Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныРЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ



секция математика

Функции?!

Просты, но утончены!





Автор: Вербицкая Татьяна Евгеньевна,

учащаяся 11 класса ГБОУ СОШ

пос. Комсомольский муниципального района Кинельский Самарской области

Руководитель: Ермошкина Ольга Анатольевна,

учитель информатики высшей категории,

Громко Ирина Александровна, учитель математики высшей категории

г. Самара,

апрель 2013

Содержание работы

Введение

Глава I

Начальные сведения о функциях

1.1

Понятие функции и способы ее задания

1.2

Элементарные функции, их классификация, графики

1.3

Общая схема исследования функций

1.4

Линейная функция

1.5

Дробно-линейная функция

1.6

Степенная функция

1.7

Квадратичная функция

1.8

Показательная функция

1.9

Логарифмическая функция

1.10

Тригонометрические функции

1.11

Примеры исследования функций

Глава II

Построение графиков элементарных функций в табличном процессоре MS Excel

Заключение

Библиография

Приложения

Введение


Для каждого выпускника средней школы наиглавнейшая задача успешно сдать ЕГЭ с высокими баллами. Я выбрала профессию экономиста, в которой умения анализировать ситуацию, функциональную зависимость, читать графики играет важную роль. Задания В2 (Графическое представление данных), В8 (Графики функций), В14 (Исследование функций), С1,С3,С5 (Решение уравнений и неравенств) относятся к блоку задач, связанных с функциональной зависимостью. Тема «Функции» - ведущая в изучении высшей математики и математического анализа на первом и втором курсе любого высшего заведения.

Я предполагаю, что повторив, систематизировав и обобщив знания по элементарным функциям, изучаемым в школе, я подготовлюсь к ЕГЭ по математике и успешной учебе на первом курсе.

Целью данной работы стало исследование элементарных функций в зависимости от их свойств.

Объект исследования - элементарные функции.

Предмет исследования - свойства функций, изучаемых в школе и их графики.

Перед собой я поставила следующие задачи:

1.Найти более полную информацию об элементарных функциях, самостоятельно рассмотреть свойства функций (на понятийном уровне), не изучаемых школьном курсе.

2. Систематизировать свойства функций.

3.Построить графики, используя диаграммы табличного процессора MS Excel.

4. Научиться читать графики

5. Создать электронное пособие для изучения свойств функций.

В данной работе использовался методы теоретическое исследование, анализ, сравнение, обобщение и классификация. Для проведения данного исследования использована энциклопедия и учебная литература, ресурсы Интернет.

Предлагаемая работа состоит из двух глав. В приложении представлены графики функций.

Глава I

Начальные сведения о функциях


  1. Понятие функции и способы ее задания

Любой исследователь, рассматривая характеристики и свойства определенных объектов и явлений, имеет дело с величинами, которые могут меняться от объекта к объекту или во времени, либо остаются неизменными. Одна и та же величина может быть постоянной или переменной в зависимости от рассматриваемой модели и целей исследования. Например, если исследователь рассматривает жителей определенного района, то возраст является переменной величиной. Если он при этом, хотел выяснить, какой годовой доход получают сотрудники банков в возрасте до 30 лет, то возраст превращается в постоянную величину, а годовой доход есть переменная величина, принимающая различные значения от объекта к объекту. Обычно постоянные величины принято обозначать начальными буквами латинского алфавита (a, b, с, d), а переменные - конечными (х,у, z, u).

В реальной жизни нам приходится наблюдать, что изменение одной величины приводит к изменениям другой. Увеличение объема доходов компании может приводить к увеличению прибыли, сокращение численности трудоспособного населения влечет за собой рост потребности в кадрах и увеличение числа вакансий и т.д. Для анализа такого рода связей между переменными важно познакомиться с центральным понятием математического анализа - понятием функции и функциональной зависимости. Слово «функция» образовано от латинского слова function, что означает исполнение, осуществление.

Функция - правило f, которое каждому элементу х ϵ Х ставит в соответствие единственный элемент уϵY. Переменная х является независимой переменной (или аргументом), а переменная у - зависимой. Функцию Х называют областью определения функции, а множество Y-областью значений функции. Согласно определению, чтобы задать функцию, необходимо определить три объекта.

  1. Множество X- область определения

  2. Множество Y- область значений

  3. Правилоf, которое устанавливает соответствие между элементами множеств X и Y.

