Содержание

ВВЕДЕНИЕ

3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

4

1.1. Из истории фигурных чисел

4

1.2. Формулы плоских фигурных чисел

7

1.3. Свойства фигурных чисел

8

1.4. Применение фигурных чисел в жизни человека

13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

15

ПРИЛОЖЕНИЯ

16

ВВЕДЕНИЕ

Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, получались прямоугольники. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. Числа - камушки можно раскладывать в виде правильных геометрических фигур, так возникли числа, которые сегодня называют фигурными.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в повседневной жизни.

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики - фигурное число, выявить его свойства и использование в повседневной жизни.

Задачи:

1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их свойства и применение в жизни человека.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Из истории фигурных чисел.

Фигурные числа - общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI-IV вв. до н. э.

Они предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах. Произведение ab рассматривалось как площадь прямоугольника со сторонами a и b. В случае, если a и b - натуральные, произведение ab выражало число точек в прямоугольной таблице с a точками в строке и b точками в столбце. Например, число 20 выражает число точек в таблице с пятью строками и четырьмя столбцами (рис. 1).

Рис. 1. Произведение чисел 5 и 4.

Числа, выражающие число точек в квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).

1

4

9

16

25

36

Рис. 2. Квадратные числа.

Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в треугольных таблицах.

1

3

6

10

15

21

Рис. 3. Треугольные числа.

На рисунках 4 и 5 изображены пятиугольные и шестиугольные числа. Из этих рисунков видно, что пятиугольными числами являются 1, 5, 12, 22, 35, … , а шестиугольными - 1, 6, 15, 28, 45, 66,…

1

5

12

22

35

51

Рис. 4. Пятиугольные числа.

Рис. 5. Шестиугольные числа.

Уложив камешки в пространственную фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.

Рис. 6. Кубическое и квадратное пирамидальное числа.

2. Формулы плоских фигурных чисел.

Рассматривая ряд, образованный треугольными числами легко заметить, что:

T₁=1; Т₂=3=1+2; T₃=6=(1+2)+3,…, T_n=(1+2+…+(n1))+n= T_n-1+n (1), где T_n - значение треугольного числа с номером n, T_n-1. - значение треугольного числа с номером
(n-1). Т.е. каждое следующее число получаем из предыдущего, увеличивая предыдущее на номер нового числа (таблица 1).

Таблица 1. Зависимость значения треугольного числа от его номера

Дополним Т_n до квадратного числа (рис. 7).

Рис. 7. Красным цветом обозначено исходное число T_n, зеленым его дополнение до квадратного (T_n-1).

Тогда (согласно рис. 7 и формуле (1)): .

Поэтому:

Тогда: (2) - формула треугольного n - го треугольного числа.

Эту формулу открыли еще древние греки, а потом, независимо от них, согласно легенде, Карл Гаусс в возрасте 9 лет.

Для вывода формул других n - x многоугольных чисел, древние греки, разбивали их на треугольные.

Рассмотрим вывод формулы для произвольного пятиугольного числа

Если разбить n - е пятиугольное число на три (n-1) треугольных, то останутся еще n камешков (см. таблицу 2).

Таблица 2. Зависимость P_n от T_n1.

Т.е.: .

Аналогичным образом, используя только геометрические соображения можно получить формулы, для:

• квадратных: ;

• пятиугольных: ;

• шестиугольных:

• семиугольных:

• и произвольных k-угольных: , чисел.

Где, - n-e квадратное число, - n-e пятиугольное число, - n-e шестиугольное число, - n-e k-угольное число.

3. Свойства фигурных чисел

Между фигурными числами имеется много интересных зависимостей. Так, например, древнегреческий математик Диофант (III век до н. э.) нашел зависимость между треугольными (Т_n) и квадратными (K_2n+1) числами: .

Доказательство Диофанта приведено на рисунке 8, для квадратных чисел K₇ и K₉.

Рис. 8. Связь между треугольными и квадратными числами.

Выделим среди точек каждого квадратного числа центральную, а остальные точки разобьем на группы, образующие восемь треугольных чисел T₃ для K₇ и T₄ для K₉.

В результате получаем равенства 8T₃+1=K₇ и 8T₄+1=K₉. В общем случае имеет место равенство:

.

Следствие: Если n - нечетное число, то делится на 8.

Пьер Ферма обобщил формулу Диофанта и сформулировал, в 1637, так называемую «золотую теорему»:

• Всякое натуральное число - либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

• Всякое натуральное число - либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

• Всякое натуральное число - либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел, и т.д.

Используя геометрический метод, разработанный древнегреческими учеными, можно доказать и формулы сокращенного умножения.

Докажем, что Для этого построим квадрат со стороной, и выделим в построенном квадрате, квадраты со стороной a и стороной b (рис. 9).

Рис. 9. Доказательство тождества .

Тогда (согласно рис. 9): , что и требовалось доказать.

Изучая фигурные числа, греки окрыли очень много свойств числовых последовательностей.

Рассмотрим произвольное квадратное число (рис. 10):

Рис. 10. Разбиение квадратного числа на сумму нечетных чисел.

«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных нечетных чисел, очевидно: 1+3+5+7+9+11=6².

Обобщив полученную зависимость получим:

(3) - формулу для суммы последовательных нечетных чисел.

Следовательно, квадрат любого натурального числа можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел, начиная с единицы.

Аналогичным образом можно получить формулу для суммы четных чисел. Для этого рассмотрим прямоугольную таблицу (рис. 11):

Рис. 11. Разбиение прямоугольного числа на сумму четных чисел.

«Уголки» выделенные на рисунке одним цветом образуют ряд последовательных четных чисел, очевидно: .

Обобщив полученную зависимость получим:

(4) - формулу для суммы последовательных четных чисел.

Следствие: Произведение двух последовательных натуральных чисел можно представить в виде суммы последовательных четных чисел, начиная с двух.

Великие математики затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел.

Обобщением «золотой теоремы» стала Великая (или Последняя) теорема Ферма:

• Для любого натурального числа уравнение не имеет решений в целых не нулевых числах a, b, c.

Которая на протяжении более трех веков будоражила умы математиков во всем мире, и только в 1995 году была окончательно доказана английским математиком Эндрю Джоном Уайлсом.

4. Применение фигурных чисел в жизни человека

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

• При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей - длины и ширины.

• При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей - длины, ширины и высоты.

• Упаковка конфет в форме линейного числа

• На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

• Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

• Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

• Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

• К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

• Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

А зачем все это? И действительно - зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?

Могу ответить лишь в духе Ноздрева: очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно непременно чему-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она может немного развлечь - тем лучше!

В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа.

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Значит - это кому-нибудь нужно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина, 2008.

2. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.

3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1985

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7