Научно-практическая работа на тему Большие числа и бесконечность

Муниципальное Казенное Общеобразовательное Учреждение Заволжский лицей

155410, г. Заволжск, Ивановская область, ул. Мира, д.20 Телефон: 8 (49333) 2-10-38

Информационный проект:

«Большие числа и бесконечность.

Что мы с вами знаем о бесконечности?»

Работу выполнили:

Пикалов Максим и Коркин Егор,

ученики 11-А класса.

Руководитель работы:

учитель математики

МКОУ Заволжского лицея,

Румянцева В.С.

Заволжск 2014 год

Рецензия на работу:

«Большие числа и бесконечность. Что мы с вами знаем о бесконечности?»

Данный исследовательский проект содержит необходимые разделы: цель, задачи, методы исследования, основное содержание, ожидаемые выводы и ориентацию на информацию в интернете.

Эта работа отличается от всех других проектов своей креативностью. Проект затрагивает весьма интересующие вопросы о бесконечности настоящего времени.

В своей работе ученики собрали информацию, которая касается бесконечности чисел, от самых маленьких до грандиозно больших. Также Максим и Егор привели множество разных примеров чисел, такие как Гугл, Гугл Плекс, число Грэма. Ребята провели анкетирование учащихся школы по данной теме исследования и, проанализировав полученные результаты, оценили их, что помогло более углубиться в «бесконечность».

Сочетание теоретической и практической работы, способствовало творческому и интеллектуальному развитию ребят.

Самое главное - то, что исследования проведенные учениками очень востребованы. Это обусловлено тем, что множество людей задаются вопросом о бесконечности и не могут найти на этот вопрос ответа.

«Большие числа и бесконечность.

Что мы с вами знаем о бесконечности?»

Гипотеза: Какое самое большое число и можно ли его вывести?

Существует ли предел бесконечности?

Цель работы: Исследовать большие числа , оценить явление бесконечности. Сформулировать понятие о «бесконечности» и её «пределе» . Рассмотреть особенности этого естественного явления.

Задачи:

1. Изучить литературу и Интернет-данные на тему «большие числа» и «бесконечность»;

2. Подробнее узнать о таких числах как Гугл (Googol) и Гугл Плекс (Googolplex), про число Грэма и числа Скьюза;

3. Провести анкетирование учащихся школы по теме исследования.

4. Проанализировать полученные результаты, оценить их.

Методы:

1. Анкетирование;

2. Сбор информации;

3. Систематизация материала в форме презентации;

Актуальность:

Миллионы людей сейчас являются пользователями Интернета, каждый день они обращаются к какой-то поисковой системе. Многие из них даже не подозревают, почему поисковая система "Google" так называется.

Каждый ребенок, когда научится считать, хотя бы до десяти задает взрослым вопрос : « А какое число самое большое?». « Вырастешь - узнаешь»-отвечают взрослые. Этот вопрос является важным шагом в процессе понимания мира абстрактных понятий. Ответ на этот вопрос, как правило, ограничивается утверждением, что большие числа считаются бесконечными. Однако в определённый момент выясняется, что числа могут быть такими большими, что их практическое применение в реальной жизни и невозможно, и бессмысленно, и единственное, что оправдывает их существование - это факт их формального существования.

Мы выросли и решили сами разобраться с большими числами , в общем и с числом

Гугол, в частности.

Кроме этого мы решили ,образно сказать , прикоснуться к «бесконечности»

Все люди знают это число и используют его для описания чего-то непостижимо огромного. Однако бесконечность - не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд.

Бесконечность - это философский термин, свойство объекта не уменьшаться при конечном убавлении, отсутствие границ или мер. В математике это вид отсутствия конечной числовой меры для предела на проекции или в последовательности. В астрономии примером бесконечности является Вселенная.

Основная часть:

Вступление:

Для того чтобы понять, что такое «бесконечность», имеет ли она «предел», рассмотрим это явление с разных точек зрения. В нашем случае это - математика, физика, астрономия.