Существуют четыре основных способа задания функции: аналитический, табличный, графический и описательный.

  1. Аналитический способ. Функция задана аналитически, если имеется формула, определяющая зависимость между х и y: y=f(х)

    х

    1

    2

    3

    4

    у

    1

    4

    9

    16

  2. Табличный способ. Функция задана таблично, если для каждого значения аргумента в таблице указано соответствующее ему значение функции.

  3. Графический способ. Функция задана графически, если на плоскости изображено множество точек с координатами (х,у), абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты- соответствующие им значения функции. График функции - множество точек плоскости с координатами (х,у), для которых выражение у= f(х) превращается в тождество.

  4. Описательный способ. Функция может быть задано описательно или словесно.

1.2 Элементарные функции и их классификация

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится. Рассмотрим основные элементарные функции.

Обратные тригонометрические

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

y=arcctgx


Логарифмическая

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Основные элементарные функции

Тригонометрические

y=sinx

y=cosx

y=tgx

y=ctgx

Показательная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Степенная Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны







Функция

Формула

График

Линейная

y=kx+b

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Обратная пропорциональность

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, kПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны0

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Квадратичная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны= ax2+bx+c, aПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны0

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Степенная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Тригонометрические

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=sinx,

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=cosx,

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=tgx



Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=ctgx

Обратные тригонометрические

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=arcsinx

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=arcсosx

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=arctgx

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=arcctgx

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Показательная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


Логарифмическая

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны=logax, a>0, aПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны1

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.3 Общие свойства функций

1.

Область определения

По определению функции у=f(х) она представлена на множестве Х, которое и называется областью определения функции. Обозначается Д(f)

2.

Множество значений

Множество всех значений, которые принимает функция.

Обозначается Е(f)

3.

Нули функции

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём функции. Функция может иметь несколько нулей. Геометрически - нуль функции - это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х.

4.

Четность

Функция f(x) называется четной, если для каждого х из области определения D(f) функции f(x) выполняется равенство f(-x) = f(x);

Функция f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения D(f) функции f(x) выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Понятия четной или нечетной функции можно вводить, и исходя из геометрических представлений о симметрии:

функция f(x), график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной;

функция f(x), график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной.

5.

Периодичность

В природе и технике достаточно часто встречаются процессы, которые периодически повторяются с течением времени. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T) = f (x). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f (x + T) = f(x) следует, что для всякого хД(х) и (х+Т) Д(х), т.е. Д(х) - периодическое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.

6.

Монотонность

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка Х таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка Х таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

7.

Непрерывность

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношение Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

Функция y=f(x) непрерывна в точке x=a, если

в этой точке выполняется следующее условие:

еслиПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, то Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Причем, Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны - приращение аргумента в точке а, а Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны - приращение функции в точке а.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, в точке а функция не является непрерывной.

Функцию y=f(x) называют непрерывной на

промежутке Х, если она непрерывна в каждой

точке промежутка.

Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функций непрерывна в каждой точке области определения этой функции, и если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

Точки, в которых нарушается условие

непрерывности функции, называют ее точками

разрыва.

Чаще всего разрыв возникает по следующим двум причинам:

а) Функция задана различными выражениями на разных участках, и при приближении к "точке стыка" с разных сторон эти выражения имеют различные пределы. Примером может служить кусочная функция:

б) Функция задана выражением, знаменатель которого в точке а обращается в нуль, в то время как числитель отличен от нуля. В этом случае Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Поэтому не может выполняться равенство Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, и функция имеет разрыв в точке а.

8.

Дифференцируемость

Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х.

Дифференцируемость функции в точке означает наличие у графика функции в этой точке касательной, не параллельной оси оу

9.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Точка a называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x). Точка a называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x). Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума. В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

10.

Выпуклость, точки перегиба

Y

X

0

a

c


В промежутке а < х <b кривая - график дифференцируемой функции y=f(x) - называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Если производная f '(х) - возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х <b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз). Если в некоторой окрестности точки х = с кривая - график дифференцируемой функции y = f(x) - имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

11.

Асимптоты

Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции.

Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными, наклонными.

y

x

y=a

y

x

x=b

y

x

y=kx+b

Прямая y=a называется горизонтальной асимптотой к графику функции y=f(x), если существует конечный предел Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

Прямая x=b называется вертикальной асимптотой к графику функции y=f(x), если существует конечный предел Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах области определения.

