Справочный материал для учащихся 6 класса

Раздел Математика
Класс 6 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

ОТНОШЕНИЯ

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Записуем так a : b либо Справочный материал для учащихся 6 класса

Отношение показует, во сколько раз первое число больше другого, либо какую часть первое число составляет от другого. Числа, которые образуют это отношение являются его членами.

Например: Сколько раз Справочный материал для учащихся 6 класса м вмещается в Справочный материал для учащихся 6 класса м ?

Справочный материал для учащихся 6 класса: Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса : Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса = 6

Если члены отношения поменять местами, то полученное отношение называют обратным к даному отношению

Справочный материал для учащихся 6 классаі Справочный материал для учащихся 6 класса - называют взаимно обратными

Например: 4 : 7 і 7 : 4 ; Справочный материал для учащихся 6 класса і Справочный материал для учащихся 6 класса

Действительно, отношение - это деление. a : b = Справочный материал для учащихся 6 класса



ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ОТНОШЕНИЯ



Члены отношения - это числитель и знаменатель дроби. Поэтому основное свойство дроби можно назвать основным свойством отношения.

Основное свойство отношения: отношение не изменится, если каждый член отношения умножить или поделить на одно и то же число, отличное от нуля: Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса

Например:

Справочный материал для учащихся 6 класса=Справочный материал для учащихся 6 класса



МАСШТАБ

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.

То есть карта с масштабом 1 : 5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Переводим 5000 см в метры 5000 см = 50 м

Например:

Задача 1: Пользуясь картой масштабом 1 : 12 250 000, найдите расстояние между Астаной и Таразом на местности, если на карте это расстояние равно 7,5 см.

Решение:

12250000 : 100 = 122500 (м)

122500 : 1000 = 122,5 (км)

Что бы перейти от метров к км нужно запятую перенести на 5 цифр влево, что соответствует делению на 100000.

│1см - 122.5 км│ Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; хСправочный материал для учащихся 6 класса 919(км)

↓ 7,5 см - х км ↓

Ответ: от Астаны до Тараза 919 км.

Задача 2: Найти масштаб карты, если расстояние от пункта А к пункту В на местности составляет 1500 км, а на карте - 7,5 см.

Решение:

│7,5 см - 1500 км│ Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = 200 (км)

↓1 см - х км ↓ 200 км = 20 000 000 см

Ответ: М = 1 : 20 000 000



ПРОПОРЦИЯ

Равенство двух отношений називают пропорцией.

Записуется: Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса либо a : b = c : d

Читают так : a так относится к b , как c относится к d . Числа a і d називают крайними членами пропорции, а числа b і c - средними членами. Считаем, что a ,b, c, d не равны 0.

Например: Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса ; 1,1 : 22 = 3,3 : 66; 5 : 1, 5 = 15 : 4,5

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Основное свойство пропорции :

В истинной (верной) пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, и наоборот: если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция истинна(верна).

Справочный материал для учащихся 6 класса

Например:

1) 12 : 3 = 20 : 5 - истинная пропорция, поскольку 12Справочный материал для учащихся 6 класса

2) 40 : 8 = 24 : 4 - не истинная пропорция, поскольку 40 Справочный материал для учащихся 6 класса

Если в истинной(верной) пропорции поменять местами средние либо крайние члены, то получим новые истинные(верные) пропорции:

Справочный материал для учащихся 6 класса= Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса .

Если три члена истинной(верной) пропорции известны, то неизвестный член можно найти, используя основное свойство пропорции:

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

a = Справочный материал для учащихся 6 класса Справочный материал для учащихся 6 класса

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Справочный материал для учащихся 6 класса

Например: 1) Х : 20 = 2 : 5 , х =Справочный материал для учащихся 6 класса , х = 8

2) 15 : х = 20 : 4, Справочный материал для учащихся 6 класса , х = 3

ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Две переменные величины, отношение соответствующих значений которых постоянно, называют прямо пропорциональными.

Это означает, что при увеличении(уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается(уменьшается) во столько же раз.

Примеры прямо пропорциональных величин:

  1. Движение с постоянной скоростью: пройденное расстояние прямо пропорционально потраченному времени. (Справочный материал для учащихся 6 класса)

  2. Если покупают одинаковый товар по фиксированной цене, стоимость товара прямо пропорциональна его количеству.

