Занятие по математике по теме: Таблица производных. Решение задач

УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА БУДІВЕЛЬНА КОРПОРАЦІЯ «УКРБУД»

ЛУГАНСЬКИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ ТЕХНІКУМ

ВІДКРИТЕ ЗАНЯТТЯ

з математики з теми:

«ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ. РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ»

для спеціальностей 5.092.118 і 5.092.125.

Модуль № 4. Заняття № 8 .

2007

Розроблено: Єськової Л. В.

викладачем математики

вищої категорії.

Модуль № 4.

Заняття № 8.

Тема: Таблиця похідних. Розв'язування задач.

Вид заняття: практичне заняття.

Мета заняття: - Систематизувати та закріпити отримані знання та навички

знаходження похідної функції та ії застосування до розв'язування задач. Вдосконалити техніку диференціювання.

- Скласти таблицю похідних елементарних функцій.

- Формувати навички самостійної діяльності студентів, сприяти розвитку математичного мислення.

- Розвивати аналітичні та логічні здібності студентів, вміння аналізувати, робити висновки, проводити аналогії.

- Виховувати культуру усної та письмової мови, ретельність,

працелюбність, охайність.

Матеріально - технічне забезпечення та дидактичні засоби, ТЗН:

диференційовані навчальні посібники «Алгебра і початки аналізу у таблицях», таблиця похідних .

Література:

1. Афанасьєва О.М. , Бродський Я.С. та інш. Математика: підручник, К.,-"Вища школа", 2001р.

2. Афанасьєва О.М. , Бродський Я.С. та інш. Дидактичні матеріали з математики: Навч. Посібник,-К., "Вища школа", 2001р.

3. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов І ч.Алгебра и начала анализа. Учебник.-М.:Наука 1987.

4. ШкільМ.І ,З.І.Слєпкань та ін. Алгебра і початки аналізу.10-11кл. Підручник. Київ 2002.

Додаткова література:

1. Роєва Т. Г., Хроленко Н. Ф. Алгебра та початки аналізу у таблицях за новою програмою 10-11 клас: Навч. Посібник.- Х,: Країна мрій,2002.

СТРУКТУРА ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина.

2. Повідомлення теми, мети та основних завдань.

3. Мотивація навчальної діяльності.

4. Актуалізація опорних знань студентів.

5. Самостійна робота студента.

6. Підведення підсумків заняття.

7. Завдання для самостійної роботи.

1. Організаційна частина.

Привітання, позначення відсутніх.

2. Повідомлення теми, мети та основних завдань.

Тема сьогоднішнього заняття «Таблиця похідних. Розв'язування задач».

Метою нашого заняття є повторення матеріалу, який ви вивчали протягом модуля, вдосконалення навичок знаходження похідних, остаточне складання таблиці похідних та застосування отриманих знань під час виконання самостійної роботи.

3. Мотивація навчальної діяльності.

Поняття похідної та правила диференціювання, які ми вивчали протягом останніх занять мають бути застосовані нами в подальшому вивченні матеріалу, при дослідженні функції та побудові графіків, при наближених обчисленнях. При розв'язуванні диференціальних рівнянь не тільки на заняттях з математики, але і на заняттях з теплотехніки, електротехніки та технічної механіки. Дуже важко назвати такий розділ математики де не застосовується знання похідної та вміння ії знаходити. Треба також зазначити, що це є передостаннє заняття цього модуля. Наступне заняття є підсумкова модульна контрольна робота, успішність виконання якої вами залежить від сьогоднішнього заняття.

4. Актуалізація опорних знань студентів.

Для подальшої праці нам необхідно повторити основні поняття, правила та формули, які вивчали раніше. Розіб'ємось на два варіанти і до вашої уваги пропонуються завдання. Треба дописати вірну відповідь або закінчити формулу на дошці. За кожне завдання ви отримаєте по 2 бали. Завдання поділяються на дві частини: теоретичну та практичну. Бали, які Ви маєте змогу одержати за І або ІІ завдання, додаються до балів, які Ви отримаєте за самостійну роботу.

Завдання № 1.

Відповісти на питання 1- 6.

Студенти повинні відповідати по черзі, як вони сидять. Якщо студент не знає відповіді, то може відповідати наступний.

І варіант ІІ варіант

1. Означення похідної функції в точці .

2. Похідна суми двох функцій U+V.

3. Похідна добутку двох функцій U ∙V.

4. Геометричний зміст похідної.

5. Похідна складної функції U(V(x)).

6. Операція знаходження похідної називається…

1. Правило знаходження похідної.