Если у функции нет горизонтальных асимптот, то, возможно, есть наклонные.

Наклонная асимптота к графику функции существует в том случае, когда существуют конечные числа к и в, вычисляемые по формулам:

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Тогда наклонная асимптота задается уравнением y=kx+b. Если хотя бы одно из чисел к и в несобственное, то наклонных асимптот у графика функции нет.


  1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k - угловой коэффициент (действительное число), b - свободный член (действительное число), x - независимая переменная.

1

Область определения

D(f)= R

2.

Область значений

Е(f)=R при k0

3.

Нули функции

у=0 при х=-b/k

4.

Четность

ни четная, ни нечетная, так как f (-x) = -kx + b .

5.

Периодичность

не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b

6.

Монотонность

возрастает при k0, функция убывает при k0.

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

экстремумов функции нет

наибольшего и наименьшего значения нет

9.

Выпуклость, точки перегиба.

асимптоты не существуют

точек перегиба не существует

10.

График - прямая линия. Для построения этого графика достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.

y=kx+b (k<0) и y=kx+b (k>0)





Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.5 Дробно-линейная функция

Обратно-пропорциональная зависимость величин Функция вида Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны называется обратной пропорциональностью.

1.

Область определения

D(f)=(− ∞;0)U (0:+∞)

2.

Область значений

Е(f)=(−∞;0)U (0:+∞)

3.

Нули функции

не имеет

4.

Четность

нечетная f (-x) = k/(- x)= - k/x = - f (x)

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

если k > 0, то функция у = k/x убывает на (- ∞; 0) и (0; + ∞). если k < 0, то функция у = k/x возрастает на (- ∞; 0) и (0; + ∞).

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

экстремумов функции нет

наибольшего и наименьшего значения нет

8.

График

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Графиком обратной пропорциональности y=k/х является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Этот график называется гиперболой. Если k < 0, то ветви графика обратной пропорциональности расположены во II и IV координатных четвертях, когда k > 0 ветви графика обратной пропорциональности расположены в I и III координатных четвертях.

Функция, которую можно задать формулой вида Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , где х- независимая переменная, а а, в, с и d - произвольные числа, причём сПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны0 и

аd - вс Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны0, называется дробно-линейной функцией.

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

2.

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Если х = 0, то Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Если у = 0, то Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Значит, если Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , то точка пересечения с осью Х имеет координаты Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Если а = 0, Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

4.

Четность

ни четная, ни нечетная.

Eсли а=d=0,то функция нечетная

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

Eбывает на промежутках всей области определения, если bc - ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если

bc - ad < 0.

Немонотонная функция.

7.

Асимптоты

Прямая Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны называется вертикальной асимптотой гиперболы.

Прямая Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны называется горизонтальной асимптотой

8.

Непрерывность

Функция имеет разрыв при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

9.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

10.

ГрафикПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


График дробно-линейной функции получается из графика функции Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.6 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где a≠0.

1.

Область определения

D(f)=R

2.

Область значений

Зависит от значения а:

при a> 0 E(f) ϵ [-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны;+∞),

при a< 0 E(f) ϵ (-∞;-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны]

3.

Нули функции

Если D> 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: х1=Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны; х2=Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и график функции пересекают ось х в 2 точках. Если D = 0, то график квадратичной функции имеет один нуль: x = -Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и касается оси х в точке (-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны; 0)

Если D< 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

4.

Четность

При b = 0 - функция четная, т. е. у = ах2 + с =

а(-х)2+с.

При b ≠0 функция ни четная, ни нечетная

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Если а>0, функция возрастает при хПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны [-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны;+∞); убывает при хПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны (-∞;-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны].

Если а<0, функция возрастает при хПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны(-∞;-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны], убывает при хПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны [-Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны;+∞).

7.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Если а>0, то у графиков есть только минимум функций.

Если а<0 - только максимум функций. Это точки вершины параболы.

Если a> 0, то xmin = -Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны; ymin = - Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны ; если a< 0 xmax = -Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны; ymax= - Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

8.

График функции

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.7 Степенная функция

Функция, заданная формулой Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , называется степенной (с показателем степени n).



n - четное положительное

n - нечетное положительное

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

2.

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, M(0,0)

4.

Четность

Функция четная, так как Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Функция нечетная, так как Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Функция возрастает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , убывает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Функция возрастает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Ограничен-ность

Асимптот нет

8.

Выпуклость, точки перегиба.


