Преподавателю
Математика
Выступление на коференции Мир вокруг нас

Выступление на коференции Мир вокруг нас

Раздел	Математика
Класс	-
Тип	Другие методич. материалы
Автор	Самойлова Э.Ю.
Дата	27.12.2015
Формат	doc
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

КОММУНАЛЬНОЕ ВНЕШКОЛЬНОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

«Донецкая областная малая академия наук учащейся молодежи»

Отделение: математика

Секция: прикладная математика

Многогранный мир геометрии

Работу выполнила:

Мисько Юлия Владимировна,

ученица 10-У класса

Донецкой общеобразовательной школы І-ІІІ ступеней № 26

Научный руководитель:

Учитель математики высшей категории, старший учитель

Самойлова Элеонора Юрьевна

Донецьк-2015

ЗМІСТ

……………… ………………………………………..…… 14

ВСТУП

Людина проявляє інтерес до багатогранників упродовж усього свідомого життя. Світом краси і гармонії ми називаємо правильні багатогранники. Адже протягом всієї історії людства ці багатогранники захоплювали симетрією та досконалістю форм. «Правильних багатогранників зухвало мало, - написав колись Л. Керролл-, але цей досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися до самих глибин різних наук». Великі вчені і філософи займалися вивченням багатогранників, намагалися зв'язати ці геометричні тіла з гармонією, з природою.
Я поставила собі таке питання: багатогранники навколо нас чи ми всередині багатогранника?
Для вирішення цього питання я провела наступні дослідження:
- поняття багатогранника, види багатогранників;
- зв'язок зі стихіями. Платонові тіла;
- дослідження властивостей багатогранників вченими;
- багатогранники в природі;
- диво природи - кристали;
- багатогранники в біології;
- багатогранники в мистецтві;
- багатогранники в архітектурі. Золоте січення.

ПОНЯТТЯ БАГАТОГРАНИК. ВИДИ БАГАТОГРАННИКІВ

Отже, що ж таке багатогранник? Багатогранник - частина простору, що обмежена сукупність кінцевого числа плоских многокутників. Багатогранники зустрічаються досить в широкому спектрі наук: хімії (будови молекулярних решіток атомів), геології (форми мінералів, порід), у спорті (форма м'ячі), в географії (Бермудський Трикутник). Багато іграшок зроблено у формі багатогранників - відомий Кубик - Рубик, гральні кістки, піраміди і різні головоломки.

Дослідженням властивостей багатогранників займалися великі вчені і філософи - Платон, Евклід, Архімед, Кеплер.

Багатогранники мають красиві форми, наприклад, правильні (5 многогранників - «Тіла Платона»)(мал..1), напівправильні (13 багатогранників - «Тіла Архімеда») (мал..2),та зірчасті (4 багатогранника - «Тіла Кеплєра - Пуансо») (мал..3).

Назви правильних багатогранників прийшли з Греції. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаэдр", "додекаедр", "ікосаедр" означають: "чотиригранник", "восьмигранник", "шестигранник", "дванадцятигранник", "двадцятигранник". Для цих гарних тіл присвячена 13-та книга "Начал" Евкліда. Яка ж мала їх кількість і чому їх саме стільки. А скільки? Виявляється, рівно п'ять - ні більше, ні менше. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого багатогранного кута.

Насправді, для того щоб отримати який-небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути менше 360 градусів, інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде. Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60К < 360, 90К < 360 і 108К < 360, можна довести, що правильних многогранників рівно п'ять (К - число плоских кутів, що сходяться в одній вершині багатогранника).

ЗВ'ЯЗОК ЗІ СТИХІЯМИ. ПЛАТОНОВІ ТІЛА

Правильні багатогранники ще називають тілами Платона, оскільки вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про устрій світобудови. Чотири багатогранника уособлювали в ньому чотири сутності "стихії". Гармонійні відносини стародавні греки вважали основою світобудови. Існування тільки п'ятьох багатогранників вони відносили до будови матерії і всесвіту. Піфагорійці, а потім і Платон, вважали, що матерія складається з 4 основних елементів: земля, повітря, вогонь, вода.(мал..4).

Тетраедр символізував вогонь, так як його вершина спрямована вгору. Куб означав землю, оскільки він «найстійкіший». Октаедр - повітря, як «повітряний». Ікосаедр - воду, так як він «найобтічний». П'ятий багатогранник, додекаедр, символізував увесь світ. Він вважався головним, втілював у собі «все суще».(мал..5)

З давніх часів ці п'ять правильних геометричних тіл символізували «Гармонію Всесвіту». Особливу роль при цьому відігравав додекаедр - правильний 12-гранник, гранями якого є правильні п'ятикутники («пентаграми»), засновані на Золотому Перетині.

