- Преподавателю
- Математика
- Решение задач на проценты
Решение задач на проценты
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Тотоева Л.Н. |
Дата | 22.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Задачи для исчисления процентов в жизненных ситуациях.
Нахождения соотношений составляющих в смесях, растворах и сплавах.
Как только вы заговорили о процентах, я сразу разволновался,
так как ничего не понимаю в процентах.
А. Кончаловский.
Умение выполнять процентные вычисления - безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций.
С охотой ли решают учащиеся такие задачи? Это зависит от их сюжета. Чем он ближе к реальной жизни, тем интерес выше.
-
Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?
Решение.1)12. 0,45= 5,4 (к - чистой меди в первом сплаве;
2) 5,4: 0,4= 13,5 (кг)- вес нового сплава;
3) 13,5- 12= 1,5 (кг) олова.
Ответ: надо 1,5 кг олова.
-
Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалась 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Для решения задачи полезно составить таблицу:
-
Медь
Цинк
Олово
Масса
1-й сплав
30%
40%
150 кг
2-й сплав
26%
30%
250 кг
3-й сплав
30%
?кг
400 кг
Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%.
-
250:0,3= 75 (кг)- цинка во втором сплаве;
-
250. 0,26= 65 (кг)- меди во втором сплаве;
-
250-(75+65)= 110 (кг) олова во втором сплаве;
-
150.0,4= 60 (кг)- олова в первом сплаве;
-
110+60= 170(кг)- олова в третьем сплаве.
Ответ: 170 кг.
-
В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве весом 16 кг отношение меди к цинку равно 1:3. Сколько надо добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3:2?
Составим таблицу.
Пусть добавили х кг чистой меди.
-
Медь
Цинк
Масса
1-й сплав
4 части
1 часть
10 кг
2=й сплав
1 часть
3 части
16 кг
3-й сплав
3 части
2 части
(10+16+х)кг
-
10:5.4= 8(кг)- чистой меди в первом сплаве;
-
16.1/4 = 4(кг)- чистой меди во втором сплаве.
В новом сплаве меди (4+8+х или (26+х). 3/5 кг.
12+/х = (26+х). 3/5, х=9.
Ответ: 9 кг.
-
Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
36.0,45= 16,2(кг) - меди в первом сплаве.
Пусть добавили х кг меди.
Меди во втором сплаве (16,22+х) или (36+х).0,6.
16,2+х= (36+х).0,6, х= 13,5
Ответ: 13,5 кг.
Для решения следующих задач, используются уравнения или системы уравнений.
-
Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:63, в другом- в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
Решение. 1 способ.
-
3: С=2 :3
3: С = 3:7
3: С= 5:11
Х кг у кг
По этой схеме учащиеся сразу видят уравнение х+у =1, которое показывает массу нового сплава. Затем определяют массу золота в каждом сплаве и получают уравнение
Аналогично рассуждая о массе серебра, получаем
Получили систему уравнений: ;
Решая систему, получаем х= 0,125; у= 0,875
Ответ. 125г золото; 875г серебра.
Способ II. Обозначим за х кг массу одной части первого сплава, за у- массу одной части второго сплава. Тогда система будет выглядеть так:
Способ III. Пусть х кг - масса первого сплава, тогда масса второго сплава (1-х) кг. Золото в новом сплаве . Решая уравнение получаем х= 125, у= 875.
-
Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая- в отношении 3:7. По сколько нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5?
Решение.
-
С:В= 2:3
хв
С:В= 3:7
Ув
-
С:В= 3:5
12 в
Решая систему получаем 9 ведер спирта, 3 ведра воды.
-
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40 %. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Решение.
-
5% никеля
40% никеля
х т
30% никеля
У т
140т
По схеме составляем систему уравнений
Решая систему, получаем 40т, 100т.
-
В двух различных сплавах железо и олово находятся в отношении 2:5 и 4:3. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 14 кг нового сплава с равным содержанием железа и олова?
Решение.
По условию задачи видно, что железа и олова в сплаве должно быть по 7 кг. Пусть х кг масса первого сплава, у кг масса второго сплава. Отсюда получаем систему
Решая систему получаем х =3,5 кг, у= 10,5 кг.
Ответ: 3,5кг железа;10,5кг олова.
-
Имеются два сплава золота с серебром. В первом сплаве З:С= 1:2, во втором сплаве З:С2:3. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить сплав весом 19 кг, в котором З:С= 7:12. Ответ: 9кг и 10 кг.
-
Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй- 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% -го раствора соляной кислоты?
Решение.
-
20% кислоты
хл
70% кислоты
50% кислоты
ул
100 л
Пользуясь схемой составим систему
Решая систему, получим х= 40 л, у= 60 л.
Ответ: 40л, 60л.
-
Смешали 10%-й и 25%-й растворы соли и получили 3 кг 20%-го раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение.
Решая систему получим х-1 кг, у= 2 кг.
Ответ: 1кг и 2кг.
-
В сплаве золота на 200г больше, чем серебра. После того, как из сплава выделили 2/3 золота и 80% серебра, вес сплава оказался равным 80г. сколько весил сплав первоначально?
Решение. Пусть в сплаве х г золота, у г серебра. Разница в весе (х-у)г, или по условию 200г. имеем уравнение х-у= 200. В сплаве золота осталось .
Серебра осталось у- 0,8у= 0,2у. Весь сплав стал . Т. к х в каждом уравнении имеет один и тот же смысл и у обозначает в каждом уравнении одно и то же, то имеем систему
Решая эту систему, получим: у=25,х=225. И так, первоначально сплав весил 250г.
Ответ: 250г.
-
Имеется смесь из двух веществ массой 260г. После того как выделили 40% первого вещества и 3/4 второго, то масса смеси стала 100 г. Определите, сколько осталось каждого вещества.
Решение. Пусть х г первого вещества, у г- второго вещества. х-0,4х = 0,6х, у- 3/4у =1/4у. Имеем систему
Решаем и получаем ответ: 60г и40г..
-
Имеется смесь из двух веществ массой 900г. После того как выделили 5/6 первого вещества и 70 второго, то второго вещества осталось на 18г больше, чем первого в смеси. Сколько осталось каждого вещества?
Решение. Пусть х г первого вещества, у г - второго вещества. х- 5/6х= 1/6х- осталось первого вещества, у-0,7у= 0,3у- осталось второго вещества. Составим систему и решим ее: получим х=540, у=360.
1)
2) 360
Ответ:90г,108г.
-
36г цинка в воде весят 31г, а 23г свинца в воде весят 21г. Сплав цинка и свинца весом 118г весит в воде 104г. Сколько цинка и сколько содержится в сплаве?
Решение. Х- частей цинка в сплаве;
У- частей свинца в сплаве. Тогда сплав весит 36х+23у или118 г. В воде этот сплав весит 31х+21у или 104 г Имеем систему Решив систему получим х=2, у=2.
Значит, 36…2=72 г цинка и 23.2= 46г свинца.
Ответ: 72 г цинка, 46 г свинца.
-
24 г одного металла в воде весят 21 г, а 14 г другого металла в воде весят 12 г. Сплав из этих металлов весом 100 г весит в воде 87 г. Сколько каждого металла содержится в сплаве?
Решение. Пусть х- одного металла, у- второго металла. Тогда получим систему Решив систему, получим х=3, у=2.
1)24.3= 72г,
2)14.2= 28г
Ответ:72г, 28г
-
Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни весом 124 г при погружении в воду потерял 15 г. Сколько в нем содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в воде 10 г, а 7 г цинка- 1 г?
Решение. Пусть х г - меди, у г - цинка. Тогда получим систему
Решая систему получим х=89, у=35.
Этот цикл задач можно использовать в работе со старшеклассниками, так как при решении используются сложные системы и параметры.
-
Имеем три смеси, состоящие из трех веществ А,В и С. В первой смеси А:В=3:5, во второй - В:С=1:2, в третьей- А:С=2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении А:И:С=3:5:2?
Решение. Составим таблицу:
-
А
В
С
Масса
-
я смесь
3
5
х кг
-
я смесь
1
1
у кг
-
я смесь
2
3
z кг
4- я смесь
3
5
2
(х+у+z)кг
-
А:
В:
С: .
-
Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, И и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3. В третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, И и С содержались в весовом отношении11:3:8.
Решение. Составим таблицу:
-
А
В
С
Масса
-
я смесь
1
2
х кг
-
я смесь
1
3
у кг
-
я смесь
2
1
z кг
4- я смесь
11
3
8
(х+у+z)кг
-
Используя таблицу, рассмотрим еще вариант рассуждений:
После преобразовании получаем: (4x+8z):(8x+3y):(9y+4z)= 11:3:8. Используя эти отношения, составляем систему
Решая систему, получаем z=5x. y=4/3x. Имеем х:у:z=х:4/3х:5х= 3:4:15.
Ответ: 3:4:15.
-
Имеются три слитка массой 5 кг,3кг и 2кг. Каждый представляет собой сплав серебра и меди. Если сплавить первый и второй слитки, то в этом сплаве будет 75% серебра; если сплавить первый и третий слитки, то в этом сплаве будет 78% серебра; если же сплавить второй и третий слитки, то в этом сплаве будет 85,2% серебра. Сколько процентов серебра содержится в каждом слитке?
Решение. Пусть a. b и с- процентное содержание серебра в каждом слитке. Тогда составляем уравнение по массе в слитках.
Решив систему уравнений имеем а=0,72, в=0,8, с=0,93.
Ответ: 72%, 80%, 93%
-
Если к сплаву меди и цинка прибавить 20 г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если к первоначальному сплаву добавить 70 г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.
Решение.
1.
-
Медь, цинк
Х г
медь
70% меди и цинка
20 г
(х+20) г
2.
40% меди, цинк
-
Медь, цинк
Х г 70г
-
52% меди и цинк
(х+70)г
Две ситуации определяют два уравнения. Так как дано процентное содержание меди в обеих ситуациях, то необходимо знать процентное содержание меди в первоначальном сплаве. Пусть у- процентное содержание меди в первоначальном сплаве, тогда:
1)0,7(х+20)= 20+0,01ух, или 14+0,7х = 20+0,01ху;
2)0,52(х+70)= 0,4.70+ 0,01ух, или 36,4 +0,52х = 28+0,01ху.
Имеем: 14+0,7х = 20+0,01ху; /100
36,4 +0,52х = 28+0,01ху; /100
1400+70х = 2000+ х у, х(52- у) = -840,
36400 + 52х = 2800 +х у; х(70 - у) = 600;
Х = 80, у= 62,5.
Ответ: 80 г.
-
Из двух растворов с различным процентным содержанием спирта и массой m г и n г отлили по одинаковому количеству раствора. Каждый из отлитых растворов долили в остаток от другого раствора, после чего процентное содержание спирта в обоих полученных растворах стало одинаковым. Сколько раствора было отлито из каждого сосуда?
Составим таблицу:
-
Было
Отлили
Долили
Масса
Получили
1-й раствор
am
ax
B x
m
am- ax + b x
2-й раствор
b n
b x
ax
n
B n - b x + ax
а частей спирта в первом растворе,
b частей спирта во втором растворе.
Так как в обоих растворах процентное содержание спирта одинаково, то получаем уравнение (am- ax+ b x):m = (b n - b x -ax:)n
X= m n : (m +n).
Ответ: X= m n : (m +n).
-
Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить разные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?
Решение. Пусть х кг кислоты в первом сосуде,
У кг кислоты во втором сосуде. Процентное содержание кислоты в смеси (х+у):10= 0,35.
Если взяли по а кг каждого раствора, то процентное содержание кислоты в этом растворе будет .
-
Имеется два сосуда с раствором щелочи разной концентрации 4л и 6л. Их слили вместе, получился раствор 30%- й концентрации щелочи. Если слить вместе по 2л раствора, то получится раствор а%- й щелочи. Сколько литров щелочи содержит второй сосуд?
Решение. Составим таблицу:
-
-
й сосуд
-
й сосуд
х % щелочи
у % щелочи
4л
6л
2л
2л
-
Составим систему
Решая систему получим у=150-4а. используя х + у= 2а, имеем х= 6а-150, у= 150-4а. откуда 4а
Масса щелочи: 0,01у
Ответ: 0,06(150- 4а)л, если
Задачи с аналитической моделью ax+ by =c(x+ y)
-
Смешали 30% -й раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г 15% -го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
Решение. Пусть масса первого раствора х, тогда масса второго раствора 600 - х. по условию 30х + 10(600- х) = 600.15, х = 150.
Другой способ решения с использованием графика.
I вариант 30х + 10(600- х) = 600.15.
II вариант (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) 15х = 5(600 - х), х = 150.
Ответ: 150 г,450 г.
-
n (%)
S1
30
S1 = S2
S2
15
10
0
x
600
m ( r )
-
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Решение: 10х= 5(140 - х), х = 100.
Ответ: 100т, 40т.
-
n (%)
40
30
5
0
x
140
m ( r )
-
Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержалось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции?
Решение: Концентрация уксуса в первом сосуде n1= 12/32 = 3/8, концентрация уксуса в другом сосуде n2= 9/13. Во втором сосуде после перелива х(л) уксуса из первого сосуда концентрация уксуса должна стать равной 0,5 (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды). х=20.
Другой вариант решения(S1= S2). .
-
n
S1
9/13
S2
1/2
3/8
0
13
X+13
V (л )
Ответ: 20 л.
-
Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4л, другого - 6л. Если их слить вместе, то получится 35% раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36% раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?
Решение: Обозначим n1 и n 2 концентрацию кислот в первоначальных растворах. V - сливаемый объем раствора. Составим систему уравнений, учитывая, что VA= nV,
. V1 =4.0,41 = 1,64, V2= 6.0,31 = 1,86
Ответ: 1,64 л, 1,86 л.
-
Имеются три слитка. Масса первого 5 кг, второго- 3 кг, и каждый из них содержит30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.
Решение: Пусть m3- масса третьего слитка, n3 - концентрация меди в третьем слитке. Составим систему уравнений
m3 =10. n3 =0.69.
Ответ: 10 кг, 69%.
-
Имеются два раствора соли в воде, первый 40%-й, второй 60%-й. Их смешали, добавив 5 кг воды и получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80%-го раствора, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 40% -го и 60% -го растворов?
Решение: Пусть масса 40%-го раствора m1(кг), масса 60% - го раствора m2 (кг). m1 = 1, m2= 2.
Ответ: 1кг, 2кг.
-
Имеются два сплава, состоящих из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго , получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в полученном новом сплаве?
Решение: Пусть процентное содержание цинка в первом и втором сплавах равно х. Тогда 150. 0,01х + 250. 0,01х = 400.0,3; 1,5х+ 2,5х = 120, х= 30 .
Цинка во втором сплаве0,3 х250 =75(кг),
Меди во втором сплаве 250х0,26= 65(кг)
Олова в первом сплаве 150х0,4 =60(кг),
Олова во втором сплаве 250х(65+75)=110(кг),
Олова в третьем сплаве 60+ 110= 170(кг)
Ответ: 170 кг.
Эту задачу удобно решить с помощью таблицы.
-
Сплавы кг
I
II
III
Масса сплава
150
250
400
Масса олова
150х0,4=60
?
?
Масса меди
?
250х0,26=65
?
Масса цинка
150х/100=1,5х
2,5х
0,3х400=120
-
Мировой финансовый кризис может крепко ударить по российским туристам. Если, например, прошлой зимой перелет в Таиланд стоил 700 долларов, то в этом году уже 1000. На сколько процентов подорожал перелет до Таиланда? На сколько процентов в прошлом году он был дешевле?
Решение: пусть р- процентная, а а- долларовая величина подорожания. Это означает, что а составляет р% от 700 долларов. Воспользуемся формулой а= 0,01bр получим а= 0,01 р 700, при этом а = 300, имеем 300= 0,01 р 700, р = 300/(0,01 700) = 43%.
300= 0,01 р 1000, р= 300/(0,01 1000)= 30%.
Ответ: 43%, 30%.
-
Цену товара снизили на 30%, а затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?
Решение: Пусть первоначальная цена товара m, тогда: m- 0,3m = 0,7m цена после снижения, 0,7m+ 0,7m 0,3 =0,91mновая цена.
1,00- 0,91= 0,09 или 9%
Используя формулу а(1-(0,01р)2) получим а(1-р2/1002)= а(1-0,32)= 0,91а
Ответ: цена снизилась на 9%
-
Численность безработных в России сократилось на 20%- с 8841 млн до 7368 млн человек. Правильно ли указан процент сокращения?
Решение: Пусть n1= 8841 - было;
n2 = 7368 стало. Р= . H= 17
Ответ: В условии ошибка. 17%.
-
Число 51,2 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а затем уменьшили на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение: Пусть искомый процент равен р. После увеличения получим 51,2 (1+)3, после уменьшения 51,2(1+)3 (1- )3 = 21,6,
(1+)3 (1- )3= 21,6/51,2= 27/64= (3/4)3,
-
, , р1=50, р2= -50.
Ответ: 50%.
-
Вкладчик на свои сбережения получил через год 15 р. начисления процентных денег. Добавив еще 85р, он оставил их еще на год. По истечение года вклад вместе с процентами составил 420 р. Какая сумма была положена первоначально и какой процент дает сбербанк?
Решение: пусть А0- первоначальная сумма вклада, р- годовая процентная ставка. Из данных имеем .
В конце первого года денег было
В конце второго года денег стало \
По условию , 1500/р +15+100+ р =420, р2 -305р +1500=0, р1=5, р2=300. А0= 1500/р= 300.
Ответ: 5%, 300р
-
Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?
Решение: Пусть магазин купил книгу за хр, предполагал продать за (р - предполагаемый процент прибыли), продал за
Ответ: 20%
Литература
-
Галицкий М.Д. Сборник задач по алгебре.
-
Говоров В.М. Сборник задач для поступающих в вузы.
-
Сикорский К.П. Дополнительные главы по курсу математики, для факультативных занятий.
-
Шубин М.И. Математика для поступающих в вузы.