Урок по математике «Серия испытаний»

Методическая разработка занятия

(построенного с позиции компетентностного подхода)

дисциплины

Математика

тема

Серия испытаний

преподаватель: Токарская М.С.

Приморский край, г.Лесозаводск, 2013 г.

№ занятия____

Тема: «Серия испытаний»

Междисциплинарные связи: математика, экономика.

Методическая идея: продемонстрировать, использование проблемных ситуаций на уроке, для формирования у учащихся способов вычисления вероятности при серии испытаний.

Цели занятия:

Образовательные:

• приобретение умений и навыков работы со схемой Бернулли для вычисления вероятностей;

Развивающие:

• развитие навыков применения знаний на практике;

• формирование и развитие функционального мышления студентов;

• развитие навыков сравнения, анализа и синтеза;

Воспитательные:

• воспитание интереса к предмету через практическое применение теории;

• достижение сознательного усвоения учебного материала студентов, формирование умения работать в коллективе, правильного использования терминов, интереса к науке, уважения к будущей профессии.

Вид занятия: урок.

Тип занятия: комбинированное занятие:

• закрепление пройденного на предыдущих занятиях материала;

• тематическая, информационно-проблемная технология;

• обобщение и закрепление изученного на данном занятии материала.

Методы: объяснительно - иллюстративный, проблемный, репродуктивный.

Место проведения занятия: аудитория (каб. №7).

Продолжительность занятия: 45 мин.

Квалификационные требования:

После этого занятия обучающиеся смогут вероятности событий при серии испытаний, используя формулу Бернулли.

Основные понятия: событие, случайное событие, испытание, опыт, исход, благоприятный исход, вероятность, независимые испытания, противоположная вероятность.

Оснащение: компьютер, мультимедийный проектор.

Методическое обеспечение: справочные материалы, презентация по теме урока, кроссворд.

Компетенции:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителем.

План урока.

1. Организационный этап

2мин

2. Актуализация знаний, мотивация целеполагания:

1. устный опрос;

2. самостоятельная работа с самопроверкой

3. мотивация целеполагания

15мин

3. Изучение нового материала

10 мин

4. Закрепление знаний

10 мин

5. Домашнее задание

3 мин

6. Подведение итогов. Рефлексия.

5мин

Тема: Серия испытаний

Ход урока

1. Организационный момент: 2 мин.

(приветствие, готовность группы к занятию).

1. Проверка знаний:

   1. Проверить фронтально по слайдам вопросы: 5 мин.

• определение раздела "Теория вероятностей"

• основные понятие раздела "Теория вероятностей"

• какие события изучает "Теория вероятностей"

• характеристика случайного события

• классическое определение вероятности

1. 2. Решение задач по рядам: 5 мин. (задачи выдаются заранее, потом листы сдаются с подписями и ответами)

1 вариант.

1. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найти число всевозможных вариантов выбора.

2. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадает четное и меньшее 5 число очков?

2 вариант.

1. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

2. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

3 вариант.

1. Сколькими способами могут быть распределены 5 вариантов заданий между учащимися вашего класса?

2. В ящике находиться 2 белых и 2 черных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынуты 2 белых шара.

Проверка у доски способов решения задач. 5 мин.

1 вариант.

1 способ: Подсчитаем искомую вероятность непосредственно. 1,2,3,4,5,6

2 способ: Получим тот же результат, используя теорему умножения: под событием А будем понимать появление четного числа очков, а под событием В - появление числа очков, меньшего 5. Событию А благоприятствуют исходы А_2, А₄, А₆, а событию В - исходы А_1, А₂, А_3, А₄. Потому

Р(А) = 3/6,

Р(В) = 4/6 = 2/3.

Из трех исходов, благоприятствующих событию А, исходы А_2, А₄ благоприятствуют событию В. Следовательно, Р_А(В) = 2/3. Тогда по теореме умножения

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=3/6 2/3=1/3

2 вариант.

1 способ

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=3/9*2/8=1/12

2 способ

Заметим, что задачу можно решить, если воспользоваться комбинаторикой. В этом случае ответом на вопрос задачи является число

3 вариант.

Общее число исходов -

Число благоприятных исходов -

Вероятность того, что вынуто два белых шара - 1/6

Оцениваем задачи следующим образом - поменяйтесь с соседом по парте листами, проверять и оценивать вас будет именно он.

Критерии:

Решена первая задача без второй - 3, решена вторая задача без первой- 4, решены обе задачи, но есть погрешности в вычислениях - 4, решены обе задачи без ошибок - 5.

Вывод по решению вторых задач:

Вероятность появления события одинаковая для каждой задачи: m и n - const

1. 3. Целеполагание через задачу: 5 мин.

Задача. Два равносильных шахматиста играют несколько партий. Какова вероятность выиграть две партии из четырех? Какова вероятность выиграть три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Вопрос:

1. 1. 1. Решите предложенную задачу.

