Степенная фенкуия и ее свойства и график

Конспект урока по алгебре 10 П класс

Тема урока: Степенная функция, ее свойства и график.

Цели урока:

Образовательная: ввести определение степенной функции; формировать умение строить график степенной функции; научить выявлять свойства степенной функции по графику.

Развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, презентация к уроку.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразват. учреждений / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М.И.Шабунин и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 368 с.

2.Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы по учебнику

Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М.И. Шабунин и др. - Волгоград: Учитель, 2011.-205с.

3. Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

4. Саранцев Г.И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-в» М.: Просвещение, 2005. - 224 с

План урока:

1. Организационный момент (2 мин).

2. Актуализация знаний (5 мин).

3. Изучение нового материала (23 мин).

4. Закрепление изученного материала (10 мин).

5. Подведение итогов урока (3 мин).

6. Домашнее задание (2 мин).

Ход урока:

1. Организационный момент (2 минуты)

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих.

2. Актуализация знаний (5 минут)

Учитель: На предыдущих уроках мы изучили свойства степени, давайте вспомним их. На доске представлены выражения, вам необходимо их закончить .

(запись на доске)

1) a⁰=

2)aⁿ·a^m=

3)(aⁿ)^m=

4)(a+b)ⁿ=

5)a^-n=

6)a^n/m=

7)=

8)(3+5)ⁿ=

9)5·5²=

10)3:3^-2=

11)8^-2=

12)(4²)²·5^-1=

13)64^1/2=

Предп.ответ:

1) a⁰=1

2)aⁿ·a^m=a^n+m

3)(aⁿ)^m=a^nm

4)(a+b)ⁿ=aⁿ+bⁿ

5)a^-n=)ⁿ

6)a^n/m=)ⁿ

7)=a^1/n

8)(3+5)ⁿ=3ⁿ+5ⁿ

9)5·5²=5¹⁺²=5³=125

10)3:3^-2=3^1-(-2)=3³=27

11)8^-2=)²=

12)(2²)²·5^-1=2^2·2·=2⁴·=

13)64^1/2==8

3.Изучение нового материала (23 мин).

Учитель:Сегодя на уроки мы познакомимся со степенной функцией,ее свойствами и графиком.Запишите в тетрадях число и тему урока.(слайд 1)

(слайд 1)

(запись на доске и в тетрадях )

Число

Степенная функция, ее свойства и график

Учитель: Вы уже знакомы с такими функциями как:y=x, y=x², y=x³_,y= и т.д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции т.е. функции вида y=x^p, где p - заранее заданное число. Запишите определение степенной функции в тетради. (слайд 2)(запись в тетрадях)

(слайд 2)

Учитель: Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя p.

(запись на доске)

1.p=2n-четное натуральное число.

Учитель: Построим график функции y=x⁴ т.к. эта функция частный случай степенной функции y=x²ⁿ. Чертим таблицу.

(запись на доске и в тетрадях)

x

-2

-1

0

1

2

y=x⁴

16

1

0

1

16

Учитель: Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 3) (запись в тетрадях)

(слайд 3)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x - любое число)

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y ≥0).

Учитель: Четная или нечетная ?

(Предп.ответ: Четная, так как (-x⁴)=x⁴).

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Убывает на промежутки от -∞ до 0 и возрастает от 0 до +∞).

(слайд 4)(запись в тетрадях)

(слайд 4)

Учитель: 2.p=2n-1 - нечетное натуральное число.(запись на доске)

Учитель: Построим график функции y=x³ - частный случай степенной функции y=x^2n-1. Чертим таблицу функции y=x³.

(запись на доске и в тетрадях)

x

-2

-1

0

1

2

y=x³

-8

-1

0

1

8

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 5)(запись в тетрадях)

(слайд 5)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x - любое число)

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y - любое число).

Учитель: Четная или нечетная ?

(Предп.ответ: нечетная, так как (-x³)=-x³).

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Возрастает на промежутки от -∞ до +∞).

(слайд 6)(запись в тетрадях)

(слайд 6)

Учитель: 3.p=-2n,где n - натуральное число. (запись на доске)

Постоим график функции y=x^-2 - частный случай степенной функции вида y = x^-2n. Начертим таблицу для функции y=x^-2.

(запись на доске и в тетрадях)

x

-2

-1

-1/2

-1/2

1

2

y=x^-2

1/4

1

4

4

1

1/4

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 7)(запись в тетрадях)

(слайд 7)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x - любое число, кроме 0 )

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y >0).

Учитель: Четная или нечетная?

