Исследовательская работа Математика в живописи

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №2 города Димитровграда

Ульяновской области»

Исследовательская работа

на тему:

«Математика в живописи»

Выполнила:

ученица 7 класса В

Шафигуллина Алина

Научный руководитель:

Храмушкина Галина

Геннадьевна

2014 год

Содержание:

1. Введение………………………………………………………….

2. Основная часть...............…………………………………………

1. Золотое сечение………………………………………………

2. Золотая спираль………………………………………………

3. Симметрия…………………………………………………….

4. «Странные» свойства изображений…………………………

5. Геометрические формы………………………………………

6. Перспектива - геометрия живописи………………………..

3. Исследовательская работа………………………………………

4. Заключение……………………………………………………….

5. Список используемой литературы……………………………...

3

4 - 28

5- 11

12 - 13

13 - 16

18

19 - 20

21 - 25

26 - 27

28

29

1. Введение

«Творчество и математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок и слов, должна обладать внутренней гармонией».

Годфри Харди, английский математик и философ.

Начну с того, что к написанию данной исследовательской работы меня подвигла любовь к предмету математика и не меньшая любовь к занятиям в детской художественной школе. Мы очень хорошо знаем, что размах практического применения математики огромен. Какую бы науку мы не изучали, в какой бы области не работали наши родители, везде необходимо знание математики.

Люди в своей жизни постоянно сталкиваются с математикой. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. В ней много цифр, различных знаков и символов. Приходя в магазин, мы отдаем определенную сумму денег за товар продавцу, считаем сколько дней осталось до какого-то важного для нас события, производим измерения и вычисления, применяем математическую смекалку и так далее. Так же, если мы посмотрим вокруг, то заметим, что нас окружают предметы, которые имеют свою геометрическую форму. Некоторые тела состоят из простых геометрических форм, а некоторые из сложных. Архитекторы и строители создают здания при помощи вычислений и геометрических законов. Таким образом, наша жизнь без математики немыслима, ведь человек постоянно открывает что-то новое и усовершенствует давно забытое. Математика присутствует даже в искусстве художников. В основном, она присутствует в рисунках авангардистов и художников, рисующих в течении суперматизма. Детей еще в школе начинают обучать сначала самому простому - арифметике, а затем более сложным законам и выражениям. Ведь все это очень нужно в жизни. Итак, рассмотрим математику в живописи художников. Эта тема очень интересна и необычна.

Цель работы: доказать взаимосвязь математики и живописи.

Задачи:

1. Изучить связь между искусством и математическими науками, расширить представления о сферах применения математики.

2. Изучить живопись различных художников, где изображены геометрические формы, алгебраические выражения, странные, непонятные современному обществу цифры, понятия.

3. Рассмотреть применение математики в работах, выполненных учениками детской художественной школы города Димитровграда, ученицей которой я являюсь.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Актуальность:

Математика соблюдает пристрастие к точности, к строгому логическому мышлению. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Также многие считают, что математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не применяют даже использование перспективы. Я хочу доказать обратное. Есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.

2. Основная часть.

1.Понятие математика.

Прежде, чем мы узнаем роль математики в живописи, предлагаю вам ознакомиться с такими понятиями, как математика и живопись.

Математика-наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчета, измерения и описания форм реальных объектов.

Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика - фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы

Живопись-вид изобразительного искусства, связанный с передачей зрительных образов посредством нанесения красок на гибкую или твердую поверхность.

Существует два вида живописи: станковая и монументальная.

К станковой живописи относят произведения, существующие независимо от места создания. В основном это картины, созданные на мольберте (то есть на станке) художника.

Монументальная живопись выполняется непосредственно на стенах и потолках зданий и других сооружений.

2. Золотое сечение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. (Рис.1)

Рис.1.

Данное открытие у художников того времени получило название "Золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части - АВ : АС= АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АС= АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b= b : c или с : b= b : а.

Рис.2

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В выстраивается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ= 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей,то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

Рис.3

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник - выпуклый и звездчатый (рис. 4).

Рис.4.

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма - стала известна раньше, чем «золотая пропорция».

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника.(Рис.5)

Рис.5.

