- Преподавателю
- Математика
- Справочный материал для учащихся 6 класса
Справочный материал для учащихся 6 класса
Раздел | Математика |
Класс | 6 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Изотова Е.В. |
Дата | 25.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
ОТНОШЕНИЯ
Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
Записуем так a : b либо
Отношение показует, во сколько раз первое число больше другого, либо какую часть первое число составляет от другого. Числа, которые образуют это отношение являются его членами.
Например: Сколько раз м вмещается в м ?
: = : = = 6
Если члены отношения поменять местами, то полученное отношение называют обратным к даному отношению
і - называют взаимно обратными
Например: 4 : 7 і 7 : 4 ; і
Действительно, отношение - это деление. a : b =
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ОТНОШЕНИЯ
Члены отношения - это числитель и знаменатель дроби. Поэтому основное свойство дроби можно назвать основным свойством отношения.
Основное свойство отношения: отношение не изменится, если каждый член отношения умножить или поделить на одно и то же число, отличное от нуля: =
Например:
=
МАСШТАБ
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
То есть карта с масштабом 1 : 5000 означает, что 1 см на карте соответствует 5000 см на местности. Переводим 5000 см в метры 5000 см = 50 м
Например:
Задача 1: Пользуясь картой масштабом 1 : 12 250 000, найдите расстояние между Астаной и Таразом на местности, если на карте это расстояние равно 7,5 см.
Решение:
12250000 : 100 = 122500 (м)
122500 : 1000 = 122,5 (км)
Что бы перейти от метров к км нужно запятую перенести на 5 цифр влево, что соответствует делению на 100000.
│1см - 122.5 км│ = ; х = ; х 919(км)
↓ 7,5 см - х км ↓
Ответ: от Астаны до Тараза 919 км.
Задача 2: Найти масштаб карты, если расстояние от пункта А к пункту В на местности составляет 1500 км, а на карте - 7,5 см.
Решение:
│7,5 см - 1500 км│ ; х = ; ; х = 200 (км)
↓1 см - х км ↓ 200 км = 20 000 000 см
Ответ: М = 1 : 20 000 000
ПРОПОРЦИЯ
Равенство двух отношений називают пропорцией.
Записуется: = либо a : b = c : d
Читают так : a так относится к b , как c относится к d . Числа a і d називают крайними членами пропорции, а числа b і c - средними членами. Считаем, что a ,b, c, d не равны 0.
Например: ; ; 1,1 : 22 = 3,3 : 66; 5 : 1, 5 = 15 : 4,5
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
Основное свойство пропорции :
В истинной (верной) пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, и наоборот: если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция истинна(верна).
Например:
1) 12 : 3 = 20 : 5 - истинная пропорция, поскольку 12
2) 40 : 8 = 24 : 4 - не истинная пропорция, поскольку 40
Если в истинной(верной) пропорции поменять местами средние либо крайние члены, то получим новые истинные(верные) пропорции:
= ; = ; = ; = .
Если три члена истинной(верной) пропорции известны, то неизвестный член можно найти, используя основное свойство пропорции:
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
a =
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Например: 1) Х : 20 = 2 : 5 , х = , х = 8
2) 15 : х = 20 : 4, , х = 3
ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Две переменные величины, отношение соответствующих значений которых постоянно, называют прямо пропорциональными.
Это означает, что при увеличении(уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается(уменьшается) во столько же раз.
Примеры прямо пропорциональных величин:
-
Движение с постоянной скоростью: пройденное расстояние прямо пропорционально потраченному времени. ()
-
Если покупают одинаковый товар по фиксированной цене, стоимость товара прямо пропорциональна его количеству.
-
Периметр квадрата с длинной стороны a является прямо пропорциональной длине стороны, поскольку P = 4 , то - постоянная величина.
-
Номер этажа и количество ступеней, которые ведут на этот этаж.
-
Масса тела и его объем.
-
Число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению этой величины.
Например: Задача: Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км. За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же самой скоростью?
Решение:
Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.
│264 км - 3 ч │
↓440 км - х ч ↓
= ; ; ; х = 5(ч)
Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Две переменные величины, произведение соответствующих значений которых постоянно, называются обратно пропорциональными.
Это значит, что при увеличении(уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается(увеличивается) во столько же раз.
Примеры обратно пропорциональных величин:
-
Если пройденное расстояние остается постоянным, то потраченное время и скорость обратно пропорциональны. ( v)
-
Ширина и длина прямоугольника с постоянной площадью. ().
-
Время, за которое будет выполнен определенный объем работы, и количество работников.
Например:
Задача: Изготовляя 42 детали в час, работник работал 8 часов. Сколько времени понадобилось бы ему на эту же самую работу, если он изготовлял бы в час 48 дет.?
