Факультативное занятие по теме

Факультативное занятие.

7 класс. Курс «Решение задач нестандартным способом».

Тема: «Решение задач на пропорциональную зависимость»

Цели:

повторить виды зависимости между величинами, решение задач с помощью пропорции;

познакомить с примерами решения сложных задач на пропорции, с задачами, решаемые введением новой переменной.

1. «Гимнастика ума».

Работа в группах. Группы по очереди называют ответы, при необходимости решение, остальные группы высказывают своё отношение.

1. Определите, является ли прямой пропорциональной, об­ратной пропорциональной, или не является пропорциональной зависимость между величинами:

а) путем, пройденным авто­машиной с постоянной скоростью, и временем ее движения;

б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количе­ством;

в) площадью квадрата и длиной его стороны;

г) массой стального бруска и его объемом;

д) числом рабочих, выпол­няющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы;

е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определенную сумму денег;

ж) возрастом человека и размером его обуви;

з) объемом куба и длиной его ребра;

и) периметром квадрата и длиной его сто­роны;

к) дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяет­ся;

л) дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.

2. Хозяйка варит вишнёвое варенье, причём на 3 стакана вишни кладёт 2 стакана сахарного песку. Сколько сахарного песку нужно положить на 12 стаканов вишни?

3. При подписке на газету за 3 месяца заплатили 120 рублей. Сколько надо заплатить, чтобы подписаться на полгода на эту же газету?

4. 5 токарей могут сделать некоторую работу за 16 дней. За сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей?

5. Расстояние между двумя городами пассажирс­кий поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстоя­ние со скоростью 40 км/ч?

6. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько кара­сей поймают за 3 ч?

7. Вертикальный столб высотой 6,5 м отбрасывает тень длиной 10,5 м. Определите высоту ели, длина тени которой равна 42 м.

8. Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 стра­ниц?

9. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколь­ко недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

10. Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 3 ч, а скорый поезд - за 2 ч. Однажды эти поезда одновременно вышли навстречу друг другу из двух городов. Пассажирский поезд прошел 120 км до встречи со скорым. Сколько километров прошел скорый поезд до встречи с пассажирским?

Решение этой задачи разбирается подробно.

Можно ли 120 разделить на 3?(Нельзя 120 км делить на 3 ч, так как за 3 ч пройдено некоторое другое расстояние.)

Запишем кратко условие задачи.

Время Расстояние

Скорый 2ч х км

Пассажирский Зч 120 км

Первый раз поезда прошли один и тот же путь. В какой зависимости находились скорость и время движения? (скорость обратно пропорциональна времени, то есть скорость скорого поезда в раза больше скорости пассажирского).

А во второй раз постоянным было время движе­ния. В какой зависимости находились расстояние и скорость движения? (расстояние прямо пропорционально скорости, то есть путь, пройденный скорым поездом, в раза больше пути, пройденного пассажирским поездом).

Составим пропорцию .

Получим х = 180.

Скорый поезд до встречи с пассажирским прошел 180 км.

2. Решение задач на сложные проценты.

Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Вопросы, помогающие прийти к верному решению: Во сколько раз уве­личилось число кур (в 4 раза); как при этом измени­лось число яиц, если число дней не изменилось (увели­чилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увели­чилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 • 4 • 4 = 48.

2. Пример решения задачи введением вспомогательной неизвестной.

ЗАДАЧА НЬЮТОНА

"Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и одинаковой скорости роста, имеют площади:, 10 и 24 акров (1 акр равен 0,405 гектара). Первый про­кормил 12 быков в продолжение 4 недель, второй - 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?"

Решение: Берем за вспомогательную неиз­вестную у долю первоначального за­паса травы, прирастающей на 1 акре в течение недели. На первом лугу за неделю прирост травы будет ,а в течение 4 недель того количества травы, которое было на нем первоначально. Так как у есть прирост травы на 1 акре, то общее количество травы - первоначальной и при­роста - таково, каково оно было бы на

акров.

Значит, 12 быков за 4 недели съели траву с площади акров, один

бык в одну неделю поел часть. То есть траву с акров.

Для такого же расчета относительно второго луга имеем:

за неделю прирост травы на 1 акр =у,

за 9 недель прирост травы на 1 акр =9у,

за 9 недель прирост травы на 10 акрах =90у.

Запас травы на втором лугу и ее прирост за 9 не­дель равен количеству травы на площади 10 +90у акров.

Эту траву съедает 21 бык в течение 9 недель;

один бык в одну неделю съедает траву с акров.

Так как потребление травы у всех быков счи­тается одинаковым, то последнее число должно равняться полученному при таких же расчетах на первом лугу:

.

Отсюда находим у =19

Зная у, можем определить площадь луга, налич­ный запас травы, который может прокормить одного быка в течение недели, то есть найдем численную величину

при у=, акра.

Третий луг в 24 акра кормит х быков в течение 18 недель, для чего требуется акров луга.

Прирост травы равен запасу с 24 • 18 • =36 акров, и вся съеденная за 18 недель трава равна запасу травы 24+36=60 акров;

Третий луг может прокормить в течение 18 не­дель 36 быков.

2. Подведение итогов занятия. Рефлексия.

3. Домашнее задание. Решить задачу. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

3