Решение задач на проценты

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыРешение задач на процентыЗадачи для исчисления процентов в жизненных ситуациях.

Нахождения соотношений составляющих в смесях, растворах и сплавах.

Как только вы заговорили о процентах, я сразу разволновался,

так как ничего не понимаю в процентах.

А. Кончаловский.

Умение выполнять процентные вычисления - безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций.

С охотой ли решают учащиеся такие задачи? Это зависит от их сюжета. Чем он ближе к реальной жизни, тем интерес выше.

  1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Решение.1)12. 0,45= 5,4 (к - чистой меди в первом сплаве;

2) 5,4: 0,4= 13,5 (кг)- вес нового сплава;

3) 13,5- 12= 1,5 (кг) олова.

Ответ: надо 1,5 кг олова.



  1. Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалась 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Для решения задачи полезно составить таблицу:



Медь

Цинк

Олово

Масса

1-й сплав

30%

40%

150 кг

2-й сплав

26%

30%

250 кг

3-й сплав

30%

?кг

400 кг

Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%.

  1. 250:0,3= 75 (кг)- цинка во втором сплаве;

  2. 250. 0,26= 65 (кг)- меди во втором сплаве;

  3. 250-(75+65)= 110 (кг) олова во втором сплаве;

  4. 150.0,4= 60 (кг)- олова в первом сплаве;

  5. 110+60= 170(кг)- олова в третьем сплаве.

Ответ: 170 кг.



  1. В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве весом 16 кг отношение меди к цинку равно 1:3. Сколько надо добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3:2?

Составим таблицу.

Пусть добавили х кг чистой меди.



Медь

Цинк

Масса

1-й сплав

4 части

1 часть

10 кг

2=й сплав

1 часть

3 части

16 кг

3-й сплав

3 части

2 части

(10+16+х)кг



  1. 10:5.4= 8(кг)- чистой меди в первом сплаве;

  2. 16.1/4 = 4(кг)- чистой меди во втором сплаве.

В новом сплаве меди (4+8+х или (26+х). 3/5 кг.

12+/х = (26+х). 3/5, х=9.

Ответ: 9 кг.



  1. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

36.0,45= 16,2(кг) - меди в первом сплаве.

Пусть добавили х кг меди.

Меди во втором сплаве (16,22+х) или (36+х).0,6.

16,2+х= (36+х).0,6, х= 13,5

Ответ: 13,5 кг.

Для решения следующих задач, используются уравнения или системы уравнений.

  1. Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:63, в другом- в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

Решение. 1 способ.

3: С=2 :3

3: С = 3:7

3: С= 5:11

Х кг у кг



По этой схеме учащиеся сразу видят уравнение х+у =1, которое показывает массу нового сплава. Затем определяют массу золота в каждом сплаве и получают уравнение Решение задач на проценты

Аналогично рассуждая о массе серебра, получаем Решение задач на проценты

Получили систему уравнений: Решение задач на проценты; Решение задач на проценты Решение задач на проценты

Решая систему, получаем х= 0,125; у= 0,875

Ответ. 125г золото; 875г серебра.

Способ II. Обозначим за х кг массу одной части первого сплава, за у- массу одной части второго сплава. Тогда система будет выглядеть так: Решение задач на проценты

Способ III. Пусть х кг - масса первого сплава, тогда масса второго сплава (1-х) кг. Золото в новом сплаве Решение задач на проценты. Решая уравнение получаем х= 125, у= 875.

  1. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая- в отношении 3:7. По сколько нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5?

Решение.

С:В= 2:3

хв

С:В= 3:7

Ув

С:В= 3:5

12 в

Решение задач на проценты

Решая систему получаем 9 ведер спирта, 3 ведра воды.



  1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40 %. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Решение.



5% никеля

40% никеля

х т

30% никеля

У т





140т

По схеме составляем систему уравнений Решение задач на проценты

Решая систему, получаем 40т, 100т.