В работах скульптора Фидия (Афина Парфенос, Аполлон Бельведерский, Зевс Олимпийский - рис. 6) золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела. Не только вся статуя, но и отдельные ее части делятся в золотом отношении.

Рис.6.

«Божественную пропорцию» также использовали зодчие при возведении величественных греческих храмов. Отношение высоты здания Парфенона в Афинах (рис. 7) к его длине равно . Если выполнить деление высоты Парфенона по золотому сечению, получим те или иные выступы здания:

Рис. 7.

В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме амфор и кратеров, а также в их росписи легко угадываются пропорции золотого сечения. Например, амфора на рис. 9, б выдержана в следующих пропорциях:

=.

Рис. 8

В эпоху средневековья достижения античного искусства были преданы забвению. Художники этого времени не знали принципов построения фигур, которыми пользовались великие мастера древности. Безвозвратно погибли драгоценные рукописи, в которых содержались теория и математические выкладки по композиции и рисунку великих мастеров. Многие прославленные произведения искусства, которые могли служить образцами, были уничтожены. Начиная со времен императоров Рима и до блистательной эпохи Возрождения, изобразительное искусство существовало отдельно от науки. За короткий срок были забыты традиции реализма, рисунок стал условным и схематическим. На миниатюрах XII века мы видим изображение человека с нарушением всех пропорций человеческой фигуры. Герои рисунков имеют большеголовые тела и огромные руки и ноги (рис. 9).

Рис. 9.

Потеряв знания о математических соразмерностях фигур, художники потеряли и изобразительную силу искусства. Чтобы возродить былые реалистические традиции, нужно было начинать все сначала. Это выпало на долю художников эпохи Возрождения.

Рассмотрим «Золотое сечение» на примере работ учеников Детской Художественной школы города Димитровграда.

Главным композиционным центром этого натюрморта являются белые коньки, именно они и привлекают наше внимание. Все это благодаря хорошо известному нам «Золотому сечению». Коньки расположены в одной из точек, построенных с помощью вычислений. Второстепенные предметы на картине расположены также в пределах этих точек. Эта работа «идеальна», с точки зрения «Золотого сечения».

Эта композиция имеет 3 доминанты: мышь, крот и девочка.

Лица главных героев расположены в треугольниках. Также стороны треугольников пересекаются с насекомыми в углах картины. Эта работа «идеальна», с точки зрения «Правила треугольников».

3.Золотая спираль.

При зрительном восприятии на картине предметов, изображенных на основе использования золотого сечения, ощущаются гармония, покой, соразмерность, стройность.

Напротив, ощущение динамики, волнения проявляется сильней всего в другой простейшей геометрической фигуре - спирали. Спираль - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если точка удаляется от начала равномерно (r=k, где r - расстояние от начала, а  - угол поворота луча), то получается спираль Архимеда(Рис.10)

Рис.10.

Ее главное свойство - всякий луч, проведенный через центр этой спирали, разделится ее витками на равные части. Длины их одинаковы при любом направлении луча. Эта длина называется шагом спирали Архимеда.

Многофигурная композиция, выполненная в 1509-1510 Рафаэлем, когда прославленный живописец создал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован известным итальянским графиком Маркантонио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев» (рис. 11).

Рис.11

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы война сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается… золотая спираль! Это можно проверить, изменяя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где у нас обозначено лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонде: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре.

В композиции прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

Рассмотрим «Золотую спираль» на примере работ учеников Детской Художественной школы города Димитровграда

Рассмотрим работу «Я рисую этот мир». Спираль берет свое начало у основания кисти и проходит через всю картину, практически повторяя очертание лестницы, проходя через мыльные пузыри, овечку и заканчивается у книжного шкафа. Можно сказать, что эта работа практически идеальна с точки зрения правил «Золотой спирали»

4. Симметрия

Обратимся сначала к четким математическим формулировкам.

1. Центральная симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно данного центра.

2. Осевая симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно оси а.

3. Зеркальная симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно плоскости .

Симметрия (соразмерность, одинаковость в расположении частей какого-либо рисунка относительно точки, прямой, плоскости) - это понятие не только чисто математическое. Она есть и в творениях природы (животные, листья растений, кристаллы), и в творениях конструкторов, архитекторов, скульпторов, художников (рис. 12) и т. д.

