МБОУ «Цилемская средняя общеобразовательная школа».

Учебная программа

Кружок

для учащихся 5 - 6 классов

«Решение задач разных типов»

на 60 часов.

Учитель математики - Чупрова Надежда Тимофеевна.

Обсуждено на заседании

методического объединения

Протокол № 1 от 26. 09. 05.

Председатель ____________________

(подпись)

Утверждено педагогическим советом

Протокол № ___ От ______________

Директор школы __________________

(подпись)

Пояснительная записка.

Программа составлена на основе типовой программы по математике для общеобразовательных школ, 2001г.

Составители: Г.М.Кузнецова, Н.Г. Миндюк.

Программа кружка «Решение задач разных типов» предназначена для углубления знаний учащихся 5 - 6 классов, проявляющих повышенный интерес к математике. Данный курс учащиеся посещают по желанию, исходя из своих интересов, потребностей и способностей.

Курс рассчитан на 60 часов (30 часов в 5 классе и 30 часов в 6 классе), по 1 часу в неделю.

Цель факультатива:

1.Формирование более сложных интеллектуальных предметных умений учащихся - анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения.

2. Развитие логического мышления школьников.

Задачи факультатива:

1. Сформировать и развить навыки решения нестандартных математических задач;

2. акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов задач;

3. расширить математические представления учащихся по определённым темам.

Умения и навыки учащихся, формируемые факультативным курсом:

- навык самостоятельной работы с литературой;

- составление алгоритмов решения типичных задач;

- умение логически мыслить.

Список используемой литературы:

1. Журналы «Математика в школе» и приложения к нему для школьников (постоянное обновление).

2. Г.В. Дорофеев и другие, «Математика» для 5 класса, М. Просвещение, 1994 г.

Тематическое планирование.

№ п/п

Тема занятия

Кол-во часов

1.

Решение задач на части.

4

2.

Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

4

3.

Задачи на движение.

6

4.

Разные арифметические задачи.

5

5.

Комбинаторные задачи.

6

6.

Дерево возможных вариантов.

6

7.

Нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

4

8.

Задачи на совместную работу.

6

9.

Разные задачи на дроби.

5

10.

Возможно или невозможно.

5

11.

Достоверные, возможные и невозможные случайные события.

5

12.

Резерв.

4

Итого часов:

60

1. Решение задач на части.

Задача. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. Сколько сахара надо взять на 9 кг ягод?

Решение.

Определим, сколько килограммов ягод приходится на каждую часть: 9 : 3 = 3 (кг).

Теперь найдём, сколько килограммов ягод приходится на 2 части сахара: 3 2 = 6 (кг).

Ответ: 6 кг сахара.

Решим задачи № 232 -245 на стр. 80 - 83 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

2. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Задача. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение.

70 тетр.

Уравняем число тетрадей в пачках, «убрав» из первой пачки 10 тетрадей. Тогда мы найдём удвоенное число тетрадей во второй пачке: 70 - 10 = 60 (тетр.). Найдём число тетрадей во второй пачке: 60 : 2 = 30 (тетр.). Найдём число тетрадей в первой пачке: 30 + 10 = 40 (тетр.). Ответ: 40 тетрадей, 30 тетрадей.

Решим задачи № 272 -282 на стр. 94 - 95 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

3. Задачи на движение.

Задача 1. Собственная скорость лодки (скорость лодки в стоячей воде) равна 6 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость лодки по течению и против течения.

Решение.

Скорость лодки по течению больше её собственной скорости на скорость течения реки:

6 + 2 = 8 (км/ч).

Скорость лодки против течения реки меньше её собственной скорости на скорость течения реки:

6 - 2 = 4 (км/ч).

Ответ: 8 (км/ч) и 4 (км/ч).

Задача 2. Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого - 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение.

Найдём скорость удаления пешеходов друг от друга: 5 + 4 = 9 (км/ч). Значит, за 3 часа пешеходы удалятся друг от друга на 9 3 = 27 (км).

Ответ: 27 км.

Задача 3. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение.

Найдём скорость сближения пешеходов: 5 + 4 = 9 (км/ч). Значит, встретятся они через 18 : 9 = 2 (ч.).

