Программа элективного курса по математике

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа№89 с углубленным изучением

отдельных предметов» Ново-Савиновского района Г.Казани

Рабочая программа элективного курса

« Неподдающиеся параметры »

для учащихся 10 классов

Разработан

учителем математики

первой квалификационной категории

Моисеевой Н.И.

г. Казань

2013 год

Пояснительная записка.

Курс «Неподдающиеся параметры» дополняет базовую программу, не нарушая её целостность.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Настоящий глубокий интерес к математике начинается у учеников с привычки и стремления к серьезному умственному труду. Из этой привычки развивается потребность к творческой, исследовательской деятельности.

Известно, что в программах по математике (для неспециализированных школ) задачам с параметрами отводится незначительное место. Общеобразовательная школа по многим причинам не может научить своих учеников решать задачи с параметрами. Это очень трудный материал, требующий большого количества времени; кроме того, прежде чем приступать к решению подобных задач учащийся должен в совершенстве овладеть общим курсом математики. Но именно задачи с параметрами открывают перед учениками большое количество эвристических приемов общего характера, ценного для математического развития личности. Именно эти задачи дают большой размах поисковой деятельности, возможность обсуждать и доказывать. Именно эти задачи позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся. Программа курса построена таким образом, что каждое занятие включает в себя теоретические знания, постановку проблемы, выдвижение и проверку гипотез, поиск решения. Все темы дополняют, расширяют и углубляют знания учащихся.

Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых их особенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практической деятельности.

Главный принцип построения программы: от простого к сложному, переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому.

Основная задача курса как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого слушателя, не ограничивая заранее сверху уровень сложности задачного материала. Решение задач способствует систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыка решения сложных задач.

Программа данного курса рассчитана на 34 часа и предназначена для учащихся 10 классов. Административной проверки усвоения материала курса не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные контрольные работы. Занятия по элективному курсу можно проводить в виде лекций, бесед, подготовки докладов, исследования практических и теоретических материалов, основное время отводится решению задач. По окончании занятий проводится презентация учебных практических работ - конференция, которая подведет итог всей работе учащихся. Работы могут быть как индивидуальные, так и парные, групповые. Данный итоговый урок можно провести в виде конкурса, где победителей определят сами учащиеся.

Основные задачи данного курса:

• углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

• выявить и развить их математические способности;

• расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с параметрами;

• повышение уровня математического и логического мышления учащихся;

• развитие навыков исследовательской деятельности.

Требования к уровню подготовки учащихся:

• должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по сравнению с обязательным уровнем сложности;

• точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;

• правильно пользоваться математической символикой и терминологией;

• применять рациональные приемы тождественных преобразований;

• использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.

Технологическая карта элективного курса

• На каком содержательном материале строится курс?

На материале базового курса математики 10 класса.

Курс поможет ученику сориентироваться в выборе профиля высшего учебного заведения, восполнить пробелы его предыдущей подготовки, показать типичные для данного профиля виды деятельности, даст возможность ученику проявить себя и добиться успеха.

• Чем содержание курса качественно отличается от базового?

Содержание курса адекватно возрасту детей и способствует развитию их интереса к математике. Важно не только добиться усвоения школьниками этих понятий, но и обучить их на этом материале приемам умственной работы, что составляет важный компонент развивающего обучения.

Содержание способствует развитию творческой и исследовательской деятельности учащихся. Весь материал данного курса в базовом не изучается.

• Какие виды деятельности возможны в работе с данным содержанием?

В данном курсе основными видами деятельности являются:

• совершенствование рациональных приемов тождественных преобразований,

• работа в парах, в группах(умение слушать и объяснять),

• выдвижение гипотез и их доказательств,

• составления отчёта о выполненной работе.

• Какова доля самостоятельности ученика в работе данного курса, в чём он может проявить инициативу?

Учащиеся могут выбрать:

• объект изучения

• вид отчётных работ из предложенных (отчёт, презентация, проект)

• литературу, по которой они будут готовить отчётные работы

• Какие критерии позволят оценить успехи в изучении данного курса?

Критерии оценки уровня достижений учащихся:

• наблюдение активности на занятиях,

• беседы с учащимися, родителями,

• анализ работ учащихся,

• анкетирование.

Итоговая аттестация по результатам изучения курса проводится по результатам отчётов о выполненных работах,

по итогам участия школьников в конференции.

• Каким образом в процессе работы будет фиксироваться динамика интереса к курсу, к будущему профилю?

Анкетирование на первом и последнем занятии, собеседование в процессе работы после выполнения каждого вида обязательных работ (т.е. не мене 3 раз за цикл обучения)

• Чем может завершиться для ученика изучение курса, какова форма отчётности?

Итоговая конференция с защитой работ учащихся.

Содержание обучения.

1. Решение уравнений с параметрами. (10 часов).