  3. Периметр квадрата с длинной стороны a является прямо пропорциональной длине стороны, поскольку P = 4 Справочный материал для учащихся 6 класса , то Справочный материал для учащихся 6 класса - постоянная величина.

  4. Номер этажа и количество ступеней, которые ведут на этот этаж.

  5. Масса тела и его объем.

  6. Число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению этой величины.

Например: Задача: Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км. За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же самой скоростью?

Решение:

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

│264 км - 3 ч │

↓440 км - х ч ↓

Справочный материал для учащихся 6 класса=Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса ; Справочный материал для учащихся 6 класса; х = 5(ч)

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов

ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Две переменные величины, произведение соответствующих значений которых постоянно, называются обратно пропорциональными.

Это значит, что при увеличении(уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается(увеличивается) во столько же раз.

Примеры обратно пропорциональных величин:

  1. Если пройденное расстояние остается постоянным, то потраченное время и скорость обратно пропорциональны. ( vСправочный материал для учащихся 6 класса)

  2. Ширина и длина прямоугольника с постоянной площадью. (Справочный материал для учащихся 6 класса).

  3. Время, за которое будет выполнен определенный объем работы, и количество работников.

Например:

Задача: Изготовляя 42 детали в час, работник работал 8 часов. Сколько времени понадобилось бы ему на эту же самую работу, если он изготовлял бы в час 48 дет.?

Решение: Пусть работник сделает эту же самую работу за х часов.

│42 дет в час - 8 ч ↑

↓48 дет в час - х ч │

Имеем обратно пропорциональную зависимость: во сколько раз больше деталей будет изготовлять работник, во столько же раз меньше ему нужно будет времени на одну и ту же работу. Используя свойство обратной пропорциональности , запишем: Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х =7

Ответ: работник сделает ту же самую работу за 7 часов

ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ

Деление числа в заданном соотношении

Чтобы поделить число на части, пропорциональные данным числам, нужно поделить его на сумму данных чисел и найденное частное умножить на каждое из них.

Например:

Задача 1 : Провод длиной 60 м разрезали на 3 части, длины которых пропорциональны числам 2, 3 і 5. Найдите длины этих частей провода.

Решение: 1) 60 : (2 + 3 + 5) = 6(м)

2) 6 ∙ 2 = 12 (м) 3) 3 ∙ 6 = 18 (м) 4) 5 ∙ 6 = 30 (м)

Ответ : 12м ; 18м ; 30м

Отдельным видом задач на пропорциональное деление являются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и произведению.

Задача 2 : Поле площадью 100 га поделили на две части, площади которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите площади этих частей.

Решение: 1) 100 : (2 + 3) = 20(га) ; 2) 2 ∙ 20 = 40(га); 3) 3 ∙ 20 = 60(га)

Ответ : 40 га і 60 га

Задача 3. Поле площадью 100 га поделили на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите площади этих частей.

Решение: Пусть коеффициент пропорциональности равен х. Тогда :

  1. 2х + 3х = 100 ; 5х = 100 ; х =20.

  2. 2 ∙ 20 = 40(га) 3) 3 ∙ 20 = 60(га)

Ответ : 40 га і 60 га



ПРОЦЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ

Отношение чисел или величин можно выражать в процентах, для этого отношение нужно умножить на 100%.

Один процент - это одна сотая часть

1% = 0,01 50% = 0,5 100% = 1 200% = 2

Например:

  1. 3 : 5 = 0,6 = 0,6 ∙ 100% = 60%

Говорят, что число 3 составляет 60% от числа 5, или что процентное соотношенние чисел 3 і 5 равно 60%.

  1. Найти процентное соотношение чисел 15 і 10 :

15 : 10 = 1,5 = 1,5 ∙ 100% = 150%

Число 15 составляет 150% от числа 10.

  1. Задача: Вместо плановых 80 деталей работник изготовил 90 деталей. Сколько процентов плана выполнил работник?

Решение:

Чтоб ответить на вопрос задачи, нужно найти отношение чисел 90 і 80 и выразить его в процентах.

90 : 80 = 1,125 = 1.125 ∙ 100% = 112,5%

Ответ : работник выполнил 112,5% плана.

Задачи на проценты можно решать и при помощи пропорций.

Число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению величины, которая соответствует этим процентам. Помним, что 100% некоторой величины - это сама величина.