Начнём наше исследование с математики. Все мы знаем, что «бесконечностью» в этой области науки являются числа. Мы постарались найти самое большое число в этом потоке цифр, чтобы лучше укрепить наше мнение о этом явлении и глубже раскрыть его.

Математическое обоснование «бесконечности»:

Есть числа, которые так , невероятно велики, что даже для того чтобы записать их, потребуется вся вселенная целиком. Некоторые из этих непостижимо больших чисел крайне важны для понимания мира. Есть много претендентов на этот титул.

Чтобы составить список огромных чисел, мы могли бы просто записать какое-то огромное число под номером один, а затем прибавлять +1, +2, +3 и так далее до конца списка. Вместо этого, мы решили взять 7 чисел, которые имеют определенную область применения в реальной жизни. Мы разместили их в порядке возрастания, давая краткие пояснения относительно того, что они собой представляют, и как они применяются в жизни, даже если область применения и невелика, особенно в сравнении с размером самого числа.

Число первое

10^(80):

Десять в восьмидесятой степени - это число с 80 нулями после 1. Это огромное число, но оно, с определённой точки зрения, имеет конкретную область применения. Это число обозначает примерное количество элементарных частиц во вселенной. Речь идет не о микроскопических частицах, а о субатомных частицах, которыми являются кварки и лептоны. Название этого числа в современном английском языке (американский и британский варианты английского) - Quinquavigintillion (Квинквавигинтиллион). Количество таких ничтожно малых частиц, которые составляют всю известную нам часть Вселенной, может показаться огромным, но это самое маленькое и легкое для понимания число в этом списке.

Кварк - фундаментальная частица в Стандартной модели, обладающая электрическим зарядом, и не наблюдающаяся в свободном состоянии. Кварки являются точечными частицами вплоть до масштаба примерно 0,5·10^(-19) метра, что примерно в 20 тысяч раз меньше размера протона. Из кварков состоят адроны, в частности, протон и нейтрон.

Лептон - фундаментальная частица с полуцелым спином, собственным моментом импульса элементарных частиц, не участвующая в сильном взаимодействии. Наряду с кварками лептоны составляют неотъемлемую часть Стандартной модели.

Число второе

Один Гугол (Googol):

Часто используемое название популярной поисковой системы произносится почти также, как и слово googol (гугол). Это число имеет очень интересную историю.

Эдвард Казнер (Edward Kasner)

В 1938 году известный американский математик Эдвард Казнер гулял по парку с двумя своими племянниками и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Один из племянников, девятилетний Милтон Сиротта, предложил назвать это число «гугол» (googol). В 1940 году Эдвард Казнер совместно с Джеймсом Ньюманом написал научно-популярную книгу «Математика и воображение» («New Names in Mathematics»), где и рассказал любителям математики о числе гугол.

Алексис Лемар (Alexis Lemaire)Это относительно абстрактное и формально существующее число, которому нашлось применение в определённых областях. К примеру: «Человек-Калькулятор» (Alexis Lemaire) установил мировой рекорд, вычислив корень 13-й степени из 100-значного числа (для сравнения: корень 13-й степени из числа 8,192 равняется 2). Стозначное число - это гугол. Одно из чисел, которые Лемар вычислял, произносилось следующим образом - 3 гугола 893 дуотригинтиллиона (3 googol, 893 duotrigintillion)…и так далее. Еще одна область применения данного числа - это обозначение промежутка времени, примерно от 1 до 1.5 гугола лет, которые пройдут со времени большого взрыва, до взрыва самой массивной черной дыры.

Число третье

«8.5 х 10185»:

Планковская длина или постоянная Планка равняется примерно 1.616199 x 10−35 метров, или, если записать это в более длинном варианте - 0.00000000000000000000000000000616199 метра. В одном кубическом дюйме насчитывается около одного гугола планковских длин. Планковская длина играет важную роль в теории струн (область квантовой физики), и из-за своей малой длины теоретически позволяет определить неизвестные ранее измерения.

