Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

«Екібастұз каласының әкімдігінің білім бөлімінің № 17 ЖББОМ» КММ

КГУ «СОШ № 17 отдела образования акимата города Экибастуза»







Решение

нестандартных задач



Составил: Сырымбетов М.С.







Екібастұз қаласы

2015 ж.

Город Экибастуз

2015 г.Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Сборник задач

Составил:Сырымбетов М.С.









Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

1. Решите уравнение: хТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+=2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Решение: Воспользуемся неравенством а1 а21 в2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Геометрическая интерпретация этого неравенства : скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем (n=2) общего неравенства Коши-Буняковского. Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов (а11) и (а22).

Имеем хТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ. Значит векторы

(х,1) и (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ,Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ) коллинеарны, следовательно их координаты пропорциональны. Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , хТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , х3-3х2+х+1=0

х3-2х2+х-х2+1=0 ; х(х-1)2-(х-1)(х+1)=0 Разложим на множители: (х-1)(х2-2х-1)=0 . Отсюда

х-1=0; х=1, х2-2х-1=0; х=1+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, , х=1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ,

Корень , х=1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ- посторониий , т.к. х-положительное число.

Ответ: х=1, х=1+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

2. Для функции f(x)=ах2+вх+с известно , что а<b и f(x)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ для всех х. Найти наименьшее значение Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Решение: Если f(x)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ для всех х ,то а >0 и Д=в2-4ас< 0 и с> Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ,. Пусть в-а=р, тогда

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=3. Здесь применили неравенство Коши 9а22Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ6ар

3.Может ли квадратное уравнение ах2+вх+с=0 с целыми коэффицентами иметь дискриминант, равный 23?

Решение: Допустим , что дискриминант равен 23. Тогда в2-4ас=23. Т.к. 4ас четное число, то в должно быть нечетным числом, т.е. в=2к+1. Тогда (2к+1)2-4ас=23;

2+4к+1-4ас=23

4(к2+к-ас)=22 . Левая часть равенства при целых значениях к и а является числом кратным 4, а правая часть на 4 не делится нацело, Получили противоречие. Значит квадратное уравнение ах2+вх+с=0 с целыми коэффицентами не может иметь дискриминант, равный 23.

4.Доказать, что число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

Решение: Докажем от противного: предположим, что число 1998 можно представить в виде разности квадратов двух различных чисел. Так как число 1998 четное, то эти оба числа либо четные, либо нечетные. В противном случае разность квадратов четного и нечетного чисел была бы нечетным числом.

Предположим, что эти два числа четные. Тогда их можно записать в виде 2n и 2m. Составим разность квадратов этих чисел: (2n)2 -(2m)2 = 4n2 -4m2 =4(n2 - m2). Полученная разность квадратов двух четных чисел делится на 4, так как один из множителей произведения 4(n2 - m2) делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно, число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух четных чисел.

Предположим, что эти два числа нечетные. Тогда их можно записать в виде 2n -1 и 2m-1. Составим разность квадратов этих чисел: (2n+1)2 -(2m+1)2 = 4n2 -4n+1- 4m2+4m -1=4(n2 - m2)- 4(n - m) =4(n2 - m2 - n + m). Полученная разность квадратов двух нечетных чисел делится на 4, так как один из множителей произведения 4(n2 - m2 - n + m). делится на 4, но число 1998 на 4 не делится, следовательно число 1998 нельзя представить в виде разности квадратов двух нечетных чисел. Получили противоречие. Наше предположение неверно, значит, число 1998 невозможно представить в виде разности квадратов двух разных чисел.

5. Можно ли в равенстве 1*2*3*. . .*10=0 вместо звездочек поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство.

Решение: Нельзя, так как эта алгебраическая сумма содержит нечетное число нечетных различных чисел и нечетное число четных чисел, и их алгебраическая сумма была бы нечетным числом.

6.Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было, ровно четыре покрашенные точки.

Решение: Проведем на плоскости параллельные прямые на расстоянии 1см друг от друга и будем считать эти прямые закрашенными частями плоскости. Тогда любая окружность радиусом 1 см и центром в любой точке плоскости будет содержать ровно четыре покрашенные точки.

7. Дописать справа к числу 641 три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось бы на 7, 8, и 9.

Решение: Если число делится на 7, 8 и 9, то оно делится также на их и произведение, то есть 7*8*9=504. Возьмем число 641 000, разделим на 504 с остатком , то есть 641000 = 504*1271 + 416 .К обеим частям данного равенства прибавим число 88 = 504 - 416 , то есть число дополняющее число 416 до 504, 641000 + 88 = 504*1271 + 416 +88, отсюда следует равенство

641 088= 504*1271+504=504*1272. Отсюда следует, что число 641 088

делиться на 504, а значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 0, 8, 8.