Згідно з магічною числовою символікою додекаедра (12 граней, 60 кутів і 30 ребер), яка відображала числову гармонію циклів Юпітера та Сатурна, стародавні єгиптяни прийшли до думки розбити рік на 12 місяців, кожен з яких містив рівно 30 днів, а рік складався з 365 днів. В кінці року додавалося п'ять святкових днів, які не входили до складу місяців.

Такий був єгипетський календар, створений у четвертому тисячолітті до н.е.
На мікроскопічному рівні додекаедр й ікосаедр є відносними параметрами ДНК, за якими побудоване все життя. Молекула ДНК являє собою обертовий куб.
При повороті куба послідовно на 72° з певної моделі виходить ікосаедр, який, у свою чергу, складає пару додекаэдру. Таким чином, подвійна нитка спіралі ДНК побудована за принципом двосторонньої відповідності: за ікосаедром слідує додекаедр, потім знову ікосаедр, і так далі.

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ БАГАТОГРАННИКІВ ВЧЕНИМИ

Важливе місце займали правильні багатогранники в системі гармонійного устрою світу В. Кеплера. Все та ж віра в гармонію, красу і математично закономірний устрій світобудови призвела В. Кеплера до думки про те, що оскільки існує п'ять правильних багатогранників, то їм відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет пов'язані між собою вписаними в них Платоновими тілами. Оскільки для кожного правильного багатогранника центри вписаного й описаного сфер збігаються, то вся модель буде мати єдиний центр, в якому знаходитиметься Сонце.

Проробивши величезну обчислювальну роботу, у 1596 р. В. Кеплер у книзі "Таємниця всесвіту" опублікував результати свого відкриття. (мал..6,7)

Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр. Цей октаедр вписаний у сферу Венери, навколо якої описано ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний у сферу Марса, навколо якої описано тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, що вписана в куб. Нарешті, навколо куба описана сфера Сатурна.
Відомий математик Л. Ейлер одержав формулу В + Г- Р=2, яка пов'язує число вершин, граней і ребер будь-якого багатогранника. Простота цієї формули полягає в тому, що вона не пов'язана ні з відстанню, ні з кутами. Для знаходження кількості граней, вершин і ребер правильного багатогранника використовуємо формули. Після цього неважко заповнити таблицю, в якій наведено відомості про елементи правильних багатогранників.

Отже, правильні багатогранники відкрили нам спроби вчених наблизитися до таємниці світової гармонії і показали чарівну привабливість геометрії.

БАГАТОГРАННИКИ В ПРИРОДІ. ДИВО ПРИРОДИ - КРИСТАЛИ

Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Підтвердженням тому служить форма деяких кристалів. Взяти хоча б кухонну сіль, без якої ми не можемо обійтися. Відомо, що вона розчинна у воді, служить провідником електричного струму. А кристали кухонної солі мають форму куба. (мал..8,9)

БАГАТОГРАННИКИ В БІОЛОГІЇ

У книзі німецького біолога Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки:
"Природа вигодовує на своєму лоні невичерпну кількість дивовижних створінь, які за красою і різноманітності далеко перевершують всі створені мистецтвом людини форми".

Дійсно, побудовані бджолами соти строго паралельні, відстані між ними витримуються з дивовижною постійністю. Бджолині комірки являють собою шестигранні геометричні фігури.

Ікосаедр опинився в центрі уваги біологів, у їх спорах щодо форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилося, що лише один багатогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр.(мал..10)

Правильні багатогранники зустрічаються в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарії за формою нагадує ікосаедр. Більшість феодарий живуть на морській глибині і служать здобиччю коралових рибок. Але найпростіша тварина захищає себе дванадцятьма голками, що виходять з 12 вершин скелета. Він більше схоже на зірчастий багатогранник.

Чим же викликана така природна геометризація феодарій? Мабуть, тим, що з усіх багатогранників, з тим самим числом граней, саме ікосаедр має найбільший обсяг при найменшій площі поверхні. Це властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі.

