Урок по математике «Ключевые задачи на касательную»

Материалы окружного семинара по математике

Октябрь, 2009

Основные элементы метода ключевых задач

1. По каждой основной теме курса можно выделить несколько ключевых задач, таким образом, что почти все остальные задачи нетрудно свести к одной из них или к комбинации нескольких.

2. Все задачи разбираются и записываются на уроке в виде конспекта или в виде опорных схем.

3. На первом этапе, когда дети только знакомятся с понятием «ключевая задача», учитель сам выделяет систему ключевых задач по разбираемой теме. При этом, в зависимости от подготовленности учащихся, все задачи могут быть разобраны и записаны на одном уроке, а могут записываться постепенно на нескольких уроках.

4. Система задач, предложенная учителем, может дополняться самими учащимися.

5. Наборы ключевых задач записываются детьми в отдельную тетрадь, которая будет являться своеобразным справочником по методам решения. К такому справочнику удобно обращаться при подготовке к контрольным работам, зачётам, а также при повторении.

6. Работа по отбору ключевых задач ведется непрерывно, система дополняется новыми задачами, выделенными при решении более сложных задач.

7. При составлении схем желательно использовать различные цвета.

8. Учащимся разрешается на уроке при выполнении заданий пользоваться схемами и таблицами до тех пор, пока необходимость их использования не отпадёт. При этом хорошо реализуется принцип дифференцированного подхода в обучении, так как у слабых учащихся всегда под руками имеется «руководство к действию» в виде схем и алгоритмов, отражённых в опорном конспекте. А сильные ученики, проанализировав и обобщив весь материал конспекта в целом, получают возможность оценить весь«арсенал» различных методов решения. Что позволяет им перейти к самостоятельному решению комбинированных и творческих задач.

9. После разбора всех ключевых задач, необходимо организовать деятельность учащихся так, чтобы они научились распознавать и решать как непосредственно сами ключевые задачи, так и задачи комбинированные, при решении которых используется уже несколько таких задач. Т.е. обязателен тренинг по распознаванию, применению, а следовательно и заучиванию системы «ключей».

Для организации тренинга учитель заранее готовит набор упражнений. Количество тренировочных работ (обучающего, а не контролирующего плана) зависит от подготовки класса в целом и каждого учащегося в отдельности.

10. Целесообразно завершить использование полученных знаний зачётом.

Графическая интерпретация ключевых задач

Ключевые задачи на касательную

Задачи уровня В

1. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х) в заданной точке касания х₀.

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х_0.

3. Найдите угол наклона (тангенс угла наклона) касательной к графику функции у = f(х) с положительным направлением оси Ох, если задана точка касания х_0.

4. В каких точках касательная, проведённая к графику функции у = f(х), образует с положительным направлением оси Ох заданный угол ?

5. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х), параллельной заданной прямой у = кх + в.

6. В каких точках касательная, проведённая к графику функции у = f(х) параллельна оси абсцисс (или совпадает с осью абсцисс)?

Задачи уровня С

1. Записать уравнение касательной к графику функции у = f(х), проходящей через точку с координатами (а; в)

2. Является ли прямая у = кх + в касательной к графику функции у = f(х)?

3. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции у = f(х), если одна касательная проведена в точке с абсциссой х₁, а другая в точке с абсциссой х₂.

4. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции у = f(х), если касательные проходят через точку с заданными координатами (а; в).

5. Под каким углом пересекаются кривые, заданные уравнениями?

6. Записать уравнение общей для графиков двух функций у = f(х) и у = g(х) касательной.

7. Задачи с параметрами.

Примеры ключевых задач

Задачи уровня В

1. Найти уравнение касательной, проведённой к графику функции

f(x) = -x² + 6x + 8 в точке с абсциссой x₀ = -2.

2. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(x) = x³ + 2x -3 в точке с абсциссой x₀ = 1.

3. Под каким углом к оси Ox наклонена касательная, проведенная к кривой
   y = x³ - x² - 7x + 6 в точке М (2; -4)?

4. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 1/3x³ - 5/2x² + 7x - 4 образует с осью Ox угол 45°?

5. Записать уравнения касательных к графику функции y = x² - 2x + 7, параллельных прямой y = x.

6. Найти точки графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси абсцисс, если f(x) = x² - 3x +1.

Задачи уровня С

1. Записать уравнение касательной к графику функции y = x² + 4x + 2, проходящей через точку Д(-2; -6)

2. Является ли прямая y = 3x - 3 касательной к графику функции

y = x - 1/x²? Обоснуйте ответ

3. Вычислить тангенс угла между касательными, проведенными к графику функции y = x² - 2 в точках (1; -1) и (2; -2).

4. Вычислить тангенс угла между касательными к графику функции
   f(x) = x² + 3x + 5, если эти касательные проходят через точку (0; 1).

5. Под каким углом пересекаются кривые y = x² и y² = x в точке (1; 1)? (в ответе указать тангенс угла)

6. Записать уравнение общих касательных для графиков функции y = x²,
   y = -x² - 2.

7. При каком значении параметра «a» прямая y = 4x + a является касательной к графику функции y = 3x² - 4x - 2?

8. Прямая y = 6x - 7 касается параболы y = x² + bx + c в точке A(2; 5). Найти уравнение параболы.

Задачи по теме: «Касательная» из текстов ЕГЭ-2009

Задачи уровня В

1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции f(х)=x⁵-x в начале координат? В ответе укажите градусную меру этого угла.

2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

g(x)=(x-1)²(x+1)²-(x²+1)², проведённой в точке с абсциссой 1.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)=cosx+6tgx в его точке с абсциссой .

4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции

f(х)=2sinx-3ctgx в его точке с абсциссой .

5. Найдите точку графика функции f(x)=(x-1)(x²⁰⁰⁶+x²⁰⁰⁵+…х+1), касательная в которой параллельна оси абсцисс. В ответе укажите сумму координат этой точки.

6. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²+2x, параллельной прямой у=4х-5. В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(х)=х²-4х, параллельной оси абсцисс. В ответе укажите расстояние от точки (0;0) до этой касательной.

8. Укажите точку графика функции f(х)=х²+4х, в которой касательная параллельна прямой

у-2х+5=0. В ответе запишите сумму координат этой точки.

9. Прямая, перпендикулярная прямой у=4-х, касается графика функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀. Найдите f (x₀).

10. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y=f(х) в точке М(-5;10). Найдите f(-5).

11. Прямая, касающаяся графика функции y=f(х) в точке А(4;-7), проходит также через точку В(-8;20). Найдите f(4).

Задачи уровня С

1. Через точку М(-1;0) к графику функции проведена касательная. Напишите её уравнение. В ответе укажите градусную меру угла наклона касательной с положительным направлением оси ОХ.

2. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку Р(2;0). В ответе укажите площадь треугольника, образованной этой касательной и осями координат.

3. При каких значениях в прямая у=вх является касательной к параболе

f(x)=x²-2x+4?

4. При каком значении а прямая у=-10х+а является касательной к параболе

f(x)=3x²-4x-2?

5. Найдите абсциссы всех точек графика функции , касательные в которых параллельны прямой у=23х+1.

Материалы подготовила Мигунова Н.П.