  1. В двух различных сплавах железо и олово находятся в отношении 2:5 и 4:3. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 14 кг нового сплава с равным содержанием железа и олова?

Решение.

По условию задачи видно, что железа и олова в сплаве должно быть по 7 кг. Пусть х кг масса первого сплава, у кг масса второго сплава. Отсюда получаем систему Решение задач на проценты

Решая систему получаем х =3,5 кг, у= 10,5 кг.

Ответ: 3,5кг железа;10,5кг олова.

  1. Имеются два сплава золота с серебром. В первом сплаве З:С= 1:2, во втором сплаве З:С2:3. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить сплав весом 19 кг, в котором З:С= 7:12. Ответ: 9кг и 10 кг.

  2. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй- 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% -го раствора соляной кислоты?

Решение.

20% кислоты

хл

70% кислоты

50% кислоты

ул

100 л

Пользуясь схемой составим систему Решение задач на проценты

Решая систему, получим х= 40 л, у= 60 л.

Ответ: 40л, 60л.



  1. Смешали 10%-й и 25%-й растворы соли и получили 3 кг 20%-го раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение. Решение задач на проценты

Решая систему получим х-1 кг, у= 2 кг.

Ответ: 1кг и 2кг.

  1. В сплаве золота на 200г больше, чем серебра. После того, как из сплава выделили 2/3 золота и 80% серебра, вес сплава оказался равным 80г. сколько весил сплав первоначально?

Решение. Пусть в сплаве х г золота, у г серебра. Разница в весе (х-у)г, или по условию 200г. имеем уравнение х-у= 200. В сплаве золота осталось Решение задач на проценты.

Серебра осталось у- 0,8у= 0,2у. Весь сплав стал Решение задач на проценты. Т. к х в каждом уравнении имеет один и тот же смысл и у обозначает в каждом уравнении одно и то же, то имеем систему Решение задач на проценты

Решая эту систему, получим: у=25,х=225. И так, первоначально сплав весил 250г.

Ответ: 250г.

  1. Имеется смесь из двух веществ массой 260г. После того как выделили 40% первого вещества и 3/4 второго, то масса смеси стала 100 г. Определите, сколько осталось каждого вещества.

Решение. Пусть х г первого вещества, у г- второго вещества. х-0,4х = 0,6х, у- 3/4у =1/4у. Имеем систему Решение задач на проценты

Решаем и получаем ответ: 60г и40г..



  1. Имеется смесь из двух веществ массой 900г. После того как выделили 5/6 первого вещества и 70 второго, то второго вещества осталось на 18г больше, чем первого в смеси. Сколько осталось каждого вещества?

Решение. Пусть х г первого вещества, у г - второго вещества. х- 5/6х= 1/6х- осталось первого вещества, у-0,7у= 0,3у- осталось второго вещества. Составим систему и решим ее: Решение задач на проценты получим х=540, у=360.

1)Решение задач на проценты

2) 360Решение задач на проценты

Ответ:90г,108г.

  1. 36г цинка в воде весят 31г, а 23г свинца в воде весят 21г. Сплав цинка и свинца весом 118г весит в воде 104г. Сколько цинка и сколько содержится в сплаве?

Решение. Х- частей цинка в сплаве;

У- частей свинца в сплаве. Тогда сплав весит 36х+23у или118 г. В воде этот сплав весит 31х+21у или 104 г Имеем систему Решение задач на проценты Решив систему получим х=2, у=2.

Значит, 362=72 г цинка и 23.2= 46г свинца.

Ответ: 72 г цинка, 46 г свинца.

  1. 24 г одного металла в воде весят 21 г, а 14 г другого металла в воде весят 12 г. Сплав из этих металлов весом 100 г весит в воде 87 г. Сколько каждого металла содержится в сплаве?

Решение. Пусть х- одного металла, у- второго металла. Тогда получим систему Решение задач на проценты Решив систему, получим х=3, у=2.

