Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

Раздел Математика
Класс 6 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

Декартова система координат на плоскости.

1) Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат - ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы - с точкой пересечения Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, являющейся начальной точкой каждой из этих осей.

Говорят, что этим на плоскости определена система координат Декартова система координат на плоскости, Координатные углы. Ее называют еще прямоугольной или декартовой системой координат Декартова система координат на плоскости, Координатные углы по имени французского математика и философа Декарта, который ввел в математику это важное понятие.

Оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и Декартова система координат на плоскости, Координатные углы могут иметь разные единичные отрезки (мы будем рассматривать оси с равными единичными отрезками, если не оговорено противное).

Ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы называется еще осью абсцисс, а ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы - осью ординат. Точку Декартова система координат на плоскости, Координатные углы пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана, декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс изображают на бумаге в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат - в виде вертикальной прямой, направленной вверх.

C

A1

А

D

1

1

O

y

х

Так мы и согласимся делать, если какие-либо соображения не заставят нас отклониться от этого соглашения. Буквы Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и Декартова система координат на плоскости, Координатные углы мы тоже иногда будем считать удобным заменять другими буквами Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

2) Проекцией точки на какую-либо прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую.

На рисунке изображена прямая Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, точка Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и точка Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, являющаяся проекцией Декартова система координат на плоскости, Координатные углы на Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

D

-4

y

F

4

O

х

5

Рис. 5

1

C

y

A(4,3)

4

O

х

3

Рис. 4

y

A(x,y)

x

1

1

O

х

y

Рис. 3

Пусть в плоскости задана прямоугольная система координат Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

Зададим в этой плоскости точку Декартова система координат на плоскости, Координатные углы (рис. 3).

Абсциссой точки называется координата Декартова система координат на плоскости, Координатные углы ее проекции на ось абсцисс (ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы).

Ординатой точки называется координата Декартова система координат на плоскости, Координатные углы ее проекции на ось ординат (ось Декартова система координат на плоскости, Координатные углы).

Абсцисса Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и ордината Декартова система координат на плоскости, Координатные углы точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углы называются координатами точки.

Координаты точки обычно записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором - ордината. Например, точка Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, изображенная на рис. 4, имеет абсциссу Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и ординату Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, поэтому пишут Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке Декартова система координат на плоскости, Координатные углы плоскости приводится в соответствие пара чисел Декартова система координат на плоскости, Координатные углы координаты точки, и в то же время произвольную пару чисел Декартова система координат на плоскости, Координатные углы можно рассматривать как координаты некоторой точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углы плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив эти числа местами, мы получим другую пару чисел, определяющую другую точку на плоскости.

Поэтому часто координаты Декартова система координат на плоскости, Координатные углы точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углы называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу Декартова система координат на плоскости, Координатные углы точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углы называют еще первой координатой, так как записывают на первом месте, а ординату Декартова система координат на плоскости, Координатные углы второй координатой точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, то

  1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

  2. разным точкам на плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

  3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной) точке плоскости (см. пункт 2).

Эти три утверждения можно заменить следующими словами:

Между точками плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие.

Упражнение.

Отметить на координатной плоскости точки:

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

Координатные углы. Координаты симметричных точек

Прямоугольная система координат Декартова система координат на плоскости, Координатные углы разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами, или координатными четвертями, или квадрантами.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 6).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что:

точки угла I имеют координаты Декартова система координат на плоскости, Координатные углы такие, что Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, Декартова система координат на плоскости, Координатные углы;

точки угла II имеют координаты Декартова система координат на плоскости, Координатные углы такие, что Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, Декартова система координат на плоскости, Координатные углы;

точки угла III имеют координаты Декартова система координат на плоскости, Координатные углы такие, что Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, Декартова система координат на плоскости, Координатные углы;

точки угла IV имеют координаты Декартова система координат на плоскости, Координатные углы такие, что Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

Например, точка В( 1, 1) на рис. 7 принадлежит углу II; точка D(4, 4) принадлежит углу IV.

Легко видеть, что:

абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы;

Е

-2

-1

1

2

-1

-2

-4

D

y

F

1

O

х

Рис. 7

C

А

ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

y

I

II

III

IV

Рис. 6

1

O

х

1

Например, на рис. 5 точка F лежит на оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и имеет абсциссу Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, точка Е лежит на оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и имеет ординату Декартова система координат на плоскости, Координатные углы.

Отметим еще, что начало координат точка О и только она имеет обе координаты, равные нулю.

Две точки Декартова система координат на плоскости, Координатные углыи Декартова система координат на плоскости, Координатные углы называются:

симметричными относительно оси ординат (оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы), если их координаты удовлетворяют равенствам

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

симметричными относительно оси абсцисс (оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы), если их координаты удовлетворяют равенствам

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

симметричными относительно начала координат (точки О), если их координаты удовлетворяют равенствам

Декартова система координат на плоскости, Координатные углы

Например, на рис. 7 точки А и В симметричны относительно оси ординат, точки С и D симметричны относительно оси абсцисс, точки E и F симметричны относительно начала координат.


Вопросы.

  1. Для каких точек абсцисса равна нулю?

  2. Для каких точек ордината равна нулю?

  3. Для каких точек абсцисса положительна?

  4. Для каких точек ордината положительна?

  5. Какие точки симметричны относительно оси абсцисс?

  6. Какие точки симметричны относительно оси ординат?

  7. Какие точки симметричны относительно начала координат?

Упражнение.

Для точки А найти точки, симметричные ей относительно оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы, относительно оси Декартова система координат на плоскости, Координатные углы и относительно начала координат, если:

а) А (1, 2); б) А (1, 3); в) А (2, 3); г) А ( 4, 3),и отметить эти точки на координатной плоскости.


© 2010-2022