Открытый урок по математике по теме «Решение уравнений и неравенств второй степени с параметрами»

МАОУ СОШ №22 г. ТОМСКА

Ясюкевич Наталья Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории.

При осуществлении личностно ориентированного подхода при обучении математики я провожу уроки, на которых обучающиеся класса разбиваются на группы по уровню подготовленности определенной темы. При этом часть детей занимается самостоятельно, работая над заданиями высокого уровня. При разработке данного урока преследовались следующие цели: развивать умения решать задания с параметрами, прививать навыки самостоятельной деятельности обучающимися, формировать развитие интеллектуального развития и математической культуры.

Тема урока:

«Решение уравнений и неравенств второй степени с параметрами»

Цели урока: развивать умения решать задания с параметрами,

прививать навыки самостоятельной деятельности обучающихся.

Ход урока: 1. Орг. Момент. Озвучивание темы, цели урока, порядка работы в течении урока. Важно отметить, что задания подобраны из тестов подготовки к ГИА.

2.Вводная речь учителя: «Иногда в уравнениях и неравенствах коэффициенты заменены буквами или буквенными выражениями. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что они могут принимать любые числовые значения. В квадратных уравнениях и неравенствах от значения параметра зависит, имеет ли оно решение и сколько. Главная задача при решении таких заданий - исследовать дискриминант.»

На доске записаны задания разного уровня:

1). При каких значениях …

2). При каких значениях …

3). При каких значениях …

Высокий уровень

1*, 2*, 3*.

3.Решение заданий 1), 2), 3) минут 5 дети решают сами, затем решения разбираются у доски.

Решение заданий 1*,2*, 3* дети с высоким уровнем подготовки решают самостоятельно.

Задания среднего уровня:

1). При каких значениях t уравнение 2х² + t х + 8 = 0 не имеет корней.

Решение: данное уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицательный. Имеем: t² - 64 < 0 . Ответ: (-8;8).

2) При каких значениях k уравнение 2х³- 12х² + k х = 0 имеет ровно два корня ?

Решение: Вынесем общий множитель за скобки х(2х² -12х + k) = 0. Один корень х₁=0; чтобы второй множитель имел один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Имеем: 144 - 8 k = 0. Отсюда k = 18. Ответ: 18.

3). При каких значениях m неравенство х² - m х + (3 - m ) ≤ 0 имеет хотя бы одно решение?

Решение: Для выполнения условие задачи, необходимо, чтобы Д ≥ 0. Имеем:

m² - 12 + 4 m ≥ 0. Решая данное неравенство, получим ответ: m <-6; m > 2.

Задания высокого уровня(группа ребят решают самостоятельно):

Пусть f(x) = ах² + b х + с.

1* При каких значениях b корни уравнения х² - (2 b + 1)х + b² + b = 0 лежат по разные стороны от числа 1 ?

Решение: Учитывая свойство корней квадратного уравнения, условию задачи должно соответствовать выполнение условия а f(x) < 0.

Имеем: аf(α) < 0, где α = 1. f(1) = 1 - (2 b + 1) + b² + b = b² + b.

b² + b < 0. Ответ: (0;1).

2* При каких значениях b уравнение х² + 2(b + 1)х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня ?

Решение: По свойству корней квадратного уравнения , чтобы два корня были больше некоторого числа, необходимо выполнение в системе трёх условий: Д≥0, абсцисса вершины х₀ > 0, а f(x) > 0.

Имеем: 1) 4(b + 1)² - 36 ≥0, b ≤ -4, b≥2.

2) -b - 1 > 0, b < - 1

3) 9 > 0 при любом b.

Общее решение b ≤ - 4. Ответ: при b ≤ -4.

3* При каких значениях а корни уравнения х² + 2ах + (а - 1)(а + 1) = 0 принадлежат промежутку (- 3;3) ?

Ответ: (- 2;2)

4. После разбора заданий среднего уровня у доски, ребятам предлагается самостоятельная работа обучающего характера на два варианта:

Вариант 1

1. При каких значениях с уравнение 12х² + сх + 3 не имеет корней?

2. Найти все значения а , при которых неравенство

х² + ( 2а + 4)х +8а + 1 ≤ 0 не имеет решения.

3. При каких значениях m уравнение х³ - 4х² - m х = 0 имеет два различных корня?

Вариант 2.

1. При каких значениях с уравнение х² + сх + 3 не имеет корней?

2. При каких значениях n решением неравенства х² - 2 nх - n + 2 ≥ 0

является любое число?

3. При каких значениях k уравнение 4х³ + 4х² + kх = 0 имеет два различных корня?

Тем учащимся, которые не усвоили данный материал(очень низкий уровень) предлагается вариант очень простых заданий:

Вариант 3

Решить неравенство: 1). х² - 8х + 15 > 0 ; 2). 3х² + 11х - 4 < 0;

3). х² - 9 ≥ 0; 4). 2х - х² ≥ 0.

5. Во время самостоятельной деятельности основной группы детей предполагается помощь учителя индивидуально.

В это время проверяется решение заданий высокого уровня - сверить ответы или привести решение на доске(если необходимо)

Приблизительно на тридцатой минуте урока проводится физкультминутка (упражнения здоровьесберегающих технологий)

Таким образом, на протяжении всего урока все дети заняты продуктивной деятельностью на выбранном ими уровне сложности заданий. Углубление по теме происходит в соответствии с индивидуальным планированием изучения её каждым обучающимся.

6. В конце урока ребята могут проверить правильность решения по ответам, записанным на обратной стороне доски. Ответы можно закодировать:

К - - 4

Н - (- 2; 2)

Т - (-12; 12)

О - (-2;1)

А - (1;3)

С - 1

Для 1 варианта слово ТАК, для 2 варианта слово НОС.

Тетради на проверку сдают все, оценки в журнал выставляются по желанию.

7. Домашнее задание: Найти в тестах ГИА или составить самим по три задания с параметром и решить их.