Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами»

Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами».

Мы остановимся на особенностях решения геометрических задач векторным и координатным методами.

Сущность векторного и координатного методов решения геометрических задач практически одна: геометрическая задача полностью переводится на язык алгебры и дальнейшее ее решения сводится к решению уравнений, неравенств или их систем.

Главное при решении геометрических задач координатным методом - удачный выбор системы координат - выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задачи. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.

Задача. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. На радиусе ОВ взята точка К так, что ОК=ОВ, ОМ=ОD. Доказать, что точка пересечения прямых СК и АМ расположена на данной окружности.

Решение.

Решается координатным методом.

1) За оси координат выбираем прямые AB и CD. Пусть R=1; тогда К(;0); М(0;-); С(0;1); А(-1;0) и т.д.

2) Составим уравнение прямой СК и АМ

y = 1-3x ; y = - -

3)

CK∩AM=P

, найденная точка лежит на окружности.

Задача: на стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ=2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что АК=2СК, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок АМ?

Решение.

Векторным методом

АЕ:ЕМ=?

; (для краткости)

Пусть ;

Имеем:

, а с другой стороны,

Ввиду единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получим систему уравнений:

х = , значит АЕ:ЕМ = 3:7

Смешанное решение задачи (координатным и векторным методом).

Задача: Дана окружность с центром в начале координат и точки А (2;0) ;

В(-2; 0) ; С(1;3). Прямые АС и ВС пересекают окружность вторично в точках R и S соответственно. Запишите уравнения окружности, проходящей через точки C, R, S,

1. Алгоритм решения задачи координатным методом:

а) Составить уравнения прямых АС и ВС по двум его точкам;

б) вычислить координаты точек R и S как точек пересечения прямых АС и ВС с окружностью х²+y²=4 путем решения двух систем уравнений;

в) записать уравнения серединных перпендикуляров к отрезкам CR и CS;

г) найти координаты их точки пересечения - цента М искомой окружности.

д) вычислить радиус r = МС;

е) записать уравнение окружности (М; r)

II. Смешанное решение.

Так как отрезок АВ - диаметр данной окружности, то отрезки AS и ВК являются высотами ∆АВС и пересекаются в точке H.

Окружность (М; r) проходящая через точки C, R, S, пройдет так же через H. Значит, М - середина НС.

Прямые, содержащие высот треугольника, пересекаются в одной точке, т.е. Н = AS∩CC₁, где CC₁АВ.

CC₁ имеет уравнение х=1

Прямая AS проходит через точку А (2; 0) перпендикулярно ВС =(3; 3) и имеет уравнение х + у - 2 = 0

Значит, Н (1; 1), а М - середина отрезка НС, М (1; 2).

Уравнение окружности имеет вид:

(х - 1)² = (у - 2)² = 1

Это решение не только упростило вычисления, но и позволило применить изученные ранее теоремы из других разделов.

Задача: Дано . Определите вид треугольника АВС.

Решение.

Рассмотрим 3 способа решения векторным методом

I способ.

Представив , получим:

,

,

, следовательно , т.е.

II способ

Из определения скалярного произведения векторов и данного равенства следует, что , или (1)

Проведем ВС₁АС, тогда (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), видим, что , т.е ÐС=ÐС₁= 90, следовательно, ∆АВС - прямоугольный

Решение задач различными способами повышает интерес к изучению математики в целом. Не обязательно всегда записывать все способы решения, но намечать различные подходы важно и в воспитательном и в общеобразовательном отношениях.

Итог: рассмотрели два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, - чертеж плюс метод.