Урок по теме «Признаки делимости»

РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ

МОЛОДЁЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ГОРОДСКАЯ УЧЕБНО - ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ, ЮНИОР!»

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Автор: Левченко Ростислав, учащийся 5 А класса МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 12» город Усть - Илимск, Иркутская область

Руководитель: Моисеева Галина Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 12 город Усть - Илимск, Иркутская область

Российская Федерация

Иркутская область

город Усть-Илимск

2013 год

оглавление

1. введение……………………………………………………………………………………4

1.1.Обоснование выбора………………………………………………………………………...4

1.2.Исторические сведения……………………………………………………………………...5

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………………………6

2.1. Объект исследования………………………………………………………………………..6

2.2. Предмет исследования……………………………………………………………………...6

2.3. Гипотеза……………………………………………………………………………………..6

2.4. Актуальность…………………………………………………………………………………6

2.5. Цель…………………………………………………………………………………………..6

2.6. Задачи………………………………………………………………………………………...6

2.7. Методы исследования………………………………………………………………………7

2.8.Признаки делимости (широко известные)…………………………….....7

- на 2………………………………………………………………………………………......7

- на 3………………………………………………………………………………………......7

- на 5……………………………………………………………………………………….......8

- на 9…………………………………………………………………………………………..8

- на 10………………………………………………………………………………………….8

2.9. Признаки делимости (известные не всем школьникам)…………….…8

- на 4…………………………………………………………………………………………...8

- на 6…………………………………………………………………………………………..9

- на 7…………………………………………………………………………………………..9

- на 8…………………………………………………………………………………………10

- на 11………………………………………………………………………………………...10

- на 12………………………………………………………………………………………...11

- на 13………………………………………………………………………………………...11

- на 14………………………………………………………………………………………...11

- на 15………………………………………………………………………………………...11

- на 17………………………………………………………………………………………...11

- на 19………………………………………………………………………………………...11

- на 23………………………………………………………………………………………...11

- на 25………………………………………………………………………………………...12

- на 50………………………………………………………………………………………...12

- на 99………………………………………………………………………………………...12

- на 101……………………………………………………………………………………….12

- на 125……………………………………………………………………………………….12

3. Практическое применение признаков делимости………………………….……………...12

4. Заключение………………………………………………………………………………15

5. Используемые источники…………………………………………….…………...16

6. ПриложениЯ……………………………………………………………………………...17

ВВЕДЕНИЕ

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

Д. Пойа

Из известных мне математических действий, особый интерес вызывает действие деление. При решении различных задач и примеров я обнаружил, что если внимательно всматриваться в делимое число, можно сразу узнать, делится ли оно на 2, или на 10, или на 5. Эти случаи считаю очевидными, но я поставил перед собой вопрос, а как видеть, делится ли число на 3, на 9, или на другие числа. В работе над этой темой узнал много нового. Например, узнал, что вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много неясного.

Возвращаясь к рассуждению о делимости чисел, я отметил, что решая задачи и выполняя действия сложение, вычитание, и умножение, действие деление, в отличие от остальных действий, выполнить, не всегда удается (разделить нацело). Возникает необходимость предсказать - делится число нацело или нет. Поэтому в математике исследуются условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым можно определить делится ли натуральное число на другое натуральное число или нет. Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число b, можно произвести деление этих чисел. Но при решении некоторых задач это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. Я обратился с этим вопросом к своему учителю математики, и получил предложение изучить специальную литературу по этому вопросу, а затем и написать исследовательскую работу. Всё что я узнал нового о признаках делимости, я изложил в своей работе. Знание признаков делимости чисел поможет при дальнейшем изучении такой интересной науки, как математика.

Объект исследования - изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования - нахождение признаков делимости на целые числа

Гипотеза - исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Актуальность работы имеет практическую значимость и применимость при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Мою работу могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий по математике. Надеюсь, люди, которые будут читать эту работу, узнают для себя много нового, как и я.

Цель работы: найти и систематизировать признаки делимости на натуральные числа, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам на уроках математики и вне школьной программы.

Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи.

1. Изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел», расширить и углубить свои знания по этой теме.

2. Выяснить, когда у людей возникла проблема деления чисел нацело, кто из учёных первыми сформулировали признаки делимости.

3. Рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел, подобрать серию задач, связанных с признаками делимости чисел для самостоятельного решения.

4. Сделать выводы

Методы исследования: в работе применялись теоретические методы: анализ, синтез, сравнение, наблюдение и реферирование, анкетирование, интервью с людьми различных профессий так же использовался поиск в сети интернет.

Кроме ресурсов интернет основными источниками являлись «Энциклопедический словарь юного математика», «Математический энциклопедический словарь» и «Математическая энциклопедия».

Исторические сведения

Умножение в старину считалось делом трудным, но деление было ещё сложнее. В Италии до сих пор сохранилась поговорка: «Трудное дело - деление». Так обычно говорят, когда оказываются перед почти неразрешимой проблемой. В Средние века людей, умевших производить действие деление, можно было пересчитать чуть ли не по пальцам. Их уважительно называли «магистрами деления». Они переезжали из города в город по приглашениям купцов, желавших привести в порядок свои счета.

Признак делимости - это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, и 9 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Признаки делимости (широко известные):

Деление (операция деления) - одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление - это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.

Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.

Но как быстро определить делится ли одно число на другое или нет? И как оно делится? Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В Средние века «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, деление в виде корабля (англ.)). Появление деления столбиком изменило эту ситуацию - теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями.

Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка. Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.

Признак делимости на 2

На 2 делятся все числа, у которых последней цифрой является 0, 2, 4, 6, 8. Другими словами, если число оканчивается на ноль, два, четыре, шесть, восемь, то оно делится на два. Например: числа 120, 52, 274, 16, 2 098 делятся на 2. Числа 101, 13, 7 565, 7, 19 не делятся на 2, поскольку при делении этих чисел в остатке остается одна 1.

Если число делится на 2, то его называют четным числом. Если же число не делится на 2, то такое число называют нечетным.

Признак делимости на 3

На 3 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3. Число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3. 15 : 3 = 5 и дает в результате 5. Если разделить на 3 взятое нами число 159 : 3 = 53 получится пятьдесят три. Признак делимости на 3 распространяется и на сумму цифр любого числа. Проверим делимость на 3 числа 1 234 567 890. Находим сумму цифр этого числа 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45. Еще раз находим сумму цифр для числа 45: 4 + 5 = 9. Число 9 делится на 3 и дает в результате число 3. Следовательно, число 1 234 567 890 делится на 3: 1 234 567 890 : 3 = 411 522 630

в результате получится четыреста одиннадцать миллионов пятьсот двадцать две тысячи шестьсот тридцать.

Рассмотрим еще один пример. Проверим делимость на 3 числа 29 443 680 100 259. Находим сумму цифр:

2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 9 = 53

Теперь находим сумму цифр числа 53:

5 + 3 = 8

Число 8 не делится на число 3, следовательно, число 29 443 680 100 259 не может быть поделено на число 3 без остатка:

29 443 680 100 259 : 3 = 9 814 560 033 419 и 2 в остатке.

Признак делимости на 5

Признаки делимости целых чисел: на 5 делятся числа, которые оканчиваются цифровой 0 или 5. Число 590 делится на 5, поскольку оно оканчивается на цифру 0. 590 : 5 = 118 в результате деления получается сто восемнадцать.

Число 1 375 так же делится на 5, так как оно оканчивается цифрой 5.

1 375 : 5 = 275 в результате деления частное составит двести семьдесят пять.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например: 11265570 делится на 9,так как 1+1+2+6+5+5+7+0 =27 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Например: 7894563210 делится на 10, так как последняя его цифра 0.

Признаки делимости (известные не всем школьникам).

Признак делимости на 4

Если две последних цифры числа являются нулями или образуют однозначное или двузначное число, делящееся на 4, тогда такое число делится на 4 без остатка.

Рассмотрим несколько примеров. Число 10 000 делится на 4, поскольку две последние цифры этого числа - нули. 10 000 : 4 = 2 500 в результате деления получается число две тысячи пятьсот.

Число 1 304 делится на 4. Две последние цифры этого числа 04 образуют число 4, которое делится на 4 без остатка. 1 304 : 4 = 326 в результате деления получается число триста двадцать шесть.

