Решетка нормальных подгрупп группы симметрии квадрата

РЕШЕТКА НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ГРУППЫ СИММЕТРИИ КВАДРАТА

Д. Г. Гмыза, e-mail: [email protected].

АННОТАЦИЯ. Известно, что нормальные подгруппы любой группы образует модулярную решетку. В связи с этим в данной заметке построены решетки нормальных подгрупп группы симметрии треугольника и квадрата.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: группа, нормальная подгруппа, модулярная решетка.

Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция такая, что выполняются следующие условия:

1. ассоциативность: для любых элементов a, b, c из G;

2. в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;

3. для любого элемента a из G существует такой элемент из G, что , такой элемент называется обратным к элементу a.

Алгебра (L; ⋀, ⋁) называется решеткой, если L непустое множество, а ⋀ и ⋁ - бинарные операции на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглащения.

Связь между группой и решеткой непосредственно видна из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1[1,2]. Нормальные подгруппы любой группы G образуют модулярную решетку.

Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Другими словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого g из G элемент содержится в N.

Пусть обозначают соответственно вращения квадрата на 0⁰, на 180⁰, на 90⁰ и на 270⁰ в направлении указанном стрелкой, то есть , , , (рис а).

Можно составить таблицу умножения, где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему квадрат ABCD в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g₂, мы будем ставить преобразование, равное . Так, например, в клетку поставим: , то есть .

Кроме вращений, у квадрата имеется 4 симметрии, а именно, отражения относительно осей d, f, g и h. Эти преобразования мы обозначим соответственно: , , , (рис б).

Элемент g стоящий на пересечении столбца а и строки h вычисляется так: (таблица 1). Аналогично была заполнена другая часть таблицы 1.

Непосредственно проверяется, что множество преобразований квадрата с таблицей 1 образует группу, которая называется группой симметрии квадрата.

Далее, подгруппами в являются следующие: подгруппа вращений квадрата , подгруппа центральных симметрий , 4 подгруппы отражений относительно осей симметрии: , , , , и еще 2 подгруппы: и , 2 тривиальные подгруппы: и вся группа . Теперь среди этих 10 подгрупп выделим нормальных, для этого воспользуемся теоремой 2.

Если нормальная подгруппа в группе содержит элемент b или c, то она содержит всю подгруппу вращения квадрата, то есть получаем нормальную подгруппу .

Имеем и . Поэтому если один из элементов d, f входит в нормальную подгруппу, то и второй также входит в нормальную подгруппу. Так как , то в этом случае элемент также входит в нормальную подгруппу. Получаем нормальную подгруппу .

Так как , и , то так же, как выше, получаем нормальную подгруппу .

Если же нормальная подгруппа не содержит элементов , то она совпадает с нормальной группой .

Следовательно, в силу теоремы 1 имеет следующую решетку (рис в).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М, Мир, 1982

2. Г. Биркгоф, Теория решеток, М, Наука, 1984

3. В. Н. Алексеев, Теория Абеля в задачах и решениях, М, Наука, 1976

и т.д.

.

e

a

b

c

d

f

e

e

a

b

c

d

f

a

a

b

e

f

c

d

b

b

e

a

d

f

c

c

c

d

f

e

a

b

d

d

f

c

b

e

a

f

f

c

d

a

b

e

Таблица 1

О

А

С

В

а)

б)

в)

Рис. 1

.

e

a

b

c

d

f

g

h

e

e

a

b

c

d

f

g

h

a

a

e

c

b

f

d

h

g

b

b

c

a

e

g

h

f

d

c

c

b

e

a

h

g

d

f

d

d

f

h

g

e

a

c

b

f

f

d

g

h

a

e

b

c

g

g

h

d

f

b

c

e

a

h

h

g

f

d

c

b

a

e

Таблица 2

О

D

A

BО

C

а)

б)

в)

Рис. 2