2. Похідна різниці двох функції U-V.

3. Похідна частки двох функції U / V.

4. Фізичний зміст похідної.

5. Рівняння дотичної.

6. Функція, що має похідну, називається…

На попередніх заняттях ми з вами знаходили похідні елементарних функції. Як що знати формули, за якими вони знаходяться і правила диференціювання , то можна знайти похідну будь - якої функції, що диференціюється. З відомих вам формул та правил складемо таблицю похідних.

Знайдемо похідні функції , , , , .

Для знаходження останніх похідних згадаємо основну логарифмічну тотожність

Знайти похідні 1- 8.

1. ( 5 x - 8 )´

2. ( x³ ) ´

3. ( cos x ) ´

4. ( tg x ) ´

5. ( 5 x ⁸) ´

6. ( 1/x ) ´

7. (e^3x) ´

8. (log ₂x ) ´

1. ( x² ) ´

2. ( 4 - 3 x )´

3. ( sin x ) ´

4. ( ctg x ) ´

5. ( 3 x ⁹) ´

6. ( √x ) ´

7. ( 6 ^x ) ´

8. ( ln 5 x ) ´

Таблиця похідних деяких функцій

Правила

диференціювання

Елементарні функції

Складені

функції

Похідна суми (різниці)

Похідна суми (різниці) двох функцій, що диференціюються,

дорівнює сумі (різниці) їхніх похідних.

Похідна добутку

Сталий множник можна виносити за знак похідної.

Похідна частки

Похідна складеної функції

( функція від функції)

Похідна сталої дорівнює нулю

1. Означення похідної функції в

точці ?

2. Похідна суми двох функції : U + V

3. Похідна добутку двох функції : U · V

4. Геометричний зміст похідної.

5. Похідна складної функції : (U(V(x))

6. Операция знаходження похідної

називається …

1. Правило знаходження похідної.

2. Похідна різниці двох функції : U-V

3. Похідна частки двох функції : U/ V

4. Фізичний зміст похідної.

5. Рівняння дотичної.

6. Функція, що має похідну,

називається…

1. ( 5 x - 8 )´

2. ( x³ ) ´

3. ( cos x) ´

4. ( tg x) ´

5. ( 5 x ⁸) ´

6. ( 1/x ) ´

7. (e^3x) ´

8. (log ₂x ) ´

1. (x ² ) ´

2. (4 - 3 x ) ´

3. ( sin x ) ´

4. ( ctg x ) ´

5. ( 3 x ⁹ ) ´

6. (√ x ) ´

7. ( 6 ^x ) ´

8. ( ln 5 x ) ´

1. 5

2. 3x²

3. -sin x

4. 1 / cos² x

5. 40 x⁷

6. -1 / x²

7. 3 e^3x

8. 1 / x ∙ ln 2

1. 2x

2. -3

3. cos x

4. -1 / sin² x

5. 27x⁸

6. 1 / 2√x

7. 6^x ∙ ln6

8. 5 / x

Завдання № 2.

І варіант

Задача № 1.

Матеріальна точка рухається за законом . Обчислити швидкість в момент часу .

Розв'язання: Згідно з фізичним змістом похідної, швидкість матеріальної точці , яка рухається прямолінійно, нерівномірно дорівнює похідної шляху за часом , тобто : .

ІІ варіант

Задача № 1.

Матеріальна точка рухається за законом . Обчислити швидкість в момент часу .

Розв'язання: Згідно з фізичним змістом похідної, швидкість матеріальної точці , яка рухається прямолінійно, нерівномірно дорівнює похідної шляху за часом , тобто : . .

Задача № 2.

Скласти рівняння дотичної до графіка

функції в точці з абсцисою .

Рішення: Рівняння дотичної має вид

Знайдемо:

1). .

2). .

3). .

Підставимо знайдені значення

в рівняння дотичної, отримаємо:

.

Відповідь: .

Задача № 2.

Скласти рівняння дотичної до графіка

функції в точці з абсцисою .

Рішення: Рівняння дотичної має вид

Знайдемо:

1). .

2). .

3). .

Підставимо знайдені значення

в рівняння дотичної, отримаємо:

.

Відповідь: .

5. Самостійна робота студента.

Самостійну роботу : Отже ми повторили основні теоретичні питання, розв'язали типові завдання даної теми. Зараз Вам пропонується виконати самостійну роботу.

Вона має три рівні складності. Ви маєте обрати за бажанням та за своїми здібностями будь - який рівень, враховуючи варіант на якому ви посідаєте.