Например:

Задача 1 : Из свежих слив выходит 21% сушеных. Сколько сушеных слив можно получить из 80 кг свежих?

Решение: │80 кг - 100%│ Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = 16,8 (кг)

↓Х кг - 21%↓

Ответ : 16,8 кг

Задача 2 : Банк дал предпринимателю кредит 10 000 грн. со ставкой 7% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через пол года?

Решение:

  1. 7 ∙ 0,5 = 3,5% = 0,035 - % ставка за пол года.

  2. 10 000 ∙ 0,035 = 350(грн.) - % , которые будут начислены за полгода.

  3. 10 000 + 350 = 10 350(грн.) - сумма, которую нужно вернуть.

Ответ : 10 350 грн.

Задача 3 : В процессе перегонки нефти из нее получают 30% газа. Сколько нужно нефти, чтобы получить 9т газа?

Решение:

Пусть, чтобы получить 9т газа, нужно переработать Х т нефти.

│Х т - 100%│ Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = 30(т) - масса нефти

↓9т - 30% ↓

Ответ : 30 т

Задача 4 : Цену на товар, который стоил 200грн., снизили на 10%. На сколько процентов нужно поднять новую цену, чтоб получить начальную?

Решение: 200грн. - 100%, а сниженная цена составляет - 100% - 10% = 90% от начальной.

Пусть цена после снижения составляет х грн. Тогда:

│200 грн. - 100% │ 1) Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = 180(грн.)

↓Х грн. - 90% Справочный материал для учащихся 6 класса

2) Теперь новая цена составляет 100%. Пусть начальная цена (200грн.) составляет х% от новой. Тогда:

│180 грн. - 100%│ Справочный материал для учащихся 6 класса = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса ; х = Справочный материал для учащихся 6 класса

↓200 грн. - х% ↓

3) Справочный материал для учащихся 6 класса - 100% = Справочный материал для учащихся 6 класса

Ответ: новую цену нужно поднять на Справочный материал для учащихся 6 класса

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ



Событие - это явление, которое обязательно наблюдалось некоторое количество раз при многоразовом повторении эксперимента .

Подкидываем монету - эксперимент, появление орла - событие. Достаем лампу из коробки - эксперимент, лампа бракованая - событие.

Событие, которое при одних и тех же самых условиях может произойти или не произойти, называют случайным.

Например:

  1. Подкинутая монета выпадет гербом кверху;

  2. Команда нашего класса выиграет футбольный матч.

Виды событий

↙ ↓ ↘

Случайные Достоверные Невозможные

Достоверные события - происходят обязательно при данных условиях.

Невозможные события - никогда не происходят при данных условиях.

Например: В коробке 3 красных и 3 зеленых яблока. Не глядя в коробку, наугад достаем из него 1 яблоко.

A : «взяли красное яблоко» - случайное событие;

В : «взяли желтое яблоко» - невозможное событие;

С : «взяли зеленое яблоко» - случайное событие;

D : «взяли яблоко» - достоверное событие.

События А, С - равновозможные

Случайные события могут быть более вероятными, менее вероятными и равновероятными , то есть случайное событие можно охарактеризовать понятием вероятность.

Вероятность события - численное выражение возможности его наступления.

Например: Произошло 100 подкидываний монеты , герб выпал 52 раза. Тогда вероятность выпадания герба равна: Справочный материал для учащихся 6 класса = 0,52 = 52%

Вероятность вычисляют по такому плану:

  1. Найдем количество всех возможных исходов, которые имеют шансы для появления(либо перебираем все исходы, либо вычисляем). Обозначим их количество буквой n.

  2. Найдем количество исходов, которые ведут к появлению данного события - благоприятные исходы. Обозначим их количество буквой m.

  3. Найдем вероятность события А по формуле : Р(А) = Справочный материал для учащихся 6 класса

Например:

Задача 1 : Какая вероятность того, что наугад вырванный из нового календаря листок отвечает 30 числу, если в году 365 дней.

Решение: Событие А - вырванный листок отвечает числу 30.

n = 365 - общее количество возможных исходов.

m = 11 - количество благоприятных исходов.