Решение: Пусть работник сделает эту же самую работу за х часов.
│42 дет в час - 8 ч ↑
↓48 дет в час - х ч │
Имеем обратно пропорциональную зависимость: во сколько раз больше деталей будет изготовлять работник, во столько же раз меньше ему нужно будет времени на одну и ту же работу. Используя свойство обратной пропорциональности , запишем: = ; х = ; х =7
Ответ: работник сделает ту же самую работу за 7 часов
ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
Деление числа в заданном соотношении
Чтобы поделить число на части, пропорциональные данным числам, нужно поделить его на сумму данных чисел и найденное частное умножить на каждое из них.
Например:
Задача 1 : Провод длиной 60 м разрезали на 3 части, длины которых пропорциональны числам 2, 3 і 5. Найдите длины этих частей провода.
Решение: 1) 60 : (2 + 3 + 5) = 6(м)
2) 6 ∙ 2 = 12 (м) 3) 3 ∙ 6 = 18 (м) 4) 5 ∙ 6 = 30 (м)
Ответ : 12м ; 18м ; 30м
Отдельным видом задач на пропорциональное деление являются задачи на нахождение двух чисел по их сумме и произведению.
Задача 2 : Поле площадью 100 га поделили на две части, площади которых пропорциональны числам 2 и 3. Найдите площади этих частей.
Решение: 1) 100 : (2 + 3) = 20(га) ; 2) 2 ∙ 20 = 40(га); 3) 3 ∙ 20 = 60(га)
Ответ : 40 га і 60 га
Задача 3. Поле площадью 100 га поделили на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите площади этих частей.
Решение: Пусть коеффициент пропорциональности равен х. Тогда :
-
2х + 3х = 100 ; 5х = 100 ; х =20.
-
2 ∙ 20 = 40(га) 3) 3 ∙ 20 = 60(га)
Ответ : 40 га і 60 га
ПРОЦЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ
Отношение чисел или величин можно выражать в процентах, для этого отношение нужно умножить на 100%.
Один процент - это одна сотая часть
1% = 0,01 50% = 0,5 100% = 1 200% = 2
Например:
-
3 : 5 = 0,6 = 0,6 ∙ 100% = 60%
Говорят, что число 3 составляет 60% от числа 5, или что процентное соотношенние чисел 3 і 5 равно 60%.
-
Найти процентное соотношение чисел 15 і 10 :
15 : 10 = 1,5 = 1,5 ∙ 100% = 150%
Число 15 составляет 150% от числа 10.
-
Задача: Вместо плановых 80 деталей работник изготовил 90 деталей. Сколько процентов плана выполнил работник?
Решение:
Чтоб ответить на вопрос задачи, нужно найти отношение чисел 90 і 80 и выразить его в процентах.
90 : 80 = 1,125 = 1.125 ∙ 100% = 112,5%
Ответ : работник выполнил 112,5% плана.
Задачи на проценты можно решать и при помощи пропорций.
Число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению величины, которая соответствует этим процентам. Помним, что 100% некоторой величины - это сама величина.
Например:
Задача 1 : Из свежих слив выходит 21% сушеных. Сколько сушеных слив можно получить из 80 кг свежих?
Решение: │80 кг - 100%│ = ; х = ; х = 16,8 (кг)
↓Х кг - 21%↓
Ответ : 16,8 кг
Задача 2 : Банк дал предпринимателю кредит 10 000 грн. со ставкой 7% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через пол года?
Решение:
-
7 ∙ 0,5 = 3,5% = 0,035 - % ставка за пол года.
-
10 000 ∙ 0,035 = 350(грн.) - % , которые будут начислены за полгода.
-
10 000 + 350 = 10 350(грн.) - сумма, которую нужно вернуть.
Ответ : 10 350 грн.
Задача 3 : В процессе перегонки нефти из нее получают 30% газа. Сколько нужно нефти, чтобы получить 9т газа?
Решение:
Пусть, чтобы получить 9т газа, нужно переработать Х т нефти.
│Х т - 100%│ = ; х = ; х = 30(т) - масса нефти
↓9т - 30% ↓
Ответ : 30 т
Задача 4 : Цену на товар, который стоил 200грн., снизили на 10%. На сколько процентов нужно поднять новую цену, чтоб получить начальную?
Решение: 200грн. - 100%, а сниженная цена составляет - 100% - 10% = 90% от начальной.
Пусть цена после снижения составляет х грн. Тогда:
│200 грн. - 100% │ 1) ; х = ; х = 180(грн.)