Ответ: 2 часа.

Решим задачи № 343 -362 на стр. 108 - 112 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

4. Разные арифметические задачи.

При решении многих задач бывает полезно проявить фантазию, видоизменить условие задачи.

Задача 1. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких - по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Решение.

Предположим, что колец во всех пирамидах поровну - по 5 колец. Тогда для этого нужно снять с каждой большой пирамиды по 7 - 5 = 2 кольца. На всех 20 пирамидах останется 20 ∙ 5 = 100 колец. Но в условии задачи дано 128 колец. Значит, с больших пирамид мы сняли 128 - 100 = 28 колец. С каждой большой пирамиды сняли по 2 кольца, отсюда получаем 28 : 2 = 14 пирамид.

Ответ: 14 больших пирамид.

Задача 2. Старинная задача (Китай). В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.

Решение.

Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 35 ∙ 2 = 70 (ног). Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов. Сколько их? 94 - 70 = 24 (лапы). Значит, 24 : 2 = 12 кроликов, а фазанов 35 - 12 = 23.

Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.

Решим задачи № 363 -372 на стр. 113 - 114 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

5. Комбинаторные задачи.

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение.

Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 2 и, наконец, с цифры 7:

11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77.

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Задача 2. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы - «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

Решение.

Слова удобно выписывать в алфавитном порядке. Сначала запишем слова, начинающиеся с буквы «а», потом слова, начинающиеся с буквы «у»:

ааа, аау, ауа, ауу, уаа, уау, ууа, ууу.

Получилось 8 слов, и каждое из них состоит из 3 букв.

Решим задачи № 373 -376 на стр. 115 - 116 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

6. Дерево возможных вариантов.

Рассматривая комбинаторные задачи, для каждой из них искали свой способ перебора всех возможных вариантов решения. Однако существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернёмся к задаче 1 из п. V. Для её решения построена специальная схема.

П

7

4

1ервая цифра

В

7

1

1

7

1

7

4

4

4торая цифра

Полученное число 11 14 17 41 44 47 71 74 77

Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трёх цифр составить невозможно.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева - различные варианты решения.

Задача 1. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. В справочном бюро они получили следующие сведения: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву - на самолёте, теплоходе, поезде или автобусе. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие?

Решение.

Изобразим все возможные способы совершить путешествие при помощи дерева. При построении дерева использованы следующие обозначения: Т - теплоход, П - поезд, С - самолёт, А - автобус.

В

*ОЛГОГРАД

Н

Т

ПИЖНИЙ НОВГОРОД

М

С

Т

П

А

С

Т

П

АОСКВА

Вариант: ТС ТТ ТП ТА ПС ПТ ПП ПА

Таким образом, имеется 8 возможных способов добраться из Волгограда в Нижний Новгород и затем в Москву. Из них ребята могут выбрать способ, подходящий по времени и по стоимости.

Задача 2. В палатке имеется три сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо. Наташа и Данила решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки?

Решение.

Для ответа на вопрос используем дерево возможных вариантов.

Б

Р

Э

Выбор Наташи

В

Б

Р

Э

Б

Р

Э

Б

Р

Эыбор Данилы

Варианты покупки ББ БР БЭ РБ РР РЭ ЭБ ЭР ЭЭ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Наташа может выбрать любой из трёх сортов: брикет, рожок или эскимо. Данила также может выбрать любой из трёх сортов. Таким образом, имеется 9 вариантов покупки мороженого.

С помощью того же дерева можно узнать число вариантов покупки мороженого и в других случаях.

Задача 3. Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом?

Решение.

Первым может быть любой из ребят. Пусть первой будет Наташа. Тогда вторым может быть Данила или Андрей. Если вторым будет Данила, то третьим - Андрей. Если вторым будет Андрей, то третьим - Данила. На приведённой схеме это первые два способа занять очередь.

П

Н

Д

Аервый

Д

А

Н

А

Н

Д

Второй

А

Д

А

Н

Д

Н

Третий

Вариант: Н, Д, А Н, А, Д Д, Н, А Д, А, Н А, Н, Д А, Д, Н

1 2 3 4 5 6

Таким образом, у ребят всего 6 различных вариантов очереди.