Функция вогнутая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Точек перегиба нет

Функция выпуклая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и вогнутая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны (кроме линейной функции). Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

9.

График



Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1)

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1)

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


n - четное отрицательное

n - нечетное отрицательное

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Не имеет

4.

Четность

Четна Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Нечетная Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

6.

Монотонность

Возрастает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Убывает приПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны.

Убывает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Ограниченность

Прямая x = 0 - вертикальная асимптота

Горизонтальная асимптота - y = 0

Прямая x = 0 - вертикальной асимптота

Горизонтальная асимптота - прямая y = 0

8.

Выпуклость, точки перегиба.

Вогнутая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Точек перегиба нет.

Выпуклая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и вогнутая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны.

9.

График


Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны



n>1

01

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

y=0 при x=0

4.

Четность

ни четная, ни нечетная

5.

Периодичность

непериодическая

6.

Монотонность

Возрастает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Возрастает при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Асимптоты

Асимптот нет

8.

Выпуклость, точки перегиба.


Вогнутая приПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны.

Точек перегиба нет.

Выпуклая при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Точек перегиба нет.

9.

График



Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


Функция проходит через точки (0;0), (1;1)

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


Функция проходит через точки (0;0), (1;1).


1.8 Показательная функция

Показательная функция - функция вида Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, где Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны называется основанием степени, а Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны - показателем степени.



a >1

0 < а < 1

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

2.

Множество значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Точка (0; 1) - единственная точка пересечения с осями координат

4.

Четность

Функция ни четная, ни не чётная, так как Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

Функция не является периодической

6.

Монотонность

Возрастает на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Убывает на промежуткеПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Ограниченность

Вертикальных асимптот не существует,

Горизонтальная асимптота у = 0

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Не существует экстремальных точек.


9.

Выпуклость, точки перегиба.

Не существует точек перегиба.

10.

График


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


  1. Логарифмическая функция

Функцию, заданную формулой Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , называют логарифмической функцией с основанием а, где аПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны1 и х - независимая переменная.



Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

2.

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Точка (1; 0) - единственная точка пересечения с осями координат

4.

Четность

Функция ни четная, ни не чётная, так как Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

Функция не является периодической

6.

Монотонность

функция возрастает на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

убывает на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Ограниченность

Горизонтальных асимптот не существует,

Вертикальная асимптота х = 0

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

не имеет

9.

Выпуклость, точки перегиба.

График выпуклый. Не существует точек перегиба.

График вогнутый

Не существует точек перегиба.

10

График



1.10 Тригонометрические функции


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны ;

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны ;

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныприПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны.

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны ;

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

4.

Четность

нечетная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

четная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

6.

Монотонность

возрастает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

убывает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

возрастает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

убывает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Асимптоты

нет вертикальных и горизонтальных асимптот

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

наибольшее значение, равное 1, в точках Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

наименьшее значение, равное 1, в точках Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

наибольшее значение, равное 1, в точках Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

наименьшее значение, равное -1, в точках Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

9.

Выпуклость, точки перегиба.

вогнутая Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны выпуклая Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

Координаты точек перегиба Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

вогнутаяПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченнывыпуклая Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны координаты точек перегибаПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

9.

График


Графиком функции является синусоида

Графиком функции является косинусоида


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.

Область определения

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , кроме чисел вида Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны, кроме чисел вида Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

2.

Область значений

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны приПроект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныпри Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

4.

Четность

нечетная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

нечетная

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны,

5.

Периодичность

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

6.

Монотонность

возрастает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

убывает на Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

при Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

7.

Асимптоты

вертикальные асимптоты

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

наклонных асимптот нет

вертикальные асимптоты

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны ;

наклонных асимптот нет

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

не имеет

9.

Выпуклость, точки перегиба.

вогнутая,

выпуклая

Координаты точек перегиба

вогнутая ,

выпуклая

Координаты точек перегиба

10.

График


Графиком функции является тангенсоида

Графиком функции является котангенсоида

1.11 Понятие обратной функции

Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , принадлежащих Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , числа Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны также различны.

Пример 1. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Пример 2. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Пример 3. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Пример 4. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Пример 5. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Пример 6. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Обратимость всех этих функций - частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция f обратима, Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны - ее область определения, Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны - множество ее значений. Для каждого числа Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны обозначим через Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны такое число q из множества Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , что Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны и множеством значений Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Эта функция называется обратной функции Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны .

Пример 7. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Функция Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны обратима, - Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

1.12 Обратные тригонометрические функции


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.

Область определения

D(f)=[-1;1]





D(f)=(-1;1)

2.

Область значений

E(f)=[-π/2;π/2 ];

E(f)=[0; π];

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции:

arcsin x = 0 при x = 0;

Функция возрастает

на [-1;1];

Нули функции:

arccos x = 0 при x = 1;

4.

Четность

Функция является нечетной, т.е.

arcsin (-x) = - arcsin x;

Функция четная

arccos (-x) = π-arccosx

6.

Монотонность

Возрастает на [-1;1]

Функция убывает

на (-1;1);

7.

Асимптоты

Вертикальных асимптот нет.

Наклонных асимптот нет.

Вертикальные асимптоты

x= -1 и x=1

Наклонных асимптот нет

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Функция принимает наибольшее значение при x=1.

Функция принимает наименьшее значение при x= -1;

Функция принимает наибольшее значение π при x = -1.

Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1.

9.

Выпуклость, точки перегиба.

Выпуклая на промежутке [-1;0], вогнутая на промежутке [0;1]. Точка (0;0) - точка перегиба

Выпуклая на промежутке [0;1), вогнутая на промежутке (-1;0]. Точка (0;π/2) - точка перегиба

10.

График


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.

Область определения

D(f)=R

D(f)=R

2.

Область значений

E(f)= (-π/2; π/2)

E(f)= (0; π)

3.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции:

arctg x = 0 при x = 0;

Нули функции:

arctg x = 0 нет

4.

Четность

Функция является нечетной, т.е.

arctg (- x) = - arctg x;

Функция не является ни четной, ни нечетной

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

5.

Периодичность

Непериодическая

6.

Монотонность

Функция возрастает на R

Функция убывает на R;

7.

Асимптоты

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты y= π/2, y=-π/2

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты y= ±π

8.

Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Нет

9.

Выпуклость, точки перегиба.

Вогнутая на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , Выпуклая промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Точка (0;0) - точка перегиба

Вогнутая на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны , Выпуклая на промежутке Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны . Точка (0;π/2) - точка перегиба

10.

График


Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

1.12 Примеры исследования свойств функции


Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график.

D(f)= R, так как f - многочлен.

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 не больше, чем в пяти точках.

Функция не является четной, не является нечетной, так как f(1) = 0 и

f(-1) = 4.

График пересекает ось ординат в точке (0; 2).

График асимптот не имеет.

Производная f'(х) = 15 х 4-15 х 2 =15 х22 - 1).

f'(x) существует на R.

f'(x) = 0, если х = 0 или х = 1, или х = -1.

Критические точки: -1,0; 1.

Найдем значения функции в критических точках:

f(0) = 2, f(1) = 0, f(-1) = 4.

Исследуем знак производной f'(x) = 15х2 (х +1)(х -1).

f'(2) = 15 * 4(2 +1)(2 -1) = 60 *3 = 180 > 0.

Используя достаточный признак возрастания и убывания функции и учитывая ее непрерывность в точках -1; 0 и 1, получаем, что функция f(х) возрастает на (-∞; -1] и на [1; +∞), а убывает на [-1; 1].

Согласно достаточному признаку экстремума получаем, что в точке х = -1 функция имеет максимум, равный 4, а точке х = 1 - минимум, равный 0.

Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:



х

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

f(х)

-3,9

4

2,53

2

1,46

0

7,06

Построим график функции.

f(х)=Зх5-5х3+2




Пример 2. Исследуем функцию

f(x) = и построим ее график.

f(x) = .

D(f) = (-∞; - 2)(-2; 2)(2; +∞)

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 только в одной точке х = 0.

Функция является нечетной, так как D(f) - симметричное множество относительно 0, и для всех

х  D(f) имеем:

f(-x) = = - = -f(x)

График функции f проходит через начало координат: f(0) = 0. Интервалы знакопостоянства:

f'(x) = = = = - .

X

-4

-3

-2,5

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2,5

3

4

f(x)







0







Построим график функции.