      2. Какое затруднение у вас возникло?

      3. Подумайте и назовите, чем отличаются вопросы данной задачи от вопросов предыдущих задач?

Рассуждением, сравнением добиться ответа: в вопросах m и n - разные, то есть в предыдущих задачах нужно было найти вероятность одного события в одном испытании, а в этих задачах было несколько испытаний с различными исходами.

1. 1. 3. Изучение нового материала: 10 мин.

При практическом применении теории вероятностей и математической статистики часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует общее число появлений события A в серии опытов.

Такая стандартная схема часто встречается и в самой теории вероятностей. Она называется схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. Швейцарский математик XVII в. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную задачу-схему (работа "Искусство предположений" опубликована в 1713 году).

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Теорема Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p <1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

P_n (k) = ,

Вернемся к нашей задаче про шахматистов.

Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как P₄(2)> P₆(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

1. 1. 4. Закрепление знаний. Решение задачи с разбором у доски. 10 мин.

Задача. Вероятность выигрыша на валютном рынке равна 0,7. Найти вероятность того, что в результате пяти независимых попыток игрок выиграет ровно 4 раза; не менее 4 раз.

Решение.

Событие А - игрок выиграл.

Проводиться серия независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события остается постоянной. значит для подсчета требуемой вероятности применим формулу Бернулли.

n = 5, k = 4, p = 0.7

P(A) =

Ответ: вероятность того, что игрок выиграет 4 раза - 0,36.

Для выяснения выигрыша в не менее 4 случаях нам нужно вычислить вероятности выигрышей в 0, 1, 2, 3 и 4 случаях, а затем эти вероятности сложить.

Сложим полученные вероятности: 0,00243+0,02835+0,1323+0,3087+0,36015 = 0,83193

Ответ: вероятность того, что игрок выиграет не менее 4 раз - 0,83.

1. 1. 5. Домашнее задание. 3 мин. (распечатано на листах каждому)

Предлагаю вам дома решить кроссворд для повторения материалов предыдущих уроков и решить задачу по новой теме.

1. Раздел математики, занимающийся комбинациями.

2. Факт какого-то действия, взаимодействия или явления.

3. Событие, которое происходит при выполнении определенной совокупности условий

4. Событие, которое зависит от того, произойдет или нет другое событие.

5. События, при котором появление одного не зависит от появления другого.

6. Сумма случайно выбранных объектов.

7. События, которые при любых условиях не произойдут.

8. События, которые при определенных условиях произойдут или нет.

Ответы:

4

2

7

6

8

1

3

5

комбинаторика

1. событие

2. достоверное

3. зависимое

4. независимые

5. выборка

6. невозможные

7. случайные

Задача. На каждые 10 компьютеров, выставленных на продажу компанией Microsoft, приходить в среднем 6 с плоским монитором. Определить вероятность того, что среди 4 купленных компьютеров: не будет плоских мониторов; хотя бы два компьютера будут с плоским монитором.

1. 1. 6. Рефлексия.

Продолжите фразы:

1. я познакомился с ...

2. было непросто ...

3. у меня получилось ...

4. хотелось бы ...

5. мне запомнилось ...

6. я попробую ...

Этап деятельности

Деятельность преподавателя

Деятельность студента

Примечания

1. Организационный этап

Приветствует студентов и преподавателей, создает положительный настрой в группах.

Слушают преподавателя

2. Актуальность знания. Мотивация целеполагания:

1. устный опрос

2. самостоятельная работа

3. мотивация целеполагания

Организует повторение материала предыдущего урока в виде устного опроса; проводит самостоятельную работу по рядам; создает проблемную ситуацию (задача про шахматистов) для подведения студентов к изучаемому понятию.

1. Слушают преподавателя;

2. Отвечают на вопросы устно;

3. Решают задачу с последующей проверкой у доски;

4. Отвечают на вопросы при создании проблемной ситуации, пытаются решить задачу известными им способами.

Решение и ответы к задачам записываются на обратной стороне листа, там же ставиться оценка за работу.

3. Изучение новых знаний.

1. Рассказывает о схеме Бернулли, условиях применения этой схемы.

2. Формулирует теорему Бернулли, записывает формулу.

3. Решает вместе с учащимися задачу про шахматистов.

1. Слушают преподавателя, записывают теорему и формулу в тетрадь.

2. Вместе с преподавателем решают задачу.

4. Закрепление знаний.

Помогает разобрать условие следующей задачи, решить ее (проводит вычисления на калькуляторе)

1. Слушают преподавателя и учащегося у доски, записывают решение задачи в тетрадь.

5. Домашнее задание.

Объясняет домашнее задание, сроки его выполнения.

Слушают преподавателя, проверяют задание по листам.

6. Рефлексия.

Проводит инструктаж по заполнению анкеты для проведения самоанализа, выявления качественной и количественной оценки урока.

Слушают преподавателя, заполняют анкету.