Задачи для подготовки к ЕГЭ-2016 по стереометрии повышенного уровня сложности

Ваганова А.С.

Задачи типа С2.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е - середина ребра А₁В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDD₁. Ответ:

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е - середина ребра А₁В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDC₁. Ответ:

3. В правильной шестиугольной призме А…F₁, все рёбра которой равны 1, точка G-середина ребра А₁В₁. Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BDD₁. Ответ:

4. В правильной треугольной призме A…С₁, все рёбра которой равны 1, точки D,Е - середины рёбер соответственно А₁В₁ и А₁С₁. Найдите тангенс угла между плоскостями АDE и BCC₁. Ответ:

5. В правильной шестиугольной пирамиде SАBCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые стороны равны 2, найдите синус угла между прямыми AL и BM, где M- середина ребра SC, L- середина ребра SB. Ответ:

6. В правильной треугольной пирамиде SABC c основанием АВС проведено сечение через вершину S и середины рёбер АВ и ВС. Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAC, если все рёбра пирамиды равны 6. Ответ: 2.

7. В правильной шестиугольной пирамиде SАBCDEF сторона основания равна 1, боковое ребро равно 2. Найдите угол между плоскостями АВS и SDC. Ответ: arccos

8. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах АВ и АС выбраны точки М и К соответственно так, что треугольник АМК подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия . На прямой МК выбрана точка Е так, что МЕ:ЕК=7:9. Найти расстояние от точки Е до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота равна . Ответ:

9. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S, со стороной основания и боковым ребром 5 найти угол между прямой АВ и плоскостью, проходящей через середины ВС и DC и вершину S. Ответ: arcsin .

10. Cфера с центром О вписана в прямоугольный параллелепипед А…D₁. Найдите угол между прямыми В₁О и ВК, где К-середина DC. Ответ: arcsin