Используя ту же схему, ответьте на следующие вопросы:

а) Наташа предпочитает бросать второй. Какие из перечисленных выше вариантов занять очередь для этого подходят?

б) Андрей хочет бросать за Данилой. Какие из перечисленных выше вариантов удобны для него?

Решим задачи № 377 -400 на стр. 120 - 124 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

7. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

Нахождение дроби от числа

Нахождение числа по его дроби

Задача 1. Расстояние между двумя сёлами 24 км. За первую неделю бригада заасфальтировала этого расстояния. Сколько километров заасфальтировали?

Задача 2. За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км, что составило расстояния между двумя сёлами. Каково расстояние между двумя сёлами?

Решение. Узнаем сначала, сколько километров составляет расстояния:

24 : 8 5 = 15 (км).

Запишем иначе:

24 : 8 5 = 5 = = 24 ∙ .

Для нахождения дроби от числа можно число умножить на данную дробь.

Решение. Узнаем сначала, сколько километров приходится на расстояния:

15 : 5 ∙ 8 = 24 (км).

Запишем иначе:

15 : 5 ∙ 8 = 8 = = 15 ∙ = 15 : .

Для нахождения числа по его дроби, можно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Решим задачи № 240 -266 на стр. 205 - 208 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

8. Задачи на совместную работу.

Задача 1. Один ученик может убрать класс за 20 мин, а другой - за 30 мин. За сколько минут, работая вместе, они могут убрать класс?

Решение.

Мы предполагаем, что учащиеся работают одинаково хорошо и не мешают друг другу. Первый ученик может убрать класс за 20 мин, значит, в минуту он убирает класса. Второй ученик может убрать класс за 30 мин, значит, в минуту он убирает класса. Вместе они за минуту уберут

= (класса). Всего в классе 12 таких частей, поэтому весь класс учащиеся уберут за 12 мин. Этот результат можно получить делением:

1 : = 12 (мин).

Ответ: за 12 минут.

Задача 2. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую - за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?

Решение.

Нетрудно видеть, что условия этой задачи и предыдущей отличаются лишь сюжетом, поэтому во второй задаче ответ легко предсказать: за 12 часов. Запишем её решение по действиям:

1. 1 : 20 = (басс.) - наполнится через I трубу за 1 ч;

2. 1 : 30 = (басс.) - наполнится через II трубу за 1 ч;

3. = (басс.) - наполнится через I и II трубы за 1 ч;

4. 1 : = 12 (ч) - время наполнения бассейна через I и II трубы.

Ответ: за 12 часов.

Задача 3. Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч. Однажды грузовая и легковая машины одновременно выехали навстречу друг другу из этих городов и встретились через 12 ч. За сколько часов легковая машина проехала всё расстояние между городами?

Решение.

1. 1 : 30 = (расст.) - проезжает грузовая машина за 1 ч;

2. 1 : 12 = (расст.) - сближаются обе машины за 1 ч;

3. (расст.) - проезжает легковая машина за 1 ч;

4. 1 : = 20 (ч) - за это время легковая машина проедет расстояние между двумя городами.

Ответ: за 20 часов.

Решим задачи № 267 -279 на стр. 210 - 212 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

9. Разные задачи на дроби.

Решим задачи № 280 -295 на стр. 212 - 214 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

10. Случайные события.

Возможно или невозможно.

Вы, наверное, не раз слышали или сами говорили: «Это возможно», «Это невозможно», «Это обязательно случится» или «Это маловероятно». В каких случаях мы так говорим?

Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти. Например, если на небе собрались тучи, то дождь может пойти, но может и не пойти. Поэтому мы и говорим: «Возможно, пойдёт дождь».

В коробке лежат 5 конфет в синей обёртке и 1 в белой. Не глядя в коробку, наугад надо вынуть одну конфету. Можно сказать заранее, какого она будет цвета? Конечно, нет. Может произойти одно из двух случайных событий: «вынута конфета в синей обёртке» или «вынута конфета в белой обёртке». Однако скорее всего это будет синяя конфета, потому что в коробке синих конфет больше, чем белых.