Число 3 678 972 делится на 4. Полный результат деления нужного нам числа на 4 запишется так: 3 678 972 : 4 = 919 743 а в результате деления получится число девятьсот девятнадцать тысяч семьсот сорок три.

Теперь рассмотрим число 56 258, которое не делится на 4. Число 58 не5 делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 6

На 6 делятся числа, если одновременно соблюдаются признаки делимости на 2 и на 3. Другими словами, на 6 делятся все четные числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, число 948 делится на 6, поскольку оно является четным и сумма его цифр делится на 3. 9 + 4 + 8 = 21

Снова находим сумму цифр числа 21. 2 + 1 = 3

В математике деление взятого нами числа 948 на 6 можно записать так:

948 : 6 = 158 в результате получается число сто пятьдесят восемь.

Признак делимости на 7

На 7 делятся числа, у которых разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7. Для начала рассмотрим число 14. В этом числе 1 десяток и 4 единицы. Проверим его делимость по математическим правилам, соблюдая порядок выполнения математических действий:

1 - 4 х 2 = 1 - 8 = -7

Число -7 делится на 7 и дает в результате -1. Следовательно, число 14 так же делится на 7:

14 : 7 = 2

в результате получается два.

Теперь рассмотрим делимость числа 21. Здесь мы имеем 2 десятка и 1 единицу. Проверяем делимость этого числа на 7: 2 - 1 х 2 = 2 - 2 = 0

Число 0 делится не только на 7, но и на все числа, и дает в результате 0. Таким образом, число 21 делится на 7:

21 : 7 = 3

частное равняется трем.

В заключение рассмотрим более сложный пример признака делимости на 7. Проверим делимость числа 86 576. В этом числе 8 657 десятков и 6 единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7.

8657 - 6 х 2 = 8657 - 12 = 8645. Снова проверяем делимость на 7, теперь уже полученного нами числа 8 645. Теперь у нас 864 десятка и 5 единиц:

864 - 5 х 2 = 864 - 10 = 854. Опять повторяем наши действия для числа 854, в котором 85 десятков и 4 единицы. 85 - 4 х 2 = 85 - 8 = 77.

В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 делится на 7 и в результате получается 11. Для не верящих сделаем последний шаг, с 7 десятками и 7 единицами. 7 - 7 х 2 = 7 - 14 = -7

Подобный результат мы уже рассматривали. После длительного математического исследования нам удалось установить, что число 86 576 делится на на 7. 86576 : 7 = 12368

в результате деления получаем двенадцать тысяч триста шестьдесят восемь.

Признак делимости на 8

Если три последних цифры числа являются нулями или образуют число, делящееся на 8, тогда такое число делится на 8 без остатка. Число 18 000 делится на 8, так как последние три цифры этого числа являются нулями. 18 000 : 8 = 2 250 в итоге получается число две тысячи двести пятьдесят.

Число 537 008 делится на 8. Три последние цифры взятого нами числа 008 образуют число 8, которое делится на 8 без остатка. 537 008 : 8 = 67 126 в результате деления на 8 получается число шестьдесят семь тысяч сто двадцать шесть.

Число 78 512 делится на 8. Число 512 делится на 8 без остатка. Результат деления искомого числа на 8 будет выглядеть так: 78 512 : 8 = 9 814 что дает число девять тысяч восемьсот четырнадцать.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Например: число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Например: 49456320 делится на 12, так как последние две цифры 20 ( значит делится на 4) и сумма цифр 4+9+4+5+6+3+2 = 33 (значит делится на 3).

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например: 947632 делится на 14, так как оно четное ( значит делится на 2) и 947 - 632 = 315 делится на 7.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например: 49456320 делится на 15,так как последняя цифра 0 (значит, делится на 5) и сумма цифр 4+9+4+5+6+3+2 = 33 (значит, делится на 3).

Считается нецелесообразным рассмотрение признаков делимости на 17 и 19. Но для полноты исследования я привожу их в своей работе.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 .

Например: 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17.

Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще - число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17.

Например: 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Например: 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Например: 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 - очевидно, делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (т. е. последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).

Например: 49456350 делится на 25,так как последние две цифры 50 делятся на 25.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 00 или 50.

Например: 49456350 делится на 50, так как последние две цифры 50.