Почему такие ничтожно малые значения оказались в этом списке? Во вселенной насчитывается примерно 8.5 х 10185 планковских длин. Это огромное число и практического применения не имеет, однако это число довольно легко сравнивать с остальными числами в списке.

Число четвертое

«243.112.609-1»:

Предыдущее 185-значное число равнялось количеству планковских длин во вселенной. Под номером 4 идет 13.000.000-значное число. Формальное существование этого числа заключается в том, что оно является самым большим простым числом. Число было открыто в 2008 с помощью проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна (GIMPS). Начиная со следующего номера в списке, числа будут намного сложнее для понимания.

Число пятое

Гуголплекс (Googolplex):

Многие люди слышали это число в жизни. Поклонники фильма «Назад в Будущее» помнят, как Доктор Эмит бормотал себе под нос - «она одна на миллион, на миллиард, на гуголплекс…»

Что же это за число - гуголплекс? Помните чему равен гугол? Гугол - это число со ста нулями после единицы. Гуголплекс - это число с гуголом нулей после единицы. Так насколько же большое это число? Если все пространство во Вселенной заполнили бы листками бумаги, и на каждом листке были бы написаны нули с размером шрифта 10, то это была бы только половина всех нулей после единицы для числа гуголплекс. Согласитесь, записывать такие числа обычным способом довольно непрактично. Поэтому для записи таких больших чисел применяют специальный гипероператор - тетрацию (степенная башня). Например, гипероператор возведения в степень для числа квинквавигинтиллион записывается следующим образом - 1080. Гипероператор тетрация следующий, после возведения в степень, и для числа гуголплекс записывается следующим образом - 1010^10 или число, равное десяти в степени гугол, Поскольку графически степенную башню отражать довольно сложно, то для удобства используется символ «^», который означает возведение в степень. Гуголплекс будет записан следующим образом 10^10^100.

10 - десять

100 - сто

1 000 - тысяча

1 000 000 - миллион

1 000 000 000 - миллиард

1 000 000 000 000 - триллион

1 000 000 000 000 000 - квадрильон

1 000 000 000 000 000 000 - квинтильон

1 000 000 000 000 000 000 000 - секстильон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 - септильон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - октальон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - нональон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - декальон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - эндекальон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - додекальон

И… число гигант:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - ГУГОЛ

Число шестое

Числа Скьюза:

Это верхний предел математической проблемы, выраженной простым, на первый взгляд, уравнением: π(x) > Li (x). Уравнение, как не трудно догадаться, намного более сложное, чем это может показаться. По сути, число Скьюза доказывает, что число "х" существует, что в свою очередь нарушает само это правило. Допуская, что гипотеза Римана верна, приходим к заключению, что число "х" меньше чем 10^10^10^36 (больше многих чисел), но, тем не менее, намного больше гуголплекса, и одно из самых больших чисел, и называется - первое из чисел Скьюза. Существует еще большее число, без учета гипотезы Римана, Число Скьюза примерно равняется 10^10^10^963.

Число седьмое

Число Грэма:

Число Грэма (Грехема, англ. Graham's number) - большое число, которое является верхним пределом для решения определённой проблемы в теории Рамсея. В 1980 году Число Грэма было занесено в книгу Рекордов Гиннесса, как самое большое конечное число, которое использовалось в серьезных математических расчетах. Это число настолько огромное, что даже степенные башни, практически не в состоянии отобразить его. Единственный способ, который позволит отобразить Число Грэма - это стрелочная нота́ция Кнута и специальные стрелочные операторы Кнута. Давайте разберем все по порядку.