Сложим число 641 088 и 504: 641 088 + 504 = 641 592. Полученная сумма также делится на 504, значит и делится на 7, 8 и 9. Искомые цифры: 5, 9, 2.

8.Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом произведение не изменилось. Приведите примеры таких чисел.

Решение: 1)Например, возьмем следующие пять чисел: -0,5; 3; 4; 5; 6 и найдем их произведение: -0,5*3* 4* 5* 6=-180. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -1,5*2*3*4*5=-180. Значит, данные числа -0,5; 3; 4; 5; 6 - искомые.

2) Например, возьмем следующие пять чисел: - 1;5; 6;7;8 и найдем их произведение: -1*5*6*7*8=-1680. Уменьшим каждое на единицу и найдем их произведение: -2*4*5*6*7=-1680. Значит, данные числа -1; 5;6; 7;8 - искомые.

9.Какое из чисел больше

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ…+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧили Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Решение: Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше числитель, и меньше та, у которой больше знаменатель. В данной сумме каждое слагаемое заменим дробью Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, и тогда исходная сумма будет меньше вновь полученной суммы, то есть

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ…+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ<Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+ …Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ<Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ.

Значит Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ больше суммы Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ…+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

10.Решите уравнение х2 - у2 -х +у =6 в натуральных числах.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители.

х2 - у2 -х +у =6

(х-у) (х+у-1)=6. Так как 6=1*6 и 6=2*3, то данное уравнение можно заменить на равносильные ему четыре системы уравнений: 1)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , или 2) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ,или 3) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, или 4) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Системы 1) и 4) в натуральных числах решений не имеет. Система 2) имеет решение х=4, у=3 , система 3) имеет решение х=3, у=1 .

Ответ : 1) х=4, у=3 , 2) х=3, у=1 .

11.Страницы учебника пронумерованы 3, 4, 5 и т.д. Для этого потребовалось 1000 цифр. Сколько страниц в учебнике?

Решение: Страниц, пронумерованных однозначными числами от 3 до 9 всего 7, а значит и цифр требуется всего 7. Страниц, пронумерованных двузначными числами от 10 до 99 всего 90, а значит, цифр требуется всего -180. Значит, на страницы с трехзначными числами требуется 1000- 7-180=813 цифр. Разделив 813 на 3 получим 271 страницу, пронумерованных трехзначными числами от 100 до 270 включительно. Значит в учебнике 270 страниц.

12.Докажите , что n(n2+5) делится на 6.

Доказательство: n (n2+5)= n(n2-1+6)= n(n2-1)+6 n = n(n-1)( n+1)+ 6 n; произведение

n (n-1)( n+1) кратно 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел, и произведение 6 n кратно 6, следовательно и сумма n(n-1)( n+1)+ 6n кратна 6, а значит и n(n2+5) делится на 6.

13.Докажите , что в десятичной записи числа 2300 не более 100 цифр.

Доказательство: 2300=(23 )100=8100<10100. Число 10100 содержит 101 цифру (1 и 100 нулей). Так как 2300 <10100 , то значит число 2300 содержит не более 100 цифр.

14.К числу 43 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

Решение: Если число делится на 45, то оно делится на 5, и на 9. Значит оно должно оканчиваться на 0 или на 5, и сумма его цифр должна делиться на 9.

Значит это числа 1) 2430; 2) 6435.

15.Докажите , что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является полным квадратом натурального числа.

Доказательство: п(п+2)(п+4)(п+6) +16= ((п+3)-3)((п+3)-1)((п+3)+1)((п+3)+3) + 16=

=((п+3)2-9) ((п+3)2-1) +16 = (п+3)4-9(п+3)2-(п+3)2+9+16= (п+3)4-10(п+3)2+25=( (п+3)2-5)2.

16.Докажите , что произведение четырех последовательных натуральных чисел в сумме с единицей является полным квадратом натурального числа.

Доказательство: п(п+1)(п+2)(п+3) +1= п(п+3)(п+1)(п+2)+1=(п2+3п)(п2+п+2п+2) + 1=

= (п2+3п)(п2+3п+2) + 1 = (п2+3п)2 +2(п2+3п) +1 = (п2+3п+1)2.

17.Произведение произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 1680. Найдите эти числа.

