Банковская задача на % (материалы к ЕГЭ по математике) 10 - 11 класс

Банковская задача на %

"Немножко странно, но интересно" (материалы ЕГЭ по математике). 10-11-й класс

С 2015 года экзамен по математике стал двухуровневым. В экзаменационную работу для профильного уровня входит "банковская" задача (№17).

Предлагаю решения некоторых "банковских" задач.

Тексты задач взяты из сборника: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. - Москва: АСТ: Астрель, 2016 [1].

Предполагается использование данного материала во внеклассной работе по математике с учащимися 10-11 классов.

Задача №1

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).

2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

1 200 0000,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 0000,01 =

= 0,01(1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) =

= 120,01=11 100 0000,01=111 000 (руб.).

3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) - сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 711 000 рублей

Задача №2

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2) Пусть Р - сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 933 000 = 12Х + Р.

Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х) 0,03 = 120,03 = 37Х0,18 = 6,66Х;

933 000 = 12Х + 6,66Х;

933 000 = 18, 66Х;

Х = 50 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.

3) 50 000 12 = 600 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.

(12Х + 11Х + ... + Х) 0,03 = 120,03 = 13Х0,18 = 2,34Х;

2,2450 000=117 000 (руб.)

4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) - сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.

Ответ: 717 000 рублей

Задача №3

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2) Пусть Р - сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 798,75 = 12Х + Р.

Р = (12Х+11Х+...+Х) 0,01 = 120,01 = (12Х + Х) 0,06 = 0,78Х;

798 750 = 12Х + 0,78Х; 798 750 = 12,78Х; Х = 62 500.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.

3) 62 50012 = 750 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение первого года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

(24Х + 23Х + ... +13Х) 0,01 = 120,01 = 3760,01Х = 2,2262 500 = 138 750 (руб.)

4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) - сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 888 750 рублей

Задача №4

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без %).

2) Пусть Р - сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12Х + Р.

Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х)0,03=120,03=(24Х + 13Х)0,18 = 6,66Х;

1 399 500 = 12Х + 6,66Х;

1 399 500 = 18, 66Х;

Х = 75 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.

3) 75 00024 = 1 800 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.

Ответ: 1 800 000 рублей

Задача №5

15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2). Пусть Р - сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12Х + Р.

Р = (12Х + 11Х +...+ Х)0,02 = 120,02 = 13Х 0,12 = 1,56Х;

1 695 000= 12Х + 1,56Х;

1 695 000 = 13, 56Х;

Х = 125 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.

3) 125 00024 = 3 000 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.

Ответ: 3 000 000 рублей

Задача №6

15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (9Х) рублей (без процентов).

2) Пусть р - сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.

Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р.

За пять месяцев сумма кредита составит (5Х) руб.

На пятый месяц проценты составят р = 5Х0,02 = 0,1Х (руб.).

Тогда 44 000 = Х + 0,1Х; 44 000 = 1,1Х;

Х = 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).

Сумма кредита составляет 40 0009 = 360 000(руб.)

3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:

(9Х + 8Х +...+ Х) 0,02 = 90,02 = 10Х0,09 = 0,9Х;

0,940 000 = 36 000(руб.)

4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) - сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 396 000 рублей

Задача №7

15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

- 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.

Найдите a.

Решение

+++=+, 1+0,01a0.

20736+++= 35136+;

+--14400 = 0. Пусть 1+0,01a = х;

+--14400 = 0;

20736(1+х) - 14400х²(1+х) = 0;

(1+х)(20736 - 14400 х²) = 0;

1+х = 0

20736 - 14400 х² = 0;

х² = 1,44;

х = -1

х₁ = - 1,2,

х₂ =1,2.

1) 1+0,01a = -1;

2) 1+0,01a = - 1,2;

3) 1+0,01a =1,2;

0,01a = -2;

0,01a = - 2,2;

0,01a = 0,2;

а = -2 (не имеет смысла).

а = - 220.(не имеет смысла).

а = 20

Ответ: 20%

Использована формула [2]: если вклад на Х рублей полностью расходуется за n ежегодных выплат, равных v₁ ,v₂ ,..., v_n , осуществлённых после начисления р % по вкладу, то

Х = ++...+.

Задача №8

15 июля взяли кредит в банке. Условия его возврата были таковы:

- 1-го января каждого года долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата части долга происходит с февраля по июнь каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен двумя равными платежами по 4 548 600 рублей (то есть за два года). Какую сумму банк выдал в кредит?

Решение

Х = + = + = 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (руб.)

- сумма, которую банк выдал в кредит.

Ответ: 7 490 000 рублей

Задача №9

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 6 902 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- 1-го января каждого года долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата части долга происходит в январе каждого года равными суммами после начисления процентов.

Какую сумму нужно возвращать банку ежегодно, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение

Х = +++; 6902000 = v(+++);

6 902 000 = v ; 6 902 000 = v;

v = =3506 561 = 2 296 350 (руб.) - сумма, которую нужно возвращать банку ежегодно.

Ответ; 2 296 350 рублей

Задача №10

15 января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

- 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз - 550 тыс. рублей.

Найдите a.

Решение

1 000 000 = +; 20 = +; 20(1+0,01a)² - 12(1+0,01a) - 11 = 0.

Введём новую переменную: 1+0,01a = х и решим уравнение 20х² - 12х - 11 = 0. D = 1024 = 32².

х₁ = - 0,5

х₂ = 1,1,

1). 1+0,01a = -0,5;

2). 1+0,01a = 1,1;

0,01a = -1,5;

0,01a = 1,1;

a = -150 (не имеет смысла).

a = 10.

Ответ: 10%

Список литературы

1. ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. - Москва: АСТ: Астрель, 2016. - 135 с. - (Государственная итоговая аттестация).

2. Математика. ЕГЭ. 2015. Книга II. Профильный уровень / Д. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д. А.; М.: Народное образование, 2015. - 412 с.