P(A) = Справочный материал для учащихся 6 класса P(A) = Справочный материал для учащихся 6 класса

Ответ :Справочный материал для учащихся 6 класса

Задача 2: В урне 4 белых и 3 красных шарика. Не заглядывая в урну , наугад выбирают 1 шарик. Событие А - вытянули белый шарик. Событие В - вытянули красный шарик. Событие С - вытянули зеленый шарик. Событие D - вытянули шарик. Посчитать Р(А), Р(В), Р(С), Р(D).

Решение: 1) Событие А - вытянули белый шарик : n = 3 + 4 = 7 ; m = 4 ; P(A) = Справочный материал для учащихся 6 класса

2) Событие В - вытянули красный шарик: n = 3 + 4 = 7 ; m = 3 ; P(В) = Справочный материал для учащихся 6 класса

3) Событие С - вытянули зеленый шарик - невозможное событие

n = 3 + 4 = 7 ; m = 0 ; P(С) = Справочный материал для учащихся 6 класса

4) Событие D - вытянули шарик. - достоверное событие

n = 3 + 4 = 7 ; m = 7 ; P(D) = Справочный материал для учащихся 6 класса

Ответ : P(A) = Справочный материал для учащихся 6 класса ; P(В) = Справочный материал для учащихся 6 класса ; P(С) = Справочный материал для учащихся 6 класса ; P(D)= Справочный материал для учащихся 6 класса

Вероятность невозможного события всегда равна 0, вероятность достоверного события всегда равна 1 , вероятность случайного события удовлетворяет условию 0Справочный материал для учащихся 6 класса.

ГРАФИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ШАНСОВ

Задача : Есть три коробки с шарами: в первой - 3 шара, в другой - 5 шаров, в третьей - 15 шаров. В каждой из них по одному красному шару. Нужно вынуть красный шар. Из какой коробки имеет смысл вынуть шар, чтобы шансы вынуть красный шар были наибольшими.

Решение: Все события являются случайными , но шансы разные.

1) Р = Справочный материал для учащихся 6 класса ; 2) Р = Справочный материал для учащихся 6 класса ; 3) Р = Справочный материал для учащихся 6 класса.

Изобразим на координатном луче Справочный материал для учащихся 6 класса.

3м 2м 1м

0−│−−│−−│−−−−−−−−−→1

Справочный материал для учащихся 6 класса Справочный материал для учащихся 6 класса Справочный материал для учащихся 6 класса

Видим, что наименьшие шансы - точка , ближайшая к 0, а наибольшие - точка ближайшая к 1. Чем больше Р, тем вероятность события большая.

Ответ целесообразно вытянуть шар из первой коробки.

Сравнивать вероятность можно, сравнивая соответствующие числа.



СРАВНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ПЕРЕБОРА ВАРИАНТОВ

Задача : Рассмотрим упрощенный вариант игры в спорт лото. Сначала игрок вычеркивает два числа на бланке.

1

2

3

4

5

Потом случайно выбираем шары из коробки, в которой лежит 5 шаров, занумерованых числами 1, 2, 3, 4, 5. Сравните шансы (вероятность) таких событий:

  1. Игрок угадает оба номера вытянутых шаров;

  2. Игрок угадает лишь один номер;

  3. Игрок угадает хотя бы один номер;

  4. Игрок не угадает ни одного номера.

Решение:

Имеем всего 10 исходов случайного выбора номеров шаров: 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 3,4 ; 3,5 ; 4,5. Представим, что выигрышные номера 1 и 3. Посчитаем количество исходов, при которых происходят события 1) - 4) и результаты вычислений занесем в таблицу :

Событие

исходы, при которых происходит событие

Количество исходов из 10

1)

1,3

1

2)

1,2; 1,4; 1,5; 2,3; 3,4; 3,5

6

3)

1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 2,3; 3,4; 3,5

7

4)

2,4; 2,5; 4,5

3

Понятно, что чем больше исходов, при которых происходит событие, тем больше шансов для его появления. Поэтому , если разместить события в порядке возростания шансов их появления, будем иметь : 1); 4); 2); 3).

Итак, сравнивать шансы появления случайных событий можно так:

  1. Подсчитать количество всех возможных исходов появления событий.

  2. Подсчитать те из них, которые ведут к появлению обусловленных в задаче случайных событий.

  3. То событие, которое имеет больше всех исходов, что к нему приведут, и будет иметь наибольшее количество шансов для появления.