БАГАТОГРАННИКИ В АРХІТЕКТУРІ ДОНЕЦЬКА

Наука геометрія виникла з практичних завдань. Її пропозиції висловлюють реальні факти і знаходять численні застосування. В основі всієї техніки так чи інакше лежить геометрія, тому що вона з'являється всюди, де потрібна хоча б найменша точність визначення форми і розмірів. Техніку, інженеру та кваліфікованому робітникові й людям мистецтва геометрична уява необхідна, як геометру або архітектору.
Математика, зокрема геометрія, являє собою могутній інструмент пізнання природи, створення техніки і перетворення світу. Це може здатися дивним, але слово «піраміда» аж ніяк не визначає тривимірний трикутник, і при цьому його корінь навіть, не єгипетський. Слово «піраміда» складене з грецького слова "pyra" в значенні вогню, світла.

Тілесна фігура, обмежена площинами, які від однієї площини (основи) сходяться до однієї точки (вершини). Фігура, обмежена трикутниками, що сходяться в одній точці, і основою якої служить багатокутник. Багатогранник, у якого всі грані, крім однієї, сходяться в одній точці.

У III столітті до н.е. був побудований маяк, щоб кораблі могли щасно минути рифи на шляху до олександрійської бухти. Вночі їм допомагало відображення мов полум'я, а вдень - стовп диму. Це був перший в світі маяк, і простояв він 1500 років.

Фароський маяк складався з трьох мармурових веж. Перша була прямокутною, у ній знаходилися кімнати, в яких жили робітники і солдати. Над нею менша, восьмикутна башта зі спіральним пандусом, що вів до верхньої вежі. Верхня вежа формою нагадувала циліндр, у якому горів вогонь, що допомагав кораблям благополучно досягти бухти. Загальна висота маяка становила 117 метрів.
А чи є взагалі математика в архітектурі? Звичайно. Досить поглянути на будівлі, і ми відразу побачимо знайомі геометричні фігури: паралелепіпед, трикутні фронтони, напівкруглі і прямокутні вікна... І це лише мала частина геометричних фігур, які радують око при погляді на красиві будівлі нашого міста Донецька. (мал..11,12)

ЗОЛОТЕ СІЧЕННЯ

Людина розрізняє навколишні предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого січення - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.

Золоте січення - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як більша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього: a : b = b : c. Золоте січення не можна розглядати окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий переріз одним із проявів симетрії.,

Золоте січення не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії. Згідно з сучасними уявленнями, золоте січення - це асиметрична симетрія. До науки про симетрію ввійшли такі поняття, як статична ій динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення та воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.

Все, що набувало якусь форму, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному в двох варіантах - зростання вгору або розстелення на поверхні землі й закручування по спіралі. Морська раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, яка трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Уявлення про золотий січення буде неповним, якщо не сказати про спіраль. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, що накреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірно. На даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.
Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спиралевидне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, в шишках сосни, ананасах, кактусах і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці насіння соняшника, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого січення. Павук плете павутиння спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривою життя».

ЗОЛОТЕ СІЧЕННЯ НА ФОТОГРАФІЯХ ДОНЕЦЬКА. МОЄ ДОСЛІДЖЕННЯ

Ще з дитинства мене цікавила фотографія. Мені подобалося фотографувати та щоб мене фотографували. Тож коли мені виповнилося 12 років, батьки подарували професійний фотоапарат. З тих пір я фотографую все, що на мій погляд дійсно цікаве та незвичайне. Прочитавши багато літератури про фотографію, я дізналася, що вона на пряму пов'язана з математикою. Виявляється, що золоте січення можна знайти майже на кожній фотографії. Тож ,не на жарт зацікавившись цим, я спробувала знайти це відношення на моїй фотографії міста Донецька.

Я поділила кадр на три рівні частини по горизонталі та вертикалі. Вийшла сітка, яку ви можете бачите на фотографії. Правило золотого січення основане на тому, що об'єкти, які розташовані у місцях пересічення ліній, відповідають найкращому зоровому сприйняттю. Таким чином, дуже важливо, щоб важливий об'єкт знімання знаходився або вздовж, або в точках пересічення цих ліній.

ЗАВЕРШЕННЯ

При роботі над проектом «Багатогранний світ геометрії» ми доторкнулися до дивовижного світу краси, досконалості, гармонії, дізналися імена вчених, художників, які присвятили цьому світу свої праці, що є шедеврами науки і мистецтва.

Вченими досить добре вивчені правильні опуклі багатогранники, доведено, що існує всього п'ять таких видів багатогранників, але чи сама людина їх винайшла? Швидше за все - ні, вона «підгледіла» їх у природи.

Витоки математики ─ в природі, що оточує нас. «Природа говорить мовою математики; літери цієї мови - кола, трикутники та інші математичні фігури»,- сказав Галілео Галілей. Під словами «інші математичні фігури» ми маємо на увазі правильні багатогранники.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