Решение: Произведение четырех последовательных натуральных чисел в сумме с единицей является полным квадратом натурального числа. Пусть п меньшее число. По условию п(п+1)(п+2)(п+3)=1680. Прибавим к обеим частям равенства 1:

п(п+1)(п+2)(п+3) +1=1681 ; (п2+3п+1)2=412 ; п2+3п+1=41 ; п2+3п-40=0 ; п=-8 - не подходит по условию; п=5 является натуральным числом. Значит искомые числа 5,6,7,8.

18.Известно, что авс+ав+ас+вс+а+в+с=1000. Найти сумму а+в+с.

Решение:

Прибавим к обеим частям равенства единицу и разложим обе части на множители.

авс+ав+ас+вс+а+в+с+1=1001:

ав(с+1)+с(а+в)+(а+в)+(с+1)=7х11х13

ав(с+1)+(а+в)(с+1)+(с+1)=7х11х13

(с+1)(ав+а+в+1)=7х11х13

(с+1)(а(в+1)+(в+1))=7х11х13

(с+1)(в+1)(а+1)=7х11х13 . Значит с+1=7; в+1=11; а+1=13, отсюда с=6, в=10, а=12, тогда а+в+с=12+10+6=28.

19.При каких значения а и b уравнение a sin x = b уравнение имеет ровно 850 корней?

Решение : a sin x = b ; sin x=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Решая это уравнение графическим способом можно заметить , что синусоида у= sin x и прямая у=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ проходят через начало координат, которое является для этих линий центром симметрии, и не могут имеет четное число точек пересечений, следовательно данное уравнение не может иметь ровно 850 корней.

20.Может ли вершина параболы у=4х2-4(а-1)х+а лежать во второй координатной четверти при каком - нибудь значении а?

Решение: х0=-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-абсцисса вершины параболы, значит х0=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

У0-ордината вершины параболы, значит у0=-а2+3а-1. Если точка принадлежит 2-й координатной четверти, то ее абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Значит

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧт.е. Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

1)а<1 2)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Решением данного неравенства является промежуток:

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ. Найдем пересечение множеств решений данных неравенств системы:

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧОтвет: может, при аТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

21. Дан треугольник со сторонами а, в и с. Докажите что если медианы проведеные к сторонам а и в , взаимно перпендикулярны, то а22=5c2

С

К Е

О

А В

Дано : АВС, АЕ и ВК медианы; АЕ перпендикулярно ВК. ВС = а, АС = в , АВ = с. Доказать: а22=5c2

Доказательство: Пусть АЕ = ma , BC=mв Медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении2:1, считая от вершины. Треугольники АВО, АКО, ВЕО - прямоугольные: АВ2=АО2+ВО2 ; ВЕ2=ВО2+ЕО2; АК2=АО2+КО2 Значит

с2=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ma2+ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2 (1) , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ а2 = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ma2+ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2 (2) , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ в2 = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2+ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mа2 (3) Сложим почленно равенства (2) и (3) : Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ а2 + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ в2 =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mа2 + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2 . Умножим обе части равенства на 4: : а2 + в2 = 4 (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mа2 + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2 ) = 5 (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mа2 + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ mв2) = 5с2 , что и требовалось доказать.

22.Решите уравнение х99+2х199+3х299+...+20х1999=210

Решение: Т.к. показатели переменной х в уравнении нечетные числа, то значение корня должно быть положительным числом. Допустим, что корень уравнения больше нуля и меньше единицы.Тогда х99 меньше 1, 2х199 меньше 2, 3х299 меньше 3,..., 20х1999 меньше 20, следовательно сумма х99+2х199+3х299+...+20х1999 меньше 210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше нуля и меньше единицы.

Допустим , что корень уравнения больше единицы. Тогда х99 больше 1, 2х199 больше 2, 3х299 больше 3,..., 20х1999 больше 20, следовательно сумма х99+2х199+3х299+...+20х1999 больше 210, так как 1+2+3+...+20=210. Значит корень уравнения не может быть больше единицы. Проверим х=1: лю,бая степень числа 1 равна 1, следовательно 199+2*1199+3*1299+...+20*11999 =210, значит корень уравнения равен 1.

Ответ: х=1

23.Одна сторона квадрата увеличена на р%, а другая уменьшена на р%. Площадь полученного прямоугольника составляет 99% от площади квадрата. Найти р.

