Методическая разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений

Методическая разработка урока по алгебре

«Решение тригонометрических уравнений»

Цель урока: формирование навыков решения тригонометрических уравнений.

Задачи:

1. Классифицировать уравнение по методам решения и уметь их решать, ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени, расширить представления учащихся о методах и приемах решения тригонометрических уравнений.

2. Развить математическое мышление, культуру и логику рассуждений, умение самостоятельно приобретать новые знания и использовать уже полученные для решения более сложных задач, уметь обобщать и систематизировать изученный материал.

3. Развить навыки самостоятельной работы, воспитать познавательный интерес к предмету, уметь рационально распределять время,

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование:

мультимедиа-проектор, ноутбук, интерактивная доска, оценочные листы для каждого учащегося,флипчарты для устной работы

Основные понятия: arcsina ,arccosa ,arctga -обратные тригонометрические функции,простейшие тригонометрические уравнения , однородные тригонометрические уравнения.

План урока

I.Организационный момент.Постановка цели и задач урока.-1 мин.

II Актуализация опорных знаний. -7мин .

1.Фронтальный опрос.

2.Индивидуальная работа у доски

III.Изучение нового материала.-15 -17мин

IV.Закрепление

1.Заполнение таблицы(классификация уравнений по методам решения) 5 мин

2.Самостоятельная работа- решение разноуровневых заданий 10мин

Взаимопроверка -1-2 мин.

VI.Рефлексия .Подведение итога урока.2 мин.

VII. Домашнее задание -1 мин.

Ход урока

I.Организационный момент.Сообщение темы ,постановка цели и задач урока.

Решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства мы уже научились. Сегодня мы попробуем научиться решать более сложные тригонометрические уравнения. Для этого требуется знание тригонометрических формул и знание способов решения алгебраических уравнений (например, квадратных уравнений и неполных квадратных уравнений).

II. Актуализация опорных знаний

1.Фронтальный опрос.

1) Что называют arcsin α , arccos α, arctg α, arcctg α.

2) Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a

3) В каких случаях уравнения имеют частное решение.

4) В каких случаях уравнения не имеют решения.

5) Что общего и в чем различие между функциями sin и cos, tg и ctg.

2.Работа у доски На доске 1 обучающийся выполняет следующее задание: к данным простейшим уравнениям найдите правильное соответствующее решение

1 sin x = a А x = ± arccos a + 2πn

2. cos x = a Й

3. tg x = a С x = 2πn

4. ctg x = a Ж x = (-1)ⁿarcsin a + πn

5. sin x = 1 Ы

6. cos x = 1 P x = arctg a + πn

7. sin x = -1 Ң x = π + 2πn

8. cos x = - 1 ! x = πn

9. sin x = 0 А x = arcctg a + πn

Зашифрованное слово- ЖАРАЙСЫҢ!

7) На флипчарте предлагаются уравнения, которые нужно классифицировать по видам. Выполнить анализ предложенных уравнений и для каждого уравнения определить метод решения. Решить те тригонометрические уравнения, которые умеете решать. Простейшие тригонометрические уравнения решают в тетради и на доске.

Предложенные уравнения классифицировать по видам и методам решения

а) 5х-15=0

б) х²-5х=6

в) 2sin²x + sin x - 1 = 0

г) sin2x = -1

д) 9х²- 16 = 0

е) 8sin²x + cosx + 1 = 0

ж)

з) 2sin x cos 5x - cos 5x = 0

и) sin x + cos x = 0

к) х² - 8х - 20 = 0

л) 3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

м) cos 3x = 0

н)

o) sin 2x - cos x = 0

Решение простейших тригонометрических уравнений

1 балл

Sin 2x = - 1 cos 3x = 0

Решение: Решение:

2 балла

Проводится взаимопроверка. Ответы спроецированы на доске . Называются критерии оценки.

III. Изучение нового материала

1) В ходе проверки групповой работы обучающиеся увидели, что не все уравнения умеют решать .Нерешенные тригонометрические уравнения выписаны в таблицу , которую обучающиеся заполнят после их решения.(см.таблицу )

2) Выявление проблемы. Организуется работа по выявлению общих методов решения уравнений.

3) Исследовательская работа. Предлагается решить тригонометрические уравнения, применяя общие методы решения уравнений. Знакомство со специфическими методами - решение однородных уравнений. Дать определение однородных уравнений.