У Вас на столах є збірники Алгебра 11 у таблицях. З них Ви виконуєте самостійну роботу С-1-3 (стор. 22). Тема: Похідна . Техніка диференціювання.

2 завдання: «Знайти похідну функції» та самостійну роботу С-1-5 (стор. 24).

Тема: Механічний та геометричний зміст похідної , 1 та 2 завдання.

На виконання роботи Вам відводиться 20 -25 хвилин. Робота повинна бути виконана охайно, містити всі формули, які застосовані у рішенні. Робота оцінюється тої кількістю балів, якій рівень Ви обрали.

Я пропоную Вам виконувати кожне завдання на окремім аркуші і відразу здавати на перевірку, тоді на при кінці заняття Ви отримаєте оцінку.

6. Підведення підсумків заняття.

Отож бо ми завершили виконання самостійної роботи . Підведемо підсумки заняття. Сьогодні ми повторяли матеріал, який ви вивчали протягом модуля розв'язали типові завдання даної теми. Виконали самостійну роботу.

Оголошуються оцінки , які отримали студенти.

7. Завдання для самостійної роботи.

Підготуватися до модульної контрольної роботи, повторити §29 п. 1-13

Розв'язати № 6.20, № 6.21, № 6.22, № 6.24 (4,6,7).

7 балів.

І варіант.

Завдання № 1.

Знайти похідну функції.

ІІ варіант.

Завдання № 1.

Знайти похідну функції.

Завдання № 2.

Завдання № 2.

Завдання № 3.

Завдання № 3.

9 Балів.

ІІІ варіант.

Завдання № 1.

Завдання № 2.

Завдання № 3.

ІV варіант.

Завдання № 1.

Завдання № 2.

Завдання № 3.

12 балів.

V варіант.

Завдання № 1.

Завдання № 2.

Завдання № 3.

VІ варіант.

Завдання № 1.

Завдання № 2.

Завдання № 3.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЕ ЧИСЛО e

У вищій математиці число е відіграє важливу роль і зустрічається буквально на кож­ному кроці. Фундаментальний характер числа е найвиразніше виявляєть­ся, коли вивчаєш зростання якої-небудь величини. Припустимо, що хтось поклав один долар у банк, який сплачує 4% річних. Якщо проценти прості, то за кожний рік сума вкладу зростає на 4% від первісного капіталу. Кож­ний долар через 25 років «виросте» і перетвориться на 2 долари. А якщо банк сплачує складний процент, то долар буде рости швидше, бо після кожного нарахування процентів капітал трохи збільшується і наступного разу про­цент нараховується від загальної суми. Чим частіше роблять перерахунок і додавання прибутку до основного капіталу, тим швидше росте вклад. Коли щороку нараховувати складні проценти, долар за 25 років перетвориться в тобто в 2,66 долара. Коли нараховуються складні проценти кожні півроку, якщо банк сплачує 4 (складних) проценти річних, то при­ріст вкладу за кожні 6 місяців становить 2%, долар за 25 років перетвориться в або в 2,69. У рекламних проспектах банків їх автори особливо підкреслюють, скільки разів на рік нараховується прибуток. Може здатися, що при до­сить частому нарахуванні процентів (наприклад, якщо робити перерахунок мільйон разів на рік) за 25 років долар перетвориться в досить відчутну су­му. Насправді ж нічого подібного не відбудеться. Через 25 років один долар виріс би до величини , де п - число нарахувань прибутку. При п, що прямує до нескінченності, цей вираз прямує до границі, яка дорів­нює 2,718..., що лише на 3 центи більше за ту суму, яка б вийшла, якби прибуток нараховували раз на півроку. Ця границя і називається числом е. Як і число ,- трансцендентне число, тобто воно не може бути ко­ренем якогось алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами. Так само як за допомогою циркуля та лінійки неможливо побудувати від­різок прямої, довжина якого у відповідних одиницях точно дорівнює л, не існує і способу побудови відрізка, довжина якого виражалася б числом е. Число е, як і число л, можна записати лише двома способами: або як не­скінченний ланцюговий дріб, або як суму нескінченного ряду. Ось, напри­клад, як записують число е у вигляді ланцюгового дробу:

Цей нескінченний дріб у XVIII ст. відкрив великий математик Леонард Ейлер. Він же перший запровадив символ е.

Можливо, Ейлер вибрав бук­ву е саме тому, що вона була наступною голосною після а, яку він уже використав, позначивши нею іншу величину. Однак Ейлерові належить так багато відкриттів, зв'язаних з числом е, що зрештою е стали називати «числом Ейлера».