Учитель предупредил, что тому, кто не выполнит домашнее задание, он поставит двойку. Однако Андрей пришёл на урок, не сделав домашнее задание. Поэтому событие «Андрей получит двойку» обязательно произойдёт, т.е. заранее можно сказать, что Андрей вернётся домой с двойкой.

«Счастливый случай!», «Мне выпал счастливый шанс!» Когда люди употребляют эти выражения? Обычно так говорят, если происходит очень редкое, почти невозможное событие. Например, ты купил всего один лотерейный билет и выиграл 5 миллионов. Или ты отправился на рыбалку, и каждый раз, когда бросал удочку, на неё попадалась большая рыба.

Решим задачи № 296 -299 на стр. 215 - 216 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

11. Случайные события.

Достоверные, возможные и невозможные случайные события.

Пример 1. В непрозрачном пакете лежат 5 красных и 5 жёлтых яблок. Из пакета наугад вынули один предмет.

Какое из следующих событий при этом может произойти: а)вынутый предмет будет красным яблоком; б) вынутый предмет будет жёлтым яблоком; в) вынутый предмет будет зелёным яблоком; г) вынутый предмет будет яблоком; д) вынутый предмет будет лимоном?

Очевидно, что из данного пакета можно вынуть только тот предмет, который в нём лежит. Значит, возможно вынуть красное или жёлтое яблоко. Можно также сказать, что любой предмет, вынутый из данного пакета, будет обязательно яблоком, так как кроме яблок в нём ничего нет. В то же время из пакета невозможно вынуть предмет, которого там нет. Значит, невозможно вынуть, например, зелёное яблоко или лимон.

События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными. Например, в нашем случае достоверным является событие «вынутый предмет - яблоко».

События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными. В рассмотренном примере это события «вынуто зелёное яблоко» и «вынут лимон».

События, которые при данных условиях иногда происходят, а иногда не происходят, называют возможными или случайными. В рассмотренном примере к ним относятся такие события, как «вынуто красное яблоко» и «вынуто жёлтое яблоко».

Сравним возможность наступления двух случайных событий «вынуто красное яблоко» и «вынуто жёлтое яблоко». Будет ли одно из них происходить чаще, чем другое? Можно ли сказать, что яблоко, вынутое наугад из пакета, скорее будет красным, чем жёлтым?

Нет, это утверждение будет неверным. Число красных и жёлтых яблок в пакете одинаково, поэтому имеются равные возможности вынуть красное яблоко или жёлтое яблоко. Такие события называют равновероятными или равновозможными.

Вероятность наступления случайного события зависит от условий, в которых оно рассматривается. Например, возможность наступления события «В мае в городе пойдёт снег» зависит от того, где расположен город. Так, на севере России, в Мурманске, в мае снег выпадает часто. А на юге, например в Сочи, в мае снег почти никогда не выпадает. Поэтому событие «В мае в городе пойдёт снег» для Мурманска является более вероятным, чем для Сочи.

Умение оценивать вероятность наступления событий очень полезно, например, при решении вопроса, стоит ли участвовать в лотерее или вступать в игру.

Пример 2. Наташа предложила Даниле сыграть в следующую игру. Каждый из них по очереди бросает игральный кубик, на котором написаны числа 1, 2 и 3. Если выпадает нечётное число, то 1 очко получает Наташа; если чётное число, то очко получает Данила. Первый, кто наберёт 30 очков, считается победителем. Можно ли назвать эту игру справедливой? Будут ли у участников равные шансы выиграть?

У кубика 6 граней. На четырёх из них написано нечётное число (1 или 3) и только на двух - чётное число (число 2). Поэтому можно заранее сказать, что при бросании такого кубика чаще будет выпадать нечётное число. Значит, предложенное Наташей правило игры даёт ей больше возможностей выигрывать очки, чем Даниле. Если следовать этому правилу, то у ребят явно неравные шансы выиграть. Такая игра является несправедливой.

Решим задачи № 300 -309 на стр. 218 - 222 в учебнике «Математика 5» Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, М., Просвещение, 1994 г.

16