Рис.12.

Для анализа симметрии изображения лучше взять картину с более простой композицией. Можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» (рис. 13). Обратите внимание: фигура мадонны и ребенка вписывается в правильный треугольник, который вследствие симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова Мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.

Рис.13

Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать об асимметрии. Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребенка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И, кроме того, есть одна в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной замкнутости, завершенности линий фигуры Мадонны создается впечатление полного безразличия Мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Все ее мысли сосредоточены только на нем. И вдруг вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся с взглядом ребенка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него картина раскрывается на внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу беднее, менее выразительна.

Получается, что всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпанной проблемы - проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает о том, что анализ симметрии - асимметрии очень полезен: картина начинает восприниматься острее.

Вот перед нами знаменитая «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи (рис. 14). Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.

Рис.14

Симметрия тесным образом связана с золотым сечением. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Рассмотрим «Симметрию» на примере работ учеников Детской Художественной школы города Димитровграда

Практически во всех ученических

работах присутствует симметрия.

Чтобы построить какой-либо предмет,

необходимо провести «среднюю» линию, линию симметрии, после чего начинается построение самого предмета.

5. «Странные» свойства изображений

При выполнении чертежей, рисунков, подписей полезно знать о некоторых «странных» свойствах изображений. Выделяют четыре вида изображений:

1. неоднозначные, когда, рассматривая один и тот же рисунок, например, раскрытую книгу, можно видеть ее обращенную к нам то внутренней, то внешней стороной;

2. парадоксальные, когда на картине предметы даны плоскими, но на самом деле они трехмерные;

3. неопределенные, когда, глядя на дерево, мы не можем сказать, как распределены его ветки в пространстве: точная структура каждого дерева неповторима;

4. кажущиеся искаженными, когда две одинаковые дуги кажутся неравными из-за того, что штриховка верхней дуги дана с внешней стороны, а штриховка нижней дуги - с внутренней (рис. 17).

Рис. 15.

Обман зрения представляет особый интерес для художников (например, изображение Э. Боринга - «Леди и старуха» - рис. 18). Они широко используют в своей работе оптические иллюзии и зависимость восприятия определенного сочетания линий от нашего психологического настроя.

Рис.16

6. Геометрические формы

С середины XIX века отход от господствующей в это время в изобразительном искусстве натуралистической традиции резко ускоряется. Живопись, графика, скульптура обращаются к тому, что не доступно прямому («буквальному») восприятию.

Последняя выставка импрессионистов в 1886г. знаменует конец классического периода европейского искусства. Начиная с этого времени, в европейской живописи одно за другим возникают многочисленные течения: югендстиль, экспрессионизм, неоимпрессионизм, пуантилизм, символизм, кубизм, фовизм.

Кубизм - авангардское течение в изобразительном искусстве I-й четверти XX в. Официальная родословная кубизма начинается с картины «Авиньонские девушки» П. Пикассо (1907г.). Геометрическая красота фигур - именно то, что прежде всего бросается в глаза в этой картине (рис. 19).

Рис. 17.

Кубизм не оказал бы такого влияния на развитие мирового искусства, если бы остался делом одного - двух живописцев. Подхваченное десятками и сотнями художников со всех стран мира, это дело оказалось столь значительным потому, что расширило художественный кругозор Франции, раздвинув границы европейской эстетики.

Основоположниками кубизма являются художники П. Пикассо, Ж. Брак, Х. Грис и др.

Кубизм выдвинул на первый план конструирование объемной формы на плоскости, выявление простых устойчивых геометрических форм (куб, конус, цилиндр, шар), разложение сложных форм на простые.

В ранних кубистических работах (1907-1909г.) формы предметов реального мира трактуются подчеркнуто объемно и сводятся к простым геометрическим телам: дома - кубы, крыши - пирамиды, стволы деревьев - цилиндры и т. д. Стремясь постичь внутреннюю структуру, кубисты показывают предмет с разных точек зрения, в различные временные моменты, а иногда, как бы находясь внутри изображаемых объектов, которые теряют целостность и распадаются на фрагменты (например, картины П. Пикассо «Сидящая женщина», 1908г. - рис. 18, «Дружба», 1908г. - рис. 19; картина Ж. Брака «Скрипка и кувшин», 1910г. - рис. 20).