Решение:Пусть х - сторона квадрата, тогда его площадь равна х2.После того, как одну сторону увеличили на р%, т.е. х+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=х(1+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ), а другую уменьшили на р%, т.е. х-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=х(1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ),то площадь получившегося прямоугольника стала х(1+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ) х(1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ)=х2(1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ). Так как площадь получившегося прямоульника составляет 99% от площади квадрата, то Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх2= х2(1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ).Разделив обе части уравнения на х2, получим уравнение Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=1-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ. Отсюда Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ,т.е. р=10%

Ответ: р=10%

24.Прямоугольный участок пола покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка -зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета.Сколько всего плиток могло быть использовано!

Решение: Пусть по длине участка размещается а плиток, а по ширине в плиток, тогда на границе участка разместятся а+а+в-2+в-2=2а+2в-4 красных плиток, а внутри участка- (а-2)(в-2)=ав-2а-2в+4 зеленых плиток.Так как количество красных и зеленых плиток поровну, то

2а+2в-4= ав-2а-2в+4.

4а+4в-ав=8,

а(4-в)=8-4в,

а=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=4+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Числа а и в являются натуральными, следовательно число в больше 4 и не больше 12.

Пусть в=5, тогда а=4+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=12,

в=6, тогда а=4+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=8

в=8, тогда а=4+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=6

в=12, тогда а=4+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=5

Значения в=7;9;10;11 не подходят по смыслу задачи, т.к. число а -целое Задача имеет два решения: всего могло быть использовано либо 5*12=60 плиток (30 красных и 30 зеленых ), либо 6*8=48 плиток (24 красных и 24 зеленых)

25.Вычислить 2010х2012х2014х2016+16

Решение: 2010х2012х2014х2016+16=(2013-3)(2013-1)(2013+1)(2013+3)+16=

(20132-9)(20132-1)+16=20134-9х20132-20132+10+16=20134-10х20132+25=(20132-5)2

26.Доказать, что произведение четырех последовательных четных(нечетных) натуральных чисел в сумме с числом 16 является натуральным числом.

Док-во: п(п+2)(п+4)(п+6)+16=((п+3)-3)((п+3)-1) ((п+3)+1)((п+3)+3)+16= ((п+3)2-9)((п+3)2-1)+

+16=(п+3)4-9(п+3)2-(п+3)2+9+16=(п+3)4-10(п+3)2+25=((п+3)2-5)2.

27.Решите уравнение: Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ -Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =1

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =1, введем новую переменную Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=у, где уТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧтогда у - Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=1

у2-у-2=0 , где у=-1 и у=2; у=-1 - посторонний корень. Значит Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=2 ; Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=4 ;

4х+4=2х ; 2х=-4; х=-2 . Найдем ОДЗ:Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 при хТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ. Х= -2 принадлежит ОДЗ ,Ответ: х=-2.



28.Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте как 3:2. Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

Решение: Пусть АВС равнобедренный треугольник с основанием АС и высотой ВК, где

АС: ВК=3:2. Пусть к- коэффициент пропорциональности, тогда АС=3к и ВК=2к.

S=1/2 АСхВК=1/2 3к*2к= 3к2 . R- радиус описанной окружности, r- радиус вписанной

В окружности. R=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ r=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

АК=1,5к , ВК= 2к , АВ=ВС=2,5к

R=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ= Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧк

А С r=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ к

К R: r=( Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧк ):(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ к) = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Ответ: Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

29.Обозначим через S=1!(12+1+1) + 2!(22+2+1) +…+2011!(20112+2011+1) .

Вычислите значение Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Решение: Исследуем произведение: n!(n2+n+1)=n!(n2+2n+1-n)=n!((n+1)2-n)=n!(n+1)2-n!n=

= n!(n+1)(n+1)-n!n=(n+1)!(n+1)- n!n . Значит n!(n2+n+1)= (n+1)!(n+1) - n!n. Следовательно

S=1!(12+1+1) + 2!(22+2+1) +…+2011!(20112+2011+1)= 2!2 - 1!1 + 3!3 - 2!2 + 4!4 - 3!3 + … +

+ 2011!2011 - 2010!2010 + 2012!2012 - 2011!2011 = 2012!2012 - 1.

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ= Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =2012

30.Доказать, что для любых положительных а и в верно неравенство

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Доказательство: Преобразуем левую часть неравенства :

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ) + (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ) +(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ)

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧнеравенствами а +в Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ верных для любых положительных чисел а и в

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧТема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ (1); Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ (2); Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх2=4 (3) Сложим почленно неравенства (1), (2) ,(3):

(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ) + (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ) +(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + 4 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ 4+4=8 .

Значит Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ +Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

31. Синус и косинус некоторого угла а оказались различными корнями квадратного трехчлена ах2+вх+с. Доказать, что в22+2ас.

Доказательство: По теореме Виета Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ; (1) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ (2) . Возведем обе части равенства (1) в квадрат:Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ + 2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ.