ОКРУЖНОСТЬ

Справочный материал для учащихся 6 класса

Окружность - это фигура, которая состоит из точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.

Отрезок, который соединяет любую точку окружности с центром окружности, называется радиусом окружности.

Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр окружности, называется диаметром окружности.

Для всех окружностей отношение длинны окружности к ее диаметру есть величина неизменная. Ее приближенное значение - три целых четырнадцать сотых. Эта величина обозначена греческой буквой Справочный материал для учащихся 6 класса.

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Длинна окружности вычисляется по формуле: c = Справочный материал для учащихся 6 классаd либо c = 2 Справочный материал для учащихся 6 классаrСправочный материал для учащихся 6 класса. При этом d - это длина диаметра окружности, r - длина радиуса окружности.

То есть, чтобы найти длину окружности, нужно ее диаметр умножить на Справочный материал для учащихся 6 класса либо два радиуса умножить на Справочный материал для учащихся 6 класса.

КРУГ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.

Справочный материал для учащихся 6 класса

Объединение окружности и его внутренней области называют кругом.

Площадь круга вычисляется по формуле: S =Справочный материал для учащихся 6 класса r2, або S = Справочный материал для учащихся 6 класса d2.

То есть, чтобы найти площадь круга, нужно квадрат радиуса умножить наСправочный материал для учащихся 6 класса, либо квадрат диаметра умножить наСправочный материал для учащихся 6 класса и поделить на четыре. Площадь круга также выражается как произведение половины длины его окружности на радиус.

КРУГОВОЙ СЕКТОР



Часть круга, ограниченная двумя его радиусами, называется круговым сектором.

Справочный материал для учащихся 6 класса



ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр - это тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг прямой, которая содержит одну из его сторон.

Справочный материал для учащихся 6 классаСправочный материал для учащихся 6 класса

Конус - это тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одной из двух его сторон, которые образуют прямой угол. .

Справочный материал для учащихся 6 классаСправочный материал для учащихся 6 классаСправочный материал для учащихся 6 класса

Шар - тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг его диаметра

Справочный материал для учащихся 6 классаСправочный материал для учащихся 6 классаСправочный материал для учащихся 6 класса

ДИАГРАМЫ

Для наглядного изображения числовых значений разных величин используют диаграммы. Слово "диаграмма" греческого происхождения, что значит "рисунок".

Диаграмма - это символический рисунок, который наочно иллюстрирует соотношения между значениями величин

Диаграммы бывают : линейные, столбчастые, круговые.

Линейная диаграмма состоит из нескольких отрезков

Например:

Задача : Вес Юры равен 25 кг, Саши - 36 кг, Лены - 28 кг, Игната - 47 кг, Нины - 41 кг. Постройте линейную диаграмму данных величин.

0

10

20

30

40

50

Юра

Саша

Лена

Игнат

Нина

Вес, кг

Вес каждого ученика изобразим при помощи отрезка длинной 1 мм. Длинна отрезка, который изображает вес Юры, будет равна 25 мм, Саши - 36 мм, Лены - 28 мм, Игната - 47 мм, Нины - 41 мм.

Столбчастая диаграмма это та же линейная диаграмма, но в ней отрезки заменены прямоугольниками.

Задача В коллекции Романа три вида марок: про птиц - 30 марок, про животных - 40, про автомобили - 50 марок. Постройте диаграмму соотношения между этими марками.

  • Выбрать масштаб (1 см = 10 марок).

  • Изобразить величины прямоугольниками, высоты которых являются соответствующими значениями данных величин, выраженных в избранном масштабе.





Круговая диаграмма имеет вид круга, поделенного радиусами на части (сектора). Поэтому такие диаграмми называют также секторными.

Задача В коллекции Романа три вида марок: про птиц - 30 марок, про животных - 40, про автомобили - 50 марок. Постройте круговую диаграмму соотношения между этими марками.

  • Находим сколько всего марок у Романа.

  • Определяем, какую часть всех марок составляют марки каждого вида.

  • Определяем градусные меры углов

  • Строим произвольную окружность и делим на сектора с соответствующими углами.

30 + 40 + 50 = 120 (марок) 360° : 120 = 3° (на одну марку)
3°·30 = 90° (птицы) 3°·40 = 120° (животные) 3°·50 = 150° (автомобили)



© 2010-2022