Во-первых, стрелочная нотация Кнута это метод записи очень больших чисел. Здесь будет довольно сложно вкратце объяснить, как работают стрелочные операторы Кнýта. Однако вы можете представить их в таком виде: 3↑3 обозначает число 27, а 3↑↑3 означает число 327 (7,625,597,484,987). Если добавить еще одну стрелку, 3↑↑↑3, то мы получим степенную башню с 7500000000000 уровнями. Это число намного больше, чем время возвращения Пуанкаре, а вы можете добавлять еще стрелки, и получать еще более огромные числа.

Число Грэма (G) выражается следующей формулой: G=f64 (4), где f (n)=3↑n3. Рассмотрим это число по уровням. Первый уровень - это 3↑↑↑↑3, число настолько большое, что его очень затруднительно отобразить в какой-либо другой форме. Следующий уровень имеет несколько стрелок между тройками. Добавляя стрелки между тройками, мы можем дойти до 64 уровня. Если вам интересно, то последние цифры Числа Грэма -2464195387, а вот про первые цифры Числа Грэма не знает никто, даже сам Грэм.

Итог анализа математических чисел:

Проанализировав эти огромные числа, мы пришли к мнению, что предел чисел не возможен. Его просто не существует. Однако не все уверены, что предел чисел бесконечен. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер (Doron Zeilberger), убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».

К бесконечности

Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма .

дальше

Интересные математические свойства бесконечности:

Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число, как четных, так и нечетных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, а бесконечность поделённая на два равняется бесконечности, а если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.

Астрономическое обоснование «бесконечности»:

В этой области науки «бесконечность» выступает в роли Вселенной. Вселенная в астрономии такая же бесконечная, как и числовой поток в математике.

Ученые определили, что в известной нам части Вселенной существует 1080 субатомных частиц, это та часть, которую ученые исследовали. Многие ученые уверены, что Вселенная бесконечная, а ученые, которые скептически относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.

Если Вселенная бесконечна, то с математической точки зрения получается, что где-то находится точная копия нашей планеты, поскольку существует вероятность, что атомы «двойника» занимают такое же самое положение, как и на нашей планете. Шансы, что такой вариант существует, ничтожно малы, хотя, в бесконечной Вселенной, это не только возможно, но и обязательно должно произойти, и, по меньшей мере, бесконечное число раз, при условии, что Вселенная все-таки бесконечно бесконечна.

Анкетирование учащихся школы по теме исследования:

Мы провели опрос на тему «бесконечности» в нашей школе. Задавали учащимся следующие вопросы:

• Какое самое большое число вы знаете?

• Как вы думаете, существует ли предел бесконечности?

• Верите ли вы в то, что во Вселенной существует такая же планета как и наша Земля, основываясь на бесконечное пространство?

После анкетирования мы составили схемы ответов учеников МКОУ Заволжского лицея :

Подведём итоги:

Явление «бесконечности» весьма трудно понять и изучить полностью. Если основываться на числа, то Изучение чисел и их свойств необходимо каждому современному человеку для развития логического мышления, памяти, творческого решения задач. В школьном курсе «математика» не изучается тема «числа - великаны», но узнав, что существуют числа больше миллиарда,мы решили больше узнать об этих числах. Безусловно, мало знать, как называются самые большие числа в мире, имеющие собственное название. Интересно было узнать и посмотреть на то, как они записываются, где встречаются в жизни.

Проделанная исследовательская работа помогла больше узнать о больших числах, какие ученые занимались их изучением.В ходе работы мы расширили свой кругозор в области математики.Мы были удивлены, что числа великаны и названия их появились давно. Оказывается, они окружают нас повсюду. Подробно изучив мы можем рассказать о них нашим одноклассникам на уроке. Полученные знания помогут нам в дальнейшем в изучении предметов физика, химия, математика.

Приложения

Значок бесконечности в реальной жизни

А) в природе

Б) в быту

Во Вселенной)

Исследовательский проект «Большие числа и бесконечность. Что мы знаем с вами о бесконечности?» к V научно-практической конференции «Поиск и творчество».