Т.к. Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =1 и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , то Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = 1+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ; умножим обе части равенства на а2 : в22+2ас , что и требовалось доказать.

32.Решите уравнение: (х3-2)(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1) + (Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-4)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ =0

Решение: (х3-2)(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1) = (4-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ . Т.к. |Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ|Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ1, то рассмотрим два случая:

1 случай: 0Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ1 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ; Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1=0 и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ при х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ первое решение х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ . Т.к. Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, то

либо а) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , либо б) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , т.е. выражения Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

числа одинаковых знаков. а)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , либо б) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

значит второе решение х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ .

2 случай: -1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

-Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ; Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1=0 и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ при х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Аналогичное решение х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Т.к. Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ-1Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ0 и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, то

либо а) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , либо б) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , т.е. выражения Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

числа одинаковых знаков. а)Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , либо б) Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧх=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

значит получаем аналогичное решение х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ .

Ответ: х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ .

33.Переднее колесо велосипеда изнашивается через 2000 км, а заднее через 3000 км. Какое максимальное расстояние можно проехать на одной паре колес, поменяв вовремя колеса местами? Через сколько км пробега следует поменять колеса?

Решение: Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ износ переднего колеса на 1 км, Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ износ заднего колеса на 1 км. Тогда

Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ(Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ+Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ - средний износ переднего и заднего колес на 1 км. Значит на одной паре колес можно проехать максимально 2400 км, поменяв их друг с другом через 1200 км.

34.Решить уравнение в действительных числах

Х4-2х32-2х+1=0

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители :.

Х4-2х32-2х+1=0 ; ( х42+1) - (2х3+2х)=0 ; (х4+2х2+1) - 3х2 - 2х(х2+1)=0 ;

2+1)2 -2х(х2+1) + х2 - 4х2 =0 ; (х2+1 -х)2 - 4х2=0 ; ( х2 +1-х-2х) ( х2 +1-х+2х)=0 ;

2 - 3х +1)(х2 -х + 1) = 0 . Приравняем каждый множитель к нулю и решим

получившиеся квадратные уравнения : 1) х2 - 3х +1=0 или 2) х2 -х + 1 =0

1) х2 - 3х +1=0 ; D=9-4=5 ; х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

2) х2 -х + 1 =0 ; D=1-4=-3 ; корней нет. ОТВЕТ: х=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ



35. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1 см и 4 см.

Решение: Пусть а, в - катеты, с - гипотенуза , r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности: r=1см, R=4см. В прямоугольном треугольнике радиус описанной около него окружности равен половине гипотенузы, то есть R=с/2, где с= 2R = 8 см, радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r = Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ, значит Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ=1 , следовательно а + в=10 см. Возведем обе части равенства в квадрат : (а + в)2 = 100 ; а2+2ав+в2=100 ; согласно теореме Пифагора а2 + в2 = с2 , то есть а2 + в2 = 64 . Значит 64+2ав=100. Отсюда 2ав=36 . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ , то разделив обе части последнего равенства на 4 получим

S=Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = 9 см2 ОТВЕТ: 9 см2

36. На доске написано 30 последовательных натуральных чисел. Известно, что сумма десяти из них - число простое. Может ли сумма оставшихся 20 чисел быть простым числом.

Ответ: Не может, так как среди 30 последовательных натуральных чисел 15 нечетных чисел, а среди десяти чисел, сумма которых является простым числом , количество нечетных чисел нечетно, а среди оставшихся 20 чисел количество нечетных чисел четно, а значит их сумма четное число и не может быть простым числом.

37.Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься, стоя на эскалаторе неподвижно?

Решение: Пусть С - длина эскалатора, х - скорость движения эскалатора, у -скорость движения человека. Тогда Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ = 1 мин.=60 сек. и Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ= 45 сек. Отсюда

С=60(х+у) и С=45(х+2у). Значит 60(х + у) = 45(х+2у) , то есть 15х=30у или х=2у.

Время спуска ,стоя неподвижно на эскалаторе, определяется отношением Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ .

С=60(2у+у)=180у. Значит 180у/(2у)=90 сек.=1,5 мин.=1 мин.30 сек.

38. Доказать, для любых а и в верно неравенство а2+ав+в2 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ3(а+в-1)

Доказательство: Сделаем замену а=1+х, в=1+у

(1+х)2+(1+х)(1+у)+(1+у)2Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ 3(х+1+у+1-1) . После раскрытия скобок получили х2+ху+у2 Тема разработки РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ 0. Это неравенство верно при всех х и у, так как х2+ху+у2=(х+у/2)2+3у2/4

















© 2010-2022