Глава II

Построение графиков элементарных функций в табличном редакторе MS Excel 2010

Отталкиваясь от актуальности работы об обобщении и систематизации знаний об элементарных функциях, их свойствах и графиках, мною была выбрана общая форма задания функций аналитическим способом: линейная и дробно-линейная функция - y = ± kx ± b, y = (±kx ± b)/(±сx ± m); показательная и логарифмическая функции - y= ±c*ax ± d, y= ±с ± b*logax; степенная функция - y = ±c*xa±d; простые тригонометрические функции - y = ±a ±b*cos(cx±d), y = ±a ± b*sin(cx ± d), y = ±a ± b*tg(cx ± d), y=±a ± b*ctg(cx±d). Коэффициенты и множители k, b, c, m, d принадлежат всему множеству действительных чисел, изменяя которые можно изучать основные виды преобразования графиков.

Параллельный перенос по оси OY осуществляется изменением свободного слагаемого, получаем семейство прямых с одним углом наклона к оси OX (см. Приложение 1). Подобным образом осуществляется перенос в других функциях. Растяжение (сжатие) особенно наглядно видно при изменении множителя тригонометрических функций. Для b>0 видно увеличение амплитуды косинусоиды (см. Приложение 2), а для различных «с» происходит растяжение (сжатие) вдоль оси OX (см. Приложение 3). Преобразование графика, зеркальное отражение, нетрудно заметить на функции tg, изменив знаки свободного слагаемого и множителя функции (см. Приложение 4). Для логарифмической функции зеркальное отражение показано через добавление множителя -1 в формуле электронных таблиц функции y=-log3x (см. Приложение 5).

Общие формулы представления элементарных функций позволяют самостоятельно, уже с седьмого класса, учиться записывать конкретную функцию. Изменение коэффициентов в практической работе по построению графиков закрепляет изучение свойств элементарных функций, помогает научиться представлению графиков, быстрому их распознаванию в соответствующих заданиях ЕГЭ по математике.

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныРис. 1

Рис. 1Работа по построению диаграммы вида график на листе в MS Excel начиналась с создания списка выбора условия для каждого коэффициента (см. рис. 1). Выбор отрезка на оси OX стал вторым шагом для построения графиков.

В дробно-линейной, тригонометрических, логарифмической, степенной функциях в табуляции преднамеренно оставлены значения х, в которых функции не определены. Такой подход даёт возможность каждый раз самостоятельно решать вопрос об области определения функции (см. рис. 2). Третий шаг - непосредственный перевод формулы аналитического задания функции в формулу адресов ячеек электронной таблицы и авто заполнение по столбцу значений функции на весь диапазон значений х. Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны Рис. 2

Для сравнения графиков с измененными коэффициентами было придумано их совместное представление на одной диаграмме, что хорошо видно на всех представленных приложениях к работе.

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченныРис. 3

Первоначально построенные диаграммы были не воспринимаемы и не читаемы (см. рис 3). Для восприятия в соответствии со свойствами каждый раз приходилось изменять параметры основных осей, линий сетки, шрифтов подписей легенды диаграммы и на осях.

Логическим продолжением представленной работы по исследованию элементарных функций будет создание графиков для обратных тригонометрических функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

Дополнением школьного курса элементарных функций станет исследование функций y = sec x и y = cosec x. Для рассмотрения преобразований графиков этих функций также возможно будет воспользоваться множителями и слагаемыми в общих формулах задания функций.

В моих планах с помощью электронных таблиц показать построение графиков сложных функций.


Заключение


В ходе исследовательской работы я выбрала схему исследования свойств функций и апробировала ее при построении графиков функций в табличном редакторе. Для каждой из функций выявила, от чего зависит расположение графиков на координатной плоскости.

В работе рассмотрены преобразования графиков: параллельный перенос для дробно-линейной функции, сжатие-растяжение для тригонометрических функций.

Создала электронное пособие для изучения свойств электронных функций, которое может использоваться учителями на уроках математики и информатики.


Приложение 1

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Приложение 2

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Приложение 3

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны

Приложение 4

Проект по математике ученицы 11 кл. Функции - просты, но утонченны



Библиография


1.А.Д. Кутасов. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.:Наука.1985 год.

2.М.Я Выгодский. Справочник по элементарной математике.

-Москва.19.62 год.

3.Ю.Н. Макарычев. Алгебра.7,8,9 класс: учебники для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение.2011 год.

4. А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. -М.: Просвещение. 2011 год

5. О.В. Иванов, Л.В. Кудряшова. «Функции», «Графики основных элементарных функций. Преобразование графиков». htt://msu-students.ru

6. Основные элементарные функции. Их свойства, графики. cleverstudents.ru/range_of_function.html














Приложения

41


© 2010-2022