Метод замены переменных:

2sin²x + sin x - 1 = 0

sin x = z

2z² + z - 1 = 0

D = 9

z₁ = - 1; z₂ = 1/2

8sin²x + cos x + 1 = 0

sin²x = 1 - cos²x

8(1 - cos²x) + cos x + 1 = 0

- 8cos²x + cos x + 9 =0

cos x = z

- 8z² + z + 9 = 0

D = 289

z₁ = - 1; z₂ = 9/8

cos x = -1; cos x = 9/8

x = π + 2πn, nЄZ нет решения

Метод разложения на множители

2sin x cos5x - cos5x = 0

cos5x (2sin x - 1) = 0

cos5x = 0 2sin x - 1 = 0

2sin x = 1

sin x + cos x = 0

3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

Эти уравнения не можем решить методами вынесения общего множителя или заменой переменных. Эти уравнения называются однородными I и II степени.

Записываем определения однородных уравнений

Уравнения вида

a sin x + b cos x = 0 , а≠0, b≠0

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0

называются однородными уравнениями I и II степени.

Поделим обе части уравнения на cos x(или на sin x). Предварительно докажем, что cos x≠0 (или sin x≠0). Пусть cos x = 0 тогда sin x = 0. Но этого не может быть, т.к. (sin²x + cos²x=1). Значит можно делить на cos x. Однородное уравнение II степени решаем, соответственно поделив обе части на cos²x(или на sin²x).

Решаем уравнения:

1) sin x + cos x = 0

tg x + 1 = 0 , tg x = - 1

2) 3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

3tg²x + tg x = 2

3tg²x + tg x - 2 = 0

tg x = z

3z² + z - 2 = 0

D = 25

z₁ = -1 ; z₂ = 2/3

tg x = -1; tg x = 2/3

; .

Вопросы для исследования:

- Какой вид примет уравнение, если обе части разделить на sinα (sin²α)?

- Какой вид примет уравнение, если коэффициент а = 0, с = 0 ?

- Каким способом нужно решать в данных случаях?

Вывод: делают сами обучающиеся , формулируют

алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений

1. Определить, значения х, при которых cosх = 0 или sinх = 0, не являются решением уравнения.

2. Привести уравнение к одной тригонометрической функции. Разделить обе части уравнения на косинус или синус степени уравнения.

3. Произвести замену переменной.

4. Решить равносильное алгебраическое уравнение.

5. Произвести обратную замену.

6.Решить простейшее тригонометрическое уравнение

IV Заполнение таблицы. Классифицировать уравнения по методам решения

V. Самостоятельная работа -решение разноуровневых заданий

I вариант

a) 1 балл

3sin x - 4cos x = 0

б) 2 балла

2sin²x - 5sin x cos x + 3cos²x = 0

в) 3 балла

sin 2x = 2cos²x

II вариант

а) 1 балл

sin x - √3cos x = 0

б) 2 балла

2sin²x + 3sin x cos x + cos²x = 0

в) 3 балла

sin 2x = sin²x

Проверка с помощью слайдов. Обучающиеся проводят взамоконтроль, отмечают баллы в оценочном листе.

VI.а)Рефлексия .Подведение итога урока, оценивание деятельности каждого обучающегося по оценочным листам.Выставление оценок за заработанные баллы.Обучающиеся высказывают свою оценку деятельности на уроке, определяют свой уровень усвоения материала

б) Домашнее задание.

Учебник Абылкасымовой А.-10 класс, №.113(а,в), 115(а,в),117(а.в)

Приложение1

Заполнить таблицу после решения уравнений (этап изучения нового материала)

Тригонометрические уравнения

Метод решения

2sin²x + sin x - 1 = 0

8sin²x + cos x + 1 = 0

2sinxcos5x - cos5x = 0

sin x + cos x = 0

3sin²x + sin x cos x = 2cos²x

sin2x - cos x = 0

Критерии оценок:

10 баллов и более - «5» (Молодец!)

8-9 баллов - «4» (Так держать!)

5-7 баллов - «3» (Подтянись!)

Менее 5 баллов - «2» (Должно быть стыдно!)

Приложение 2

Оценочный лист учащегося ________________________

Устная работа

Решение простейших тригоном. уравнений

Мозговой штурм (решение триг. уравнений)

Самостоятельная работа

Итого

Оценка

Приложение 3

Самостоятельная работа - решение разноуровневых заданий

I вариант

а) 1 балл

3sin x + 4cos x = 0

б) 2 балла

2sin²x - 5sin x cos x + 3cos²x = 0

в) 3 балла

sin2x = 2cos²x

II вариант

а) 1 балл

2sin x - 5cos x = 0

б) 2 балла

2sin²x +3sin x cos x + cos²x = 0

в) 3 балла

sin2x = sin²x