Рис. 18. Рис. 19. Рис. 20.

Среди живописцев, преобразивших искусство XX в., Казимир Малевич занимает одно из первых мест; среди художников русского авангарда ему нет равных. Во всем мире известны его работы «Шагающий», «Косарь», «Жница» (1911-1912г.) и др. с фигурами крестьян. Абстрактные цилиндрические формы, из которых складывается фигура - руки, ноги, верхняя и нижняя части фигуры,- как бы взаимозаменяемы. Яйцевидная голова, глазные щели, брус носа так же геометризованы.

Вопреки не прекращавшемуся сопротивлению широкой публики новое течение 1914г. распространилось на все области художественного творчества: картины, скульптуры, театральные декорации, иллюстрация книг и журналов, рисунки для тканей, модели одежды, музыка.

Кубизм был родоначальником бесчисленных модернистских течений XX века: абстракционизма, экспрессионизма, футуризма, супрематизма, конструктивизма, поп-арта и т. д.

1914 год - это момент, когда в русском искусстве обозначился перелом, то есть переход к нефигуративной, беспредметной изобразительности. Появляется плоскостная геометрическая живопись Каземира Малевича, которой он дает название «супрематизм» (картины «Черный квадрат», «Черный крест»).

Одним из видов абстракционизма является геометрическая абстракция, в основе которой лежит композиция геометрических или стереометрических фигур.

Рассмотрим «Геометрические формы» на примере работ учеников Детской Художественной школы города Димитровграда.

В художественной школе изучается такое направление, как формальная композиция.

Формальная композиция строится из линий, пятен, геометрических фигур и выражает логику композиционного построения. В этой работе использованы такие геометрические фигуры, как круг и прямоугольник. Однако здесь явно просматривается символика нашего города: три сосны. Я с уверенностью могу сказать, что эта работа является одним из представителей широкой сферы искусства-абстракционизма.

6. Перспектива - геометрия живописи

"Все проблемы Перспективы можно пояснить при помощи пяти терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело".

Леонардо да Винчи.

Слово перспектива означает насквозь видеть. Перспектива - наука, изучающая законы линейного построения изображения предметов при разном их удалении от наблюдателя. Поэтому обычно говорят о линейной перспективе. Перспективой также называют и само изображение, построенное по этим законам. Кроме линейной перспективы, существует еще так называемая воздушная перспектива.

Научные основы линейной перспективы заложил архитектор Раннего Ренессанса Брунеллески в сотрудничестве с математиком Тосканелли. Затем итальянские и немецкие художники Леон Баттиста Альберти, Пьеро делла Франческа, Паоло Учелло, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие в своих научных трудах и произведениях искусства развили открытые ранее законы. Так, Леонардо да Винчи (1452-15190) первым говорил о сокращении масштаба разных отрезков, удаляющихся вглубь картины, сформулировал правило построения изображений на цилиндрических сводах и положил начало панорамной перспективе, объяснил причину стереоскопического видения, указал правила распределения теней, характер отражения и изменения окраски предметов. Ему принадлежат слова: «Перспектива есть руль живописи». Около семь тысяч его сохранившихся рукописей содержат мысли по различным вопросам искусства, науки и техники. Из его записей был составлен позже «Трактат о живописи». Леонардо пишет: «… возьми зеркало, отрази в нем живой предмет и сравни отраженный предмет со своей картиной …именно ты увидишь, что картина, исполненная на плоскости, показывает предметы так, что они кажутся выпуклыми, и зеркало на плоскости дает то же самое; картина - это всего лишь только поверхность, и зеркало - то же самое; картина - неосязаема, поскольку то, что кажется круглым и отделяющимся, нельзя обхватить руками, - то же и в зеркале; зеркало и картина показывают образы предметов, окруженные тенью и светом; и то и другое кажется очень далеко по ту сторону поверхности. Существует еще другая перспектива, которую я называю воздушной, ибо вследствие изменения воздуха можно распознать различные расстояния до различных зданий, ограниченных снизу одной единственной(прямой) линией… .Делай первое здание…своего цвета, более удаленное делай более … синим, то, которое ты хочешь, чтобы оно было настолько же более отодвинуто назад, делай его настолько же более синим…». Многие его наблюдения не нашли в то время надлежащего физико-математического объяснения, но однако им были сделаны первые экспериментальные попытки определения силы света в зависимости от расстояния, исследования законов бинокулярного зрения, видя в них условие восприятия рельефности.

Знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471-1528) в книге «Наставления» дал подробную разработку основ рисования, указал на графические способы построения большого числа плоских и некоторых пространственных кривых линий, предложил метод построения перспективных линий и тени предмета при помощи ортогональных проекций.

Французский математик и инженер Дезарг (1593-1662) впервые применил метод координат для построения перспективы, положил начало аксонометрии, приведшей в дальнейшем к развитию «вольной» перспективы.

В последующее время было разработано немало методов и приемов перспективного построения, позволяющих точно воспроизвести на плоскости любой предмет в любом повороте, на любом удалении и с любой точки зрения.

Известно, что параллельные линии на ровной местности, например рельсы и т.п., удаляясь от нас, в конце концов, зрительно сойдутся в одной точке на горизонте, т.е. на той условной линии, где сходятся земля и небо. Без линии горизонта не может обойтись ни одно перспективной построение. Резкое понижение горизонта (картина В. Серова - «Петр I», 1907г. - рис. 23), скрадывание происходящего на дальних планах, снятие всего второстепенного позволило художнику возвеличить центральный персонаж, который таким образом возвышался над всем окружающим, выразительно вырастая на фоне неба.

Рис. 21.

Другое дело - повышение горизонта («Черешня» Е. Моисеенко - рис.24). Поднимая его, художник как бы поднимает и зрителя, дает ему возможность охватить взглядом как можно большее пространство, разглядеть участников массовой сцены или ощутить земной простор со множеством планов и деталей.

Рис. 22.

Иногда, разворачивая какую-нибудь сцену в помещении, художник изображает его строго фронтально, когда все уходящие вглубь, в перспективе линии боковых стен, проемов, плит пола и т. п. при их прохождении сошлись бы в одной центральной точке как в некоем фокусе. И часто в картине этот геометрический фокус как бы совпадает с композиционным центром произведения. Стремящиеся вглубь линии архитектуры направляют наш взгляд в это место, и здесь оказывается главный элемент изображения - либо голова центрального действующего лица, как во фреске Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» или в картине П.Федотова «Сватовство Майора» (рис.25), либо главные персонажи, как фигуры Аристотеля и Платона в картине Рафаэля «Афинская школа», либо какой-то важный предмет, как пучок мечей в картине Ж.-Л. Давида «Клятва Горациев».

Рис. 23.

Все то, что наблюдатель может охватить одним взглядом, не двигаясь и не поворачивая головы, называется полем зрения. Наиболее ясное и отчетливое восприятие предмета заключается в пределах угла, равного примерно 30 градусов. Поэтому, чтобы его воспринять отчетливо, точка зрения наблюдателя должна находиться на удалении, превышающим в 2,5-3 раза самое большое измерение этого предмета. Если же к предмету подойти ближе этого расстояния, его можно увидеть (не поворачивая головы) только частично. Если же наблюдатель будет перемещаться около предмета направо, налево, вверх, вниз, он будет представляться ему с каждой новой точки зрения по-новому, в иных поворотах и ракурсах.

Помещая на рисунке или картине людей в различном перспективном удалении, художник должен быть уверенным, что величина намеченных фигур соответствует их положению в пространстве (рис. 26).

Рис. 24.

Картина венгерского художника В. Вазарели - «Изучение перспективы» (рис. 27) - прекрасный тому пример. На ней видно, как линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся от нас дальше, изображается в виде фигуры меньших размеров.

Рис. 25.

Степень контрастности света и тени, объемность предмета, четкость его очертаний, цветовая окраска при его удалении от рисующего резко изменяются. Это связано с тем, сто окружающий нас воздух не абсолютно прозрачен: он всегда содержит в себе пыль, влагу и другие мельчайшие взвешенные частицы, которые делают его мутной средой. Эта мутная среда влияет на проходящие через нее лучи, определяя наше восприятие окутанных ею предметов. Удаляясь от нас, предметы не только зрительно уменьшаются в размерах. По мере удаления контрастность их темных и светлых мест постепенно все более смягчается, предметы становятся как бы более плоскими и, в конце концов, превращаются на горизонте в однородную дымку едва различимых силуэтов. Одновременно происходит и изменение их цветовой окраски. Это явление и называется воздушной перспективой.

3. Исследовательская работа

На знаменитой картине И. И. Шишкина «Корабельная роща» (рис. 26) с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения.

Рис. 26.

Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали (рис. 27).

Рис. 27.

Для наибольшей наглядности представим схематически картину следующим образом (рис. 28).

Рис.28.

Здесь линия ВК соответствует главной сосне, DТ - верхнему краю пригорка; пунктирная линия ОР - первой сосне в левой части картины.

=   0,62.

Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придают ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимися действиями, подобная геометрическая схема (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

IV. Заключение

В данной работе рассмотрено только несколько законов математики, применяемых живописцами. Но этого уже достаточно, чтобы убедиться во взаимосвязи двух на первый взгляд несовместимых понятий: математика и живопись.

Преподавание в школе предметов математики и изобразительного искусства будет считаться недостаточно глубоким, если не будет раскрыто практическое их применение в повседневной жизни. Глубокие изменения в экономике и технике в 20 веке привели к возникновению новой науки, получившей название технической эстетики или дизайна, а, следовательно, и новой профессии - художника-конструктора. Основываясь на расчетах, используя геометрические законы, применяя математические методы, компьютерную графику и художники, и дизайнеры создают для нас такие произведения искусств, которые улучшают эмоциональное и психологическое состояние человека, повышают его работоспособность.

Изложенный выше материал поможет учителям использовать его не только на уроках, но и на внеклассных мероприятиях в целях повышения интереса учащихся к изучению данных предметов, расширения кругозора детей.

Читатели данной исследовательской работы еще раз смогут понять, что математика не только «ум в порядок приводит», но и несет в себе большой эстетический потенциал в развитии различных видов искусства, являясь «царицей всех наук».

Список использованной литературы.

1. Алексеев С., Алексин А. и др. Что такое. Кто такой. - М.: «Педагогика-Пресс», 1996. - Т. 2, - с. 416.

2. Алексеев С., Алексин А. и др. Что такое. Кто такой. - М.: «Педагогика-Пресс», 1996. - Т. 3, - с. 336.

3. Атанасян Л. Геометрия. // Учебник для 10-11 классов средней школы. / Изд. 2-е.- М.: «Просвещение», 1993. - с. 206.

4. Воротников И. Занимательное черчение. // Пособие для учащихся. / Изд. 3-е. - М.: «Просвещение», 1977. - с. 191.

5. Зенкевич И. Эстетика урока математики // Пособие для учителей. - М.: «Просвещение», 1981. - с. 25.

6. Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. Малевич // Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». - М., 2001. - № 1. - С. 1-3.

7. Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. У истоков кубизма. Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». - М., 2001. - № 7. - С. 5-8.

8. Ожегов С. Толковый словарь русского языка. / Изд. 2-е. - М.: «АЗЪ», 1994. - с. 907.

9. Прохоров А. Золотая спираль. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал АН СССР и АПН СССР. - М.: «Наука», 1984. - № 9. - С. 15-17.

10. Самойлик Г. Леонардо да Винчи. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». - М., 2003. - № 4. - С. 7-10.

11. Чепракова Е., Липкина Т. Присутствие красоты. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. - М.: «Школьная пресса», 2001. - № 3. - С. 73-75.

12. Шарыгин И., Ерганжиева Л. Наглядная геометрия. 5-6 классы // Пособие для общеобразовательных учебных заведений. / Изд. 4-е. - М.: «Дрофа», 2001. - с. 192.

13. Ятайкина А., Пашкина О. О золотом сечении и не только о нем. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. - М.: «Школьная пресса», 2001. - № 3. - С. 75-76.