)

в) г)

2. а) б)

в) г)

3. а) б)

в) г)

4. а) б)

в) г)

5. а) б)

в) г)

6. а) б)

в) г)

7. а) б)

в) г)

8. а) б)

в) г)

9. а) б)

в) г)

10. а) б)

в) г)

11. а) б)

в) г)

12. а) б)

в) г)

13. а) б)

в) г)

14. а) б)

в) г)

15. а) б)

в) г)

16. а) б)

в) г)

17. а) б)

в) г)

18. а) б)

в) г)

19. а) б)

в) г)

20. а) б)

в) г)

21. а) б)

в) г)

22. а) б)

в) г)

23. а) б)

в) г)

24. а) б)

в) г)

25. а) б)

в) г)

2. Найти производные функций

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

11. а) б)

12. а) б)

13. а) б)

14. а) б)

15. а) б)

16. а) б)

17. а) б)

18.а) б)

19.а) б)

20. а) б)

21. а) б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

3. Найти неопределенные и определенные интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

4. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры или объем тела:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у=х² и у=.

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями xy=1, x=2, x=3, y=0

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у=х².

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=(1-х)², прямой х=2 и осями Ох и Оу.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной и осью Ох.

17. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=х²+1, прямыми у=х, х=1 и осью Оу.

18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=x³, x=2, x=0, y=0

20. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и кубической параболой

21. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной и

22. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной

23. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной

24. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной

25. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной и