Рабочая тетрадь «Первообразная и интеграл»

Пояснительная записка

В структуре изучаемого предмета Математика выделяется следующий раздел: « Первообразная и интеграл».

Основная цель раздела - формирование представлений о понятиях первообразной, неопределенного интеграла, определенного интеграла. Овладение умением применения первообразной функции при решении задачи вычисления площадей криволинейных трапеций и других плоских фигур.

Назначение данной тетради - помочь обучающему в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математики.

Главной методической особенностью тетради является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения обучающимися материала по разделу.

После изучения раздела «Первообразная и интеграл», с помощью рабочей тетради, обучающиеся должны:

Знать

Уметь

- определение первообразной ;

- геометрический и физический смысл первообразной функции ;

-свойства первообразной функции ;

-правила нахождения первообразной функции;

- определение неопределенного и определенного интеграла ;

- определение криволинейной трапеции.

-применять свойства первообразной функции для нахождения первообразной функции ;

-находить первообразную функции используя правила нахождения первообразной функции;

-вычислять неопределенный и определенный интеграл;

- вычислять площадь криволинейной трапеции.

Урок 1

Тема: «Первообразная функции».

1.Сформулировать определение первообразной.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Сформулировать три правила нахождения первообразной.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Заполните таблицу первообразных для функций f(х):

Функция y=f(x)

Первообразная y=F(x)

0

1

x

(nN)

4. Сформулировать три правила нахождения первообразной.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Записать общий вид первообразной функций у = х-7,

__________________________________________________

у = +

___________________________________________________

6. Для функции у = 2cosх укажите первообразную F, график которой проходит через точку М(;0).

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Доказать, что функция F(х) = х³ - 5х является одной из первообразных функции f(х) = х² - 5 на промежутке (-∞;+∞).

Урок 2

Тема: «Неопределенный интеграл»

1.Сформулировать определение неопределенного интеграла.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Перечислите правила интегрирования.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Заполните таблицу основных неопределенных интегралов

Таблица основных интегралов:

4. Вычислите:

____________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. Подбери решение :

1.

5.

9.

2.

6.

10.

3.

7.

11.

4.

8.

12.

Ответы:

1.

5.

9.

2.

6.

10.

3.

7.

11.

4.

8.

12.

Урок 3.

Тема: «Определенный интеграл».

1.Сформулировать определение определенного интеграла.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Сформулируйте геометрический и физический смысл определенного интеграла.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Вычислите 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 3.

4. Вычислите

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке ч определяется по формуле ρ=ρ(х). Найдите массу стержня длиной l, если :

Ρ(х)=х²-х+1 ,l=6

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Урок 4.

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

1.Сформулировать определение криволинейной трапеции.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.Записать формулу Ньютона-Лейбница.

_______________________________________________________________________________

3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = - х² + 3 и у = 0

1) 4; 2) 6; 3) 9; 4) 8.

4. По данным, указанным на чертеже, найти площадь заштрихованной фигуры:

у

1

О 1

5. Выполнить рисунок к задаче о нахождении площади фигуры, которая вычисляется по формуле: - + .

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = -х2 + 3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой хо = 1.

Тест зачет

Первообразная и интеграл

Вариант 1

А1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?

1)2) 3) 4)

А3. Найдите общий вид первообразных для функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А5. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1) 2) 3) 4)

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1) 2) 3) 4) Рис. 1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1) 2) 3) 4)

Рис. 2

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1) 2) 3) 4)

Рис. 3

Вариант 2

А1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3) 4)

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?

1)2) 3) 4)

А3. Найдите общий вид первообразных для функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А5. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А6. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1) 2) 3) 4)

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1) 2) 3) 4) Рис. 1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1) 2) 3) 4)

Рис. 2

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1) 2) 3) 4)

Рис. 3

Ответы:

Контрольная работа №1.

Вариант №1

Вариант №2

1. Докажите, является первообразной для , если:

,

.

,

.

2. Вычислите интегралы:

1) ;

2).

1) ;

2).

3. Для функции

Найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в точке - отрицательное число.

3. Для функции

Найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в точке - положительное число.

4. При каком значении параметра наибольшее на промежутке значение функции является наименьшим?

Контрольная работа №2 по теме: Первообразная и интеграл.

1 Вариант.

Оценка 3

1. Определите функцию, для которой F(x) = x² - sin2x - 1 является первообразной:

1) f(x) = ; 2) f(x) = 2x - 2cos2x; 3) f(x) = 2x +cos2x; 4) f(x) = cos2x + x.

2. Найдите первообразную для функции. F (x) = 4х³ + cos x

1) F(x) = 12x² - sinx + c; 2) F(x) = 4x³ + sinx + c; 3) F(x) = x⁴ - sinx + c; 4) F(x) = x⁴ + sinx + c.

3. Для функции f(x) = х² найдите первообразную F, принимающую заданное значение в заданной точке F (- 1) = 2

1) F(x) = ; 2) F(x) = 2x + ; 3) F(x) = - ; 4) F(x) = .

4. Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t². Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м /сек. 1) 18 м; 2) 12м; 3) 17м; 4) 20 м.

5. Вычислите 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 3.

6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = - х² + 3 и у = 0

1) 4; 2) 6; 3) 9; 4) 8.

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = х

1) 2; 2) 1; 3) 2; 4) 1.

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 - х², касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = - 1 и прямой х = 0

1) 1; 2) 2; 3) ; 4) 1.

Оценка 4

9. Вычислите

_10. Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х - 1)(х + 2) и её первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.

Оценка 5

_11. Найдите ту первообразную функции f(x) = 3х - 1 , для которой уравнение F(x) = 5 имеет единственный корень.

2 Вариант.

Оценка 3

1. Определите функцию, для которой F(x) = - cos - x³ + 4 является первообразной:

1) f(x) = - sin - 3x²; 2) f(x) = sin - 3x²; 3) f(x) = - sin - 3x²;

4) f(x) = 2sin - 3x² .

2. Найдите первообразную для функции f(x) = x² - sinx

1) F(x) =- cos x + c; 2) F(x) = 2x - cosx + c; 3) F(x) = + cosx + c;

4) F(x) = + sinx + c.

3. Для функции f(x) = 2x - 2 найдите первообразную F, график которой проходит через точку А(2;1)

1) F(x) = - х² - 2х - 1; 2) F(x) = х² + 2х + 2; 3) F(x) = 2х² - 2; 4) F(x) = х² - 2х + 1.

4. Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) =3 + 0,2 t. Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 сек., если скорость измеряется в м /сек

1) 22, 8 м; 2) 29 м; 3) 23 м; 4) 13 м.

5. Вычислите 1) ; 2) 3 - 3; 3) 0; 4) 3 - 3 .

6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х², у = 0, х = 2

1) 5; 2) 2; 3) 5; 4) 2.

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 - х² , у = 1

1) 16; 2) 5; 3) 11 ; 4) 10 .

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = - х² + 3, касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0.

1) 2; 2) ; 3) 2; 4) .

Оценка 4

9 Вычислите

10. Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х - 3)(х + 2) и её первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.

Оценка 5

11. Найдите ту первообразную функции f(x) = 2х + 5 , для графика которой прямая у = 7х - 3 является касательной.

Литература:

1.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). М.: Мнемозина, 2008 г.

2.virtualcard.ru