(Предп.ответ: четная, так как (-x^-2)=x^-2).

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Возрастает при x>0 и убывает при x<0).

(слайд 8)(запись в тетрадях)

(слайд 8)

Учитель: 4.p=-(2n-1), где n - натуральное число. (запись на доске)

Постоим график функции y=x^-3 - частный случай степенной функции вида y = x^-(2n-1). Начертим таблицу для функции y=x^-3.

(запись на доске и в тетрадях)

x

-2

-1

-1/2

1/2

1

2

y=x^-3

-1/8

-1

-8

8

1

1/8

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 9)(запись в тетрадях)

(слайд 9)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x - любое число, кроме 0 )

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y - любое число кроме 0).

Учитель: Четная или нечетная?

(Предп.ответ: нечетная, так как (-x^-3)=-x^-3).

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Убывает при x<0 и при x>0).

(слайд 10)(запись в тетрадях)

(слайд 10)

Учитель: 5.1.p=, где p - действительно положительное число,m<n.(запись на доске)

Постоим график функции y=x^1/3 - частный случай степенной функции вида y = x^m/n. Начертим таблицу для функции y=x^1/3.

(запись на доске и в тетрадях)

x

0

1

8

y=x^1/3

0

1

2

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 11)(запись в тетрадях)

(слайд 11)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x ≥ 0 )

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y ≥ 0).

Учитель: Данная функция будет не являться ни четной и ни нечетной, так как график не симметричен ни оси ОХ ни оси ОУ.

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Возрастает при x≥0).

(слайд 12)(запись в тетрадях)

(слайд 12)

Учитель: 5.2p=, где p - действительно положительное число. m>n. (запись на доске)

Постоим график функции y=x^3/4 - частный случай степенной функции вида y = x^m/n. Начертим таблицу для функции y=x^3/4.

(запись на доске и в тетрадях)

x

0

1

16

y=x^3/4

0

1

8

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 13)(запись в тетрадях)

(слайд 13)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x ≥ 0 )

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y ≥ 0).

Учитель: Данная функция так же не является ни четной ни не четной.

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Возрастает при x≥0).

(слайд 14)(запись в тетрадях)

(слайд 14)

Учитель: 6.p=, где p - действительно отрицательно дробное число. (запись на доске)

Постоим график функции y=x^-1/3 - частный случай степенной функции вида y = x^-m/n. Начертим таблицу для функции y=x^-1/3.

(запись на доске и в тетрадях)

x

1/2

1

2

y=x^-1/3

8

1

1/8

Строим систему координат и отмечем полученные точки. Соединяем их плавной линией.

(слайд 15)(запись в тетрадях)

(слайд 15)

Учитель: Определим, какими свойствами обладает данный график. Область определения, т.е. какие значения, принимает x?

(Предп.ответ: x > 0 )

Учитель: Множество значений, т.е. какие значения, принимает y?

(Предп.ответ: y >0).

Учитель: Данная функция так же не является ни четной ни не четной.

Учитель: Возрастание и убывание функции?

(Предп.ответ: Убывает при x>0).

(слайд 16)(запись в тетрадях)

(слайд 16)

4. Закрепление изученного материала (10 мин).

Учитель: Теперь выполним задания со слайдов.

(слайд 17).

Учитель:

(Предп.ответ: )

(запись в тетрадях)(слайд17)

(слайд 17)

Учитель: (слайд 18)

(слайд 18)(запись в тетрадях)

(слайд 18)

(Предп.ответ: (запись на доске и в тетрадях)

1.Область определения x - любое число; Область определения y≥0.

2. Область определения x - любое число; Область определения y - любое число.

3. Область определения x ≥; Область определения y≥0.)

5. Подведение итогов.

Учитель: Подведем итог нашего урока. Какая функция называется степенной?

(Предпл.ответ:Функция вида y=x^p называется степенной,где p - действительное число)

Учитель: Приведите пример функции , где p= 2n

(Предп.ответ: y= x²,y=x⁴,y=x⁶)

Учитель: Приведите пример функции, где p= 2n-1

(Предп.ответ:y=x³,y=x⁵,y=x⁷)

Учитель: приведите пример функции,где p= -2n

(Предп.ответ: y=, y=)² , y=( )⁴ )

Учитель: приведите пример функции,где p=

(Прдп.ответ: y= ,y=,y= ³ )

6.Домашнее задание.

(слайд 24)

(слайд 19)

(запись в дневниках)

Пр.6. № 1(2,5),№2(2),№4(2,4).