↓Х грн. - 90%
2) Теперь новая цена составляет 100%. Пусть начальная цена (200грн.) составляет х% от новой. Тогда:
│180 грн. - 100%│ = ; х = ; х =
↓200 грн. - х% ↓
3) - 100% =
Ответ: новую цену нужно поднять на
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
Событие - это явление, которое обязательно наблюдалось некоторое количество раз при многоразовом повторении эксперимента .
Подкидываем монету - эксперимент, появление орла - событие. Достаем лампу из коробки - эксперимент, лампа бракованая - событие.
Событие, которое при одних и тех же самых условиях может произойти или не произойти, называют случайным.
Например:
-
Подкинутая монета выпадет гербом кверху;
-
Команда нашего класса выиграет футбольный матч.
-
Виды событий
↙ ↓ ↘
Случайные Достоверные Невозможные
Достоверные события - происходят обязательно при данных условиях.
Невозможные события - никогда не происходят при данных условиях.
Например: В коробке 3 красных и 3 зеленых яблока. Не глядя в коробку, наугад достаем из него 1 яблоко.
A : «взяли красное яблоко» - случайное событие;
В : «взяли желтое яблоко» - невозможное событие;
С : «взяли зеленое яблоко» - случайное событие;
D : «взяли яблоко» - достоверное событие.
События А, С - равновозможные
Случайные события могут быть более вероятными, менее вероятными и равновероятными , то есть случайное событие можно охарактеризовать понятием вероятность.
Вероятность события - численное выражение возможности его наступления.
Например: Произошло 100 подкидываний монеты , герб выпал 52 раза. Тогда вероятность выпадания герба равна: = 0,52 = 52%
Вероятность вычисляют по такому плану:
-
Найдем количество всех возможных исходов, которые имеют шансы для появления(либо перебираем все исходы, либо вычисляем). Обозначим их количество буквой n.
-
Найдем количество исходов, которые ведут к появлению данного события - благоприятные исходы. Обозначим их количество буквой m.
-
Найдем вероятность события А по формуле : Р(А) =
Например:
Задача 1 : Какая вероятность того, что наугад вырванный из нового календаря листок отвечает 30 числу, если в году 365 дней.
Решение: Событие А - вырванный листок отвечает числу 30.
n = 365 - общее количество возможных исходов.
m = 11 - количество благоприятных исходов.
P(A) = P(A) =
Ответ :
Задача 2: В урне 4 белых и 3 красных шарика. Не заглядывая в урну , наугад выбирают 1 шарик. Событие А - вытянули белый шарик. Событие В - вытянули красный шарик. Событие С - вытянули зеленый шарик. Событие D - вытянули шарик. Посчитать Р(А), Р(В), Р(С), Р(D).
Решение: 1) Событие А - вытянули белый шарик : n = 3 + 4 = 7 ; m = 4 ; P(A) =
2) Событие В - вытянули красный шарик: n = 3 + 4 = 7 ; m = 3 ; P(В) =
3) Событие С - вытянули зеленый шарик - невозможное событие
n = 3 + 4 = 7 ; m = 0 ; P(С) =
4) Событие D - вытянули шарик. - достоверное событие
n = 3 + 4 = 7 ; m = 7 ; P(D) =
Ответ : P(A) = ; P(В) = ; P(С) = ; P(D)=
Вероятность невозможного события всегда равна 0, вероятность достоверного события всегда равна 1 , вероятность случайного события удовлетворяет условию 0.
ГРАФИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ШАНСОВ
Задача : Есть три коробки с шарами: в первой - 3 шара, в другой - 5 шаров, в третьей - 15 шаров. В каждой из них по одному красному шару. Нужно вынуть красный шар. Из какой коробки имеет смысл вынуть шар, чтобы шансы вынуть красный шар были наибольшими.
Решение: Все события являются случайными , но шансы разные.
1) Р = ; 2) Р = ; 3) Р = .
Изобразим на координатном луче .
3м 2м 1м
0−│−−│−−│−−−−−−−−−→1
Видим, что наименьшие шансы - точка , ближайшая к 0, а наибольшие - точка ближайшая к 1. Чем больше Р, тем вероятность события большая.
Ответ целесообразно вытянуть шар из первой коробки.
Сравнивать вероятность можно, сравнивая соответствующие числа.
СРАВНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ПЕРЕБОРА ВАРИАНТОВ
Задача : Рассмотрим упрощенный вариант игры в спорт лото. Сначала игрок вычеркивает два числа на бланке.
1
2
3
4
5
Потом случайно выбираем шары из коробки, в которой лежит 5 шаров, занумерованых числами 1, 2, 3, 4, 5. Сравните шансы (вероятность) таких событий:
-
Игрок угадает оба номера вытянутых шаров;
-
Игрок угадает лишь один номер;
-
Игрок угадает хотя бы один номер;
-
Игрок не угадает ни одного номера.