Понятие параметра. Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в, решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в. Линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

Квадратное уравнение с параметром. Применение теоремы Виета. Взаимное расположение корней квадратного трехчлена. Выделение полного квадрата.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Схема Горнера. Уравнения с двумя неизвестными.

2. Решение неравенств с параметрами. (6 часов).

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Решение квадратных неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена. Количество корней в зависимости от значений параметров.

3. Решение систем уравнений с параметрами. (8 часов).

Решение систем линейных уравнений способом сложения и подстановки.

Системы симметричных уравнений.

Решение систем рациональных уравнений специальными приемами.

4. Функционально-графический способ решения задач с параметрами. (10 часов).

Графические и аналитические методы. Классификация задач. Ответ, как наперёд заданное подмножество множество действительных чисел. Параметр, как равноправная переменная. Свойства решений уравнений, неравенств и их систем.

Свойства функций в задачах с параметрами. Схема исследования функций. Область значений функции. Подстановки. Экстремальные свойства функций. Свойства монотонных функций.

Тематическое планирование элективного курса. 10 класс

№

урока

Тема

урока

Кол-во

часов

Цели и задачи

(краткое содержание)

Подбор примерных заданий

Решение уравнений с параметрами (10 часов)

1

Линейное уравнение b.

1

Вводный урок. Решение линейных уравнений. Понятие параметра. Исследовать уравнение : уравнение вида a x = b с переменной x имеет единственное решение при a 0 ; имеет бесконечное множество решений при a = 0, b = 0 ; не имеет решений при a = 0, b 0 .

2

Линейное уравнение, приводимое к виду b.

1

Решить уравнение - значит указать, при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению. При решении уравнений с параметром стремятся выделить «особые» значения параметра(контрольные), в которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. При каких значения параметра

а уравнение не имеет корней? .

3

Квадратное уравнение с параметром.

1

Влияние параметра на дискриминант и старший коэффициент сводится в большинстве случаев к регулированию количества корней :

- не имеет корней

-имеет корни

-имеет один корень

-имеет два корня

-имеет положительные корни

-имеет отрицательные корни

-имеет корни разного знака

-имеет один из корней, равный нулю.

Установить, при каких а уравнение не имеет корней (имеет 2 корня и т.д.).

1. 

2. 

3. 

4. .

4

Использование теоремы Виета.

1

Теорема Виета и обратная теорема Виета. Тождественные преобразования. Формулы сокращенного умножения.

1. Определить при каких а корни уравнениябудут таковы, что .

2. При каких а разность корней уравнения равна 1?

3. Определить численное значение а в уравнении,при котором сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей.

4. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения равно 2.

5. Найти все значения параметра а , при которых корни уравнения действительны и положительны.

5-6

Знаки и расположение корней квадратного уравнения

2

Знаки и расположение корней квадратного уравнения исследуются с помощью теоремы Виета. Для этого используются соответствующие теоремы и следствия из них (необходимые и достаточные условия).

1. При каких значениях а корни уравнения имеют противоположные знаки?

2. При каких значениях а оба корня уравнения отрицательны?

3. При каких значениях а корни уравнения больше 1?

4. При каких значениях а корни уравнения принадлежат (-1;1)?

5. Корни х₁ и х₂ уравнения удовлетворяют неравенству >1. Определить возможные значения, которые может принимать параметр а.

7-8

Уравнения высших степеней.

2

Решение уравнений высших степеней. Способ группировки. Введение новой переменной. Теорема Безу. Схема Горнера. Симметричное уравнение. Приведение к квадратным уравнениям с параметром.

1. 

2. 

3. 

4. Определите все значения параметра а, при каждом из которых три различные корня уравнения образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

на промежутке имеет не менее

двух корней.

9-10

Уравнения с двумя переменными

2

Решение уравнений с двумя переменными с параметром требуют искусственного приема, чтобы свести данное уравнение к сумме двух полных квадратов и решению полученной системы.

Найти все действительные решения уравнения:

Решение неравенств с параметрами (6 часов)

11-12

Линейные неравенства с параметром.

2

Линейное неравенство. Правила преобразований неравенств. Важность знака коэффициента при решении неравенств. При решении необходимо учесть и рассмотреть все случаи.

1. 

2. 

3. >

4. 

5. <

6. 

7. >

8. Найти значение параметра а, при котором наименьшее решение неравенства равно -3.

9. Найти значение параметра а, при котором наибольшее положительное решение неравенства равно 10.

10. Найти все значения параметра , , при которых неравенство >0 выполняется при любых

13-14

Квадратные неравенства с параметром.

2

Решение квадратных неравенств тесно связано с расположением параболы. Расположение параболы (относительно оси ОХ) полностью определяется знаками дискриминанта и старшим коэффициентом. Решение квадратных неравенств с помощью теоремы Виета.

1. >0

2. <0

3. При каких а неравенство >0 справедливо при всех х?

4. При каких значениях а множество решений неравенства <0 образует интервал длины 