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Например: 938520 делится на 99, так как сумма цифр 93+85+20 = 198 делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.

Признак делимости на 125

На 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 125.

Например: число 31250 делится на 125, так как последние три цифры числа 250 делятся на 125.

Практическое применение признаков делимости

1. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Решение: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

Ответ: это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

2.Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24?

Решение: Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24.

Ответ: нет.

3. Не производя вычислений, определите, значение какого выражения делится на 2, на 7, на 10: а) 49+ 21+ 777777;

б) 232078;

в) 50 4 7 + 3177813.

Решение. Рассмотрим первое выражение. Сумма трех нечетных слагаемых - нечетное число, т.е. на 2 не делится. Все слагаемые делятся на 7, значит, сумма делится на 7. Последняя цифра суммы равна 7 (9+1+7 =17), т.е. на 10 не делится.

Рассмотрим второе выражение. Второй множитель делится и на 2 и на 10, значит, и все произведение будет делиться на 2 и на 10. Ни один из множителей не делится на 7, значит, и произведение не делится на 7 (так как 7 - простое число).

Рассмотрим третье выражение. Первое произведение делится и на 2, и на 7, и на 10.

Очевидно, что второе произведение делится на 2 и не делится на 7, значит, и сумма делится на 2 и не делится на 7. Заметим, что последняя цифра произведения 3177813 не может равняться 0, значит, оно не делится на 10, и сумма тоже не будет делиться на 10.

Ответ: на 2 делятся значения выражений б) и в); на 7 - а); на 10 - б).

4. Преподаватели 6, 7 и 8 классов выстраивали детей на линейку. Когда детей попытались выстроить в четыре ряда, то осталось три бесхозных ребенка; когда выстраивали их по пять, оставалось - четыре; выстроив по шесть, остались - пять; и только, когда преподаватели додумались расставить их по семь, им это удалось. Сколько школьников получит наряд за опоздание на линейку, если известно, что в 6, 7 и 8 классах 150 учеников?

Решение. Число детей, пришедших на линейку кратно 7, но не кратно 4, 5, 6. Проверяем числа, удовлетворяющие этим условиям и меньшие 150. Таких чисел: 7, 14, 21, 49, 63, 77, 91, 98, 119, 133, 147 (числа находим, умножая последовательно 7 на числа не кратные 4, 5, 6). Проверив, какие остатки остаются при делении на 4, 5, 6 находим, что на линейке было 119 детей. Значит, наряд за опоздание на линейку получит 31 ученик.

Ответ: 31 ученик.

5. (из древнего трактата «Математика в девяти книгах») Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если (каждый) человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение. Пусть было х людей. Тогда стоимость вещи равна 8х -3 или 7х + 4.

Решим уравнение: 8х -3 = 7х + 4, х = 7.

87 - 3 = 53. Было 7 человек, а стоимость вещи равна 53.

Ответ: 7 человек, стоимость равна 53.

Признаки делимости чисел используются в заданиях ЕГЭ, уровня C6.

Пример. Докажите, что число 195921 делится кратно 77.

Решение. Число 195921 делится на 11, т.к. |(1+5+2)-(9+9+1)|=11 и на 7, т.к. 2х3+1=7. Числа 7 и 11 не имеют общих делителей, следовательно, число 195921 делится на произведение этих чисел, то есть на 77.

Во время написания своей работы я провел анкетирование (приложение 1) среди 5-10 классов, итог которого отражен в диаграмме. В опросе участвовали 50 учащихся 5-9 классов.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 1

Обладая знаниями признаков деления целых чисел можно было, не пользуясь вычислительной техникой, определить правильно произведен расчет или нет. Признаки делимости целых чисел широко используется при расчетах шкал давления и скорости.

Приложение 3

В своём интервью Инна Васильевна призналась мне, что вычислительная техника, в том числе компьютеры, значительно облегчают жизнь в работе любого человека, и в первую очередь главного бухгалтера. С появлением техники люди стали лениться. Действительно; зачем производить в уме математические действия, если все можно просчитать с помощью вычислительной техники. Но так, же она призналась и в том, что всегда помнит как школьные навыки, так и навыки, полученные в институте, ведь бывают случае, когда под рукой нет, ни компьютера, ни калькулятора, ни сотового телефона.