Решение:
Имеем всего 10 исходов случайного выбора номеров шаров: 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 3,4 ; 3,5 ; 4,5. Представим, что выигрышные номера 1 и 3. Посчитаем количество исходов, при которых происходят события 1) - 4) и результаты вычислений занесем в таблицу :
Событие
исходы, при которых происходит событие
Количество исходов из 10
1)
1,3
1
2)
1,2; 1,4; 1,5; 2,3; 3,4; 3,5
6
3)
1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 2,3; 3,4; 3,5
7
4)
2,4; 2,5; 4,5
3
Понятно, что чем больше исходов, при которых происходит событие, тем больше шансов для его появления. Поэтому , если разместить события в порядке возростания шансов их появления, будем иметь : 1); 4); 2); 3).
Итак, сравнивать шансы появления случайных событий можно так:
-
Подсчитать количество всех возможных исходов появления событий.
-
Подсчитать те из них, которые ведут к появлению обусловленных в задаче случайных событий.
-
То событие, которое имеет больше всех исходов, что к нему приведут, и будет иметь наибольшее количество шансов для появления.
ОКРУЖНОСТЬ
Окружность - это фигура, которая состоит из точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.
Отрезок, который соединяет любую точку окружности с центром окружности, называется радиусом окружности.
Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр окружности, называется диаметром окружности.
Для всех окружностей отношение длинны окружности к ее диаметру есть величина неизменная. Ее приближенное значение - три целых четырнадцать сотых. Эта величина обозначена греческой буквой .
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
Длинна окружности вычисляется по формуле: c = d либо c = 2 r. При этом d - это длина диаметра окружности, r - длина радиуса окружности.
То есть, чтобы найти длину окружности, нужно ее диаметр умножить на либо два радиуса умножить на .
КРУГ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.
-
Объединение окружности и его внутренней области называют кругом.
-
Площадь круга вычисляется по формуле: S = r2, або S = d2.
То есть, чтобы найти площадь круга, нужно квадрат радиуса умножить на, либо квадрат диаметра умножить на и поделить на четыре. Площадь круга также выражается как произведение половины длины его окружности на радиус.
КРУГОВОЙ СЕКТОР
-
Часть круга, ограниченная двумя его радиусами, называется круговым сектором.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Цилиндр - это тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг прямой, которая содержит одну из его сторон.
Конус - это тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одной из двух его сторон, которые образуют прямой угол. .
Шар - тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг его диаметра
ДИАГРАМЫ
Для наглядного изображения числовых значений разных величин используют диаграммы. Слово "диаграмма" греческого происхождения, что значит "рисунок".
-
Диаграмма - это символический рисунок, который наочно иллюстрирует соотношения между значениями величин
Диаграммы бывают : линейные, столбчастые, круговые.
-
Линейная диаграмма состоит из нескольких отрезков
Например:
Задача : Вес Юры равен 25 кг, Саши - 36 кг, Лены - 28 кг, Игната - 47 кг, Нины - 41 кг. Постройте линейную диаграмму данных величин.
0
10
20
30
40
50
Юра
Саша
Лена
Игнат
Нина
Вес, кг
Вес каждого ученика изобразим при помощи отрезка длинной 1 мм. Длинна отрезка, который изображает вес Юры, будет равна 25 мм, Саши - 36 мм, Лены - 28 мм, Игната - 47 мм, Нины - 41 мм.
Столбчастая диаграмма это та же линейная диаграмма, но в ней отрезки заменены прямоугольниками.
Задача В коллекции Романа три вида марок: про птиц - 30 марок, про животных - 40, про автомобили - 50 марок. Постройте диаграмму соотношения между этими марками.
-
Выбрать масштаб (1 см = 10 марок).
-
Изобразить величины прямоугольниками, высоты которых являются соответствующими значениями данных величин, выраженных в избранном масштабе.
Круговая диаграмма имеет вид круга, поделенного радиусами на части (сектора). Поэтому такие диаграмми называют также секторными.
Задача В коллекции Романа три вида марок: про птиц - 30 марок, про животных - 40, про автомобили - 50 марок. Постройте круговую диаграмму соотношения между этими марками.
-
Находим сколько всего марок у Романа.
-
Определяем, какую часть всех марок составляют марки каждого вида.
-
Определяем градусные меры углов
-
Строим произвольную окружность и делим на сектора с соответствующими углами.
30 + 40 + 50 = 120 (марок) 360° : 120 = 3° (на одну марку)
3°·30 = 90° (птицы) 3°·40 = 120° (животные) 3°·50 = 150° (автомобили)