1)24.3= 72г,

2)14.2= 28г

Ответ:72г, 28г

  1. Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни весом 124 г при погружении в воду потерял 15 г. Сколько в нем содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в воде 10 г, а 7 г цинка- 1 г?

Решение. Пусть х г - меди, у г - цинка. Тогда получим систему Решение задач на проценты

Решая систему получим х=89, у=35.

Этот цикл задач можно использовать в работе со старшеклассниками, так как при решении используются сложные системы и параметры.

  1. Имеем три смеси, состоящие из трех веществ А,В и С. В первой смеси А:В=3:5, во второй - В:С=1:2, в третьей- А:С=2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении А:И:С=3:5:2?

Решение. Составим таблицу:


А

В

С

Масса

  1. я смесь

3

5


х кг

  1. я смесь


1

1

у кг

  1. я смесь

2


3

z кг

4- я смесь

3

5

2

(х+у+z)кг

А: Решение задач на проценты

В: Решение задач на проценты

С: Решение задач на проценты.

  1. Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, И и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3. В третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, И и С содержались в весовом отношении11:3:8.

Решение. Составим таблицу:

А

В

С

Масса

  1. я смесь

1

2


х кг

  1. я смесь


1

3

у кг

  1. я смесь

2


1

z кг

4- я смесь

11

3

8

(х+у+z)кг

Используя таблицу, рассмотрим еще вариант рассуждений:

Решение задач на проценты

После преобразовании получаем: (4x+8z):(8x+3y):(9y+4z)= 11:3:8. Используя эти отношения, составляем систему Решение задач на проценты

Решая систему, получаем z=5x. y=4/3x. Имеем х:у:z=х:4/3х:5х= 3:4:15.

Ответ: 3:4:15.



  1. Имеются три слитка массой 5 кг,3кг и 2кг. Каждый представляет собой сплав серебра и меди. Если сплавить первый и второй слитки, то в этом сплаве будет 75% серебра; если сплавить первый и третий слитки, то в этом сплаве будет 78% серебра; если же сплавить второй и третий слитки, то в этом сплаве будет 85,2% серебра. Сколько процентов серебра содержится в каждом слитке?

Решение. Пусть a. b и с- процентное содержание серебра в каждом слитке. Тогда составляем уравнение по массе в слитках. Решение задач на проценты

Решив систему уравнений имеем а=0,72, в=0,8, с=0,93.

Ответ: 72%, 80%, 93%

  1. Если к сплаву меди и цинка прибавить 20 г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если к первоначальному сплаву добавить 70 г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

Решение.

1.

Медь, цинк

Х г

медь

70% меди и цинка

20 г

(х+20) г

2.

40% меди, цинк



Медь, цинк

Х г 70г

52% меди и цинк

(х+70)г

Две ситуации определяют два уравнения. Так как дано процентное содержание меди в обеих ситуациях, то необходимо знать процентное содержание меди в первоначальном сплаве. Пусть у- процентное содержание меди в первоначальном сплаве, тогда:

1)0,7(х+20)= 20+0,01ух, или 14+0,7х = 20+0,01ху;

2)0,52(х+70)= 0,4.70+ 0,01ух, или 36,4 +0,52х = 28+0,01ху.

Имеем: 14+0,7х = 20+0,01ху; /100

36,4 +0,52х = 28+0,01ху; /100

1400+70х = 2000+ х у, х(52- у) = -840,

36400 + 52х = 2800 +х у; х(70 - у) = 600;

Х = 80, у= 62,5.

Ответ: 80 г.

  1. Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта и массой m г и n г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?

Составим таблицу:


Было

Отлили

Долили

Масса

Получили

1-й раствор

am

ax

B x

m

am- ax + b x

2-й раствор

b n

b x

ax

n

B n - b x + ax

а частей спирта в первом растворе,

b частей спирта во втором растворе.

Так как в обоих растворах процентное содержание спирта одинаково, то получаем уравнение (am- ax+ b x):m = (b n - b x -ax:)n

X= m n : (m +n).

Ответ: X= m n : (m +n).

  1. Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить разные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?

Решение. Пусть х кг кислоты в первом сосуде,

У кг кислоты во втором сосуде. Процентное содержание кислоты в смеси (х+у):10= 0,35.

Если взяли по а кг каждого раствора, то процентное содержание кислоты в этом растворе будет Решение задач на проценты.

  1. Имеется два сосуда с раствором щелочи разной концентрации 4л и 6л. Их слили вместе, получился раствор 30%- й концентрации щелочи. Если слить вместе по 2л раствора, то получится раствор а%- й щелочи. Сколько литров щелочи содержит второй сосуд?

Решение. Составим таблицу:

  1. й сосуд

  1. й сосуд

х % щелочи

у % щелочи



Составим систему Решение задач на проценты

Решая систему получим у=150-4а. используя х + у= 2а, имеем х= 6а-150, у= 150-4а. откуда 4аРешение задач на проценты

Масса щелочи: 0,01уРешение задач на проценты

Ответ: 0,06(150- 4а)л, если Решение задач на проценты

Задачи с аналитической моделью ax+ by =c(x+ y)

  1. Смешали 30% -й раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г 15% -го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение. Пусть масса первого раствора х, тогда масса второго раствора 600 - х. по условию 30х + 10(600- х) = 600.15, х = 150.

Другой способ решения с использованием графика.

I вариант 30х + 10(600- х) = 600.15.

II вариант (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) 15х = 5(600 - х), х = 150.

Ответ: 150 г,450 г.

n (%)







S1


30




S1 = S2

S2

15



10






0


x




600

m ( r )



  1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Решение: 10х= 5(140 - х), х = 100.

Ответ: 100т, 40т.





n (%)



40





30






5




0



x

140



m ( r )



  1. Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержалось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции?Решение задач на проценты

Решение: Концентрация уксуса в первом сосуде n1= 12/32 = 3/8, концентрация уксуса в другом сосуде n2= 9/13. Во втором сосуде после перелива х(л) уксуса из первого сосуда концентрация уксуса должна стать равной 0,5 (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды). Решение задач на проценты х=20.

Другой вариант решения(S1= S2). Решение задач на проценты.

n

S1


9/13







S2

1/2




3/8






0


13



X+13


V (л )

Ответ: 20 л.



  1. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4л, другого - 6л. Если их слить вместе, то получится 35% раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36% раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение: Обозначим n1 и n 2 концентрацию кислот в первоначальных растворах. V - сливаемый объем раствора. Составим систему уравнений, учитывая, что VA= nV,

Решение задач на процентыРешение задач на проценты. V1 =4.0,41 = 1,64, V2= 6.0,31 = 1,86

Ответ: 1,64 л, 1,86 л.

  1. Имеются три слитка. Масса первого 5 кг, второго- 3 кг, и каждый из них содержит30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.

Решение: Пусть m3- масса третьего слитка, n3 - концентрация меди в третьем слитке. Составим систему уравнений Решение задач на проценты

m3 =10. n3 =0.69.

Ответ: 10 кг, 69%.

  1. Имеются два раствора соли в воде, первый 40%-й, второй 60%-й. Их смешали, добавив 5 кг воды и получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80%-го раствора, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 40% -го и 60% -го растворов?

Решение: Пусть масса 40%-го раствора m1(кг), масса 60% - го раствора m2 (кг). Решение задач на проценты m1 = 1, m2= 2.

Ответ: 1кг, 2кг.

  1. Имеются два сплава, состоящих из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго , получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в полученном новом сплаве?

Решение: Пусть процентное содержание цинка в первом и втором сплавах равно х. Тогда 150. 0,01х + 250. 0,01х = 400.0,3; 1,5х+ 2,5х = 120, х= 30 .

Цинка во втором сплаве0,3 х250 =75(кг),

Меди во втором сплаве 250х0,26= 65(кг)

Олова в первом сплаве 150х0,4 =60(кг),

Олова во втором сплаве 250х(65+75)=110(кг),

Олова в третьем сплаве 60+ 110= 170(кг)

Ответ: 170 кг.

Эту задачу удобно решить с помощью таблицы.



Сплавы кг

I

II

III

Масса сплава

150

250

400

Масса олова

150х0,4=60

?

?

Масса меди

?

250х0,26=65

?

Масса цинка

150х/100=1,5х

2,5х

0,3х400=120



  1. Мировой финансовый кризис может крепко ударить по российским туристам. Если, например, прошлой зимой перелет в Таиланд стоил 700 долларов, то в этом году уже 1000. На сколько процентов подорожал перелет до Таиланда? На сколько процентов в прошлом году он был дешевле?

Решение: пусть р- процентная, а а- долларовая величина подорожания. Это означает, что а составляет р% от 700 долларов. Воспользуемся формулой а= 0,01bр получим а= 0,01 р 700, при этом а = 300, имеем 300= 0,01 р 700, р = 300/(0,01 700) = 43%.

300= 0,01 р 1000, р= 300/(0,01 1000)= 30%.

Ответ: 43%, 30%.



  1. Цену товара снизили на 30%, а затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение: Пусть первоначальная цена товара m, тогда: m- 0,3m = 0,7m цена после снижения, 0,7m+ 0,7m 0,3 =0,91mновая цена.

1,00- 0,91= 0,09 или 9%

Используя формулу а(1-(0,01р)2) получим а(1-р2/1002)= а(1-0,32)= 0,91а

Ответ: цена снизилась на 9%



  1. Численность безработных в России сократилось на 20%- с 8841 млн до 7368 млн человек. Правильно ли указан процент сокращения?

Решение: Пусть n1= 8841 - было;

n2 = 7368 стало. Р= Решение задач на проценты. H= 17

Ответ: В условии ошибка. 17%.



  1. Число 51,2 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а затем уменьшили на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение: Пусть искомый процент равен р. После увеличения получим 51,2 (1+Решение задач на проценты)3, после уменьшения 51,2(1+Решение задач на проценты)3 (1- Решение задач на проценты)3 = 21,6,

(1+Решение задач на проценты)3 (1- Решение задач на проценты)3= 21,6/51,2= 27/64= (3/4)3,

  1. Решение задач на проценты, Решение задач на проценты, р1=50, р2= -50.

Ответ: 50%.

  1. Вкладчик на свои сбережения получил через год 15 р. начисления процентных денег. Добавив еще 85р, он оставил их еще на год. По истечение года вклад вместе с процентами составил 420 р. Какая сумма была положена первоначально и какой процент дает сбербанк?

Решение: пусть А0- первоначальная сумма вклада, р- годовая процентная ставка. Из данных имеем Решение задач на проценты.

В конце первого года денег было Решение задач на проценты

В конце второго года денег стало Решение задач на проценты\

По условию Решение задач на проценты, 1500/р +15+100+ р =420, р2 -305р +1500=0, р1=5, р2=300. А0= 1500/р= 300.

Ответ: 5%, 300р

  1. Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

Решение: Пусть магазин купил книгу за хр, предполагал продать за Решение задач на проценты(р - предполагаемый процент прибыли), продал за Решение задач на проценты

Ответ: 20%

Литература

  1. Галицкий М.Д. Сборник задач по алгебре.

  2. Говоров В.М. Сборник задач для поступающих в вузы.

  3. Сикорский К.П. Дополнительные главы по курсу математики, для факультативных занятий.

  4. Шубин М.И. Математика для поступающих в вузы.

Решение задач на проценты







© 2010-2022