Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Существенной характеристикой числа как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины или модуля.

Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук.

В школьном курсе вводится понятие модуля числа и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами, понятие абсолютной погрешности приближенного числа, свойства арифметического квадратного корня, рассматриваются свойства корна n-степени, исследование функции.

В 6-ом классе можно решать уравнения вида |кх + в| = а,

в 7-ом классе вида |кх + в| = ах + с,

а также построение графиков функции вида:

у = к · |х| + в; у = |кх + в|; и др.,

в 8-9-м классах графики функций вида у = |ах² + вх + с|; у = ; у = и др.

При построении графиков целесообразно использовать метод преобразований графиков (параллельный перенос, симметрия и др.).

Рассмотрим решения вопросов, связанных с понятием модуля, которые могут быть рассмотрены как на уроке, так и во внеклассной работе.

Основные определения и основные теоремы.

Определение 1.

Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или -а

а, если а >0

Из определения следует |а| = 0, если а = 0

- а, если а < 0

Теорема 1.

Противоположные числа имеют равные модули, т.е. |а| = |-а|

Теорема 2.

Модуль суммы конечного числа действительных чисел не превосходит сумму модулей слагаемых, т.е. |а₁ + а₂ + …+ а_n| ≤ |а₁| + |а₂| + … + |а_n|

Теорема 3. |а - в| ≤ |а| + |в|

Теорема 4. ||а| - |в|| ≤ |а ± в| ≤ |а| + |в|

Теорема 5. |а · в| = |а| · |в|

Теорема 6. в ≠ 0

Пример. Решить уравнение:

или

имеем и следовательно,

х₁ = -5; х₂ = -1

Решение уравнений

1. Решение уравнения вида |ƒ(х)| = а, где а ≥ 0

2. Решить уравнение: |х-3| = 2

|х - 3| =х - 3, х ≥ 3 х - 3 = 2 х₁ = 5

-х + 3, х < 3 х - 3 = -2 х₂ = 1

Пример № 2. Решить уравнение:

|sin x + cos x| = 1

Решение

|sin x + cos x| = 1 => sin х + cos х = 1

или sin x + cos x = -1

Решим эти два уравнения.

sin х + cos х = 1 sin х + cos х = -1

cos х - = cos( х - ) = -

х = ± + 2πκ, κz х = ± + 2πn, nz

х₁ = - + 2πκ, κz х₁ = - + 2πn, nz

х₁ = 2πκ, κz х₂ = π + 2πn, nz

х₂ = + 2πκ, κz

Общий вид решения будет х =

Ответ: , κz

Уравнение вида ƒ|х| = а

Чтобы решить уравнение вида ƒ|х| = а рассмотрим решение двух систем:

ƒ(х) = а и ƒ(-х) = а

х ≥ 0 х ≤ 0

Функция g(х) = ƒ|х| - а четная.

Значения переменной, при которой функция обращается в нуль, будут противоположные числа. Поэтому достаточно найти решение одной из систем, второй корень будет противоположным ему числом.

Например: Решить уравнение х² - |х| = 6

Решение

х, х ≥ 0

х² - |х| = 6 по определению абсолютной величины |х| = - х, х < 0

данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем

х² - х = 6 и х² + х = 6

х ≥ 0 х ≤ 0

Решим систему х² - х - 6 = 0

х ≥ 0

Уравнению х² - х - 6 = 0 удовлетворяют числа х₁ = -2 и х₂ = 3, из которых условию х ≥ 0 удовлетворяет х₂ = 3.

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3,

Ответ: 3, -3

Уравнение вида |ƒ(х)| = φ(х)

Данное уравнение |ƒ(х)| = φ(х) распадается на совокупность двух смешанных систем:

ƒ(х) = φ(х) ƒ(х) = -φ(х)

φ(х) ≥ 0 и φ(х) ≥ 0

Например:

1. Решить уравнение |3х - 7| = х - 2

Решение

|3х - 7| = х - 2

Решению подлежат две системы:

3х - 7 = х - 2 и 3х - 7 = 2 - х

х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0

2х = 5 и 4х = 9

х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0

х = 2,5 и х = 2,25

х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0

Числа 2,5 и 2,25 удовлетворяют данному уравнению

Ответ: 2,5; 2,25

2. Решить уравнение |х² - 4| = х² - 4

Решение

х² - 4 = х² - 4 и х² - 4 = 4 - х²

х² - 4 ≥ 0 х² - 4 ≥ 0

х - любое число и х = ± 2

х ≥ 2 и х ≤ -2 х ≥ 2 х ≤ - 2

Ответ: уравнению удовлетворяют все значения х ≥2 и х ≤ - 2

3. Решить уравнение: |sin x| = sin x

Решение

sin x = sin x и sin x = -sin x

sin x ≥ 0 sin x ≥ 0

х - любое х = πκ, κz

2πn ≤ х ≤ π + 2πn и 2πn ≤ х ≤ π + 2πn, nz

Ответ: 2πκ ≤ х ≤ π + 2πn, n z

Уравнение вида |κ₁х + в₁| ± |κ₂х + в₂| ± …± |κ_nх + в_n| = а

Для решения уравнения такого вида найдем абсциссы точек перелома графика функции - левой части этого уравнения, т.е. х₁ = - ; х₂ = - ; …. х_n= - ;

пусть х₁ < х₂ < ……< х_n

2. Данное уравнение последовательно рассмотрим на промежутках: (-∞; х₁]; [х₁; х₂]; [х₂; х₃]; …. [х_n; ∞).

На промежутке (-∞; х₁] получим некоторое линейное уравнение ƒ₁(х) = 0 и его корень х = а_1.

Если а₁ содержится в (-∞; х₁], то а₁ корень данного уравнения, а если не содержится, то а₁ не является корнем данного уравнения. И так рассмотрим решение на каждом из промежутков.

Примеры.

1. Решить уравнение |х - 1| + |х - 2| = 1

Точки перелома х₁ = 1, х₂ = 2.

Решение уравнения рассмотрим на промежутках (-∞; 1]; [1; 2]; [2; ∞).

1. х < 1; - х + 1 - х + 2 = 1; -2х = 2; х = 1 Так как 1 (-∞; 1], то х = 1

является корнем уравнения

2. 1 ≤ х ≤ 2; х - 1 - х + 2 = 1; 0 · х = 0; х - любое число из множества [1; 2]

3. х ≥ 2 х - 1 + х - 2 = 1; 2х = 4; х = 2 2[2; ∞)

Ответ: [1; 2]

2. Решить уравнение:

|2х - 3| + |х - 3| - |4х - 1| = 0

Найдем точки перелома:

х₁ = ; х₂ = 1,5; х₃ = 3

Промежутки задания уравнения:

(-∞; ]; []; [1,5; 3]; [3; ∞)

1. х ≤ ; -2х + 3 - х + 3 + 4х - 1 = 0; х = -5

-5 (-∞;] значит х = -5 корень уравнения

2. ≤ х ≤ 1,5; -2х + 3 - х + 3 - 4х + 1 = 0; х = 1

1 [ 1,5] х = 1 корень уравнения

3. 1,5 ≤ х ≤ 3; 2х - 3 - х + 3 - 4х + 1 = 0; -3х = -1; х =

; х = не является корнем уравнения

4. х ≥ 3; 2х - 3 + х - 3 - 4х + 1 = 0; х = -5 не является корнем уравнения

-5 [3; ∞)

Ответ: -5; 1

3. Решить уравнение: | | | |х| - 2| -1| -2| = 2

Решение

По определению модуля имеем: | | |х| -2| -1| -2 = ± 2, т.е. два уравнения

|х| - 2 = ± 5; ||х| -2| = -3 - не имеет решения; |х| = 3 или |х| = 1

х = ± 3 х = ± 1

|х| = 7 или |х| = -3 - нет решения

х = ±7

Ответ: ±1; ±3; ±7

Решите уравнения:

а) | | х - 1| - 1| = 2; б) |х - 3| = (х - 3)²

в) |х + 1| - |х - 1| = 2 г) |х| = х + 3

д) |х + 2| + |х| + |х - 2| = 4 е) log₂ |х³ + 2х² - 4х -2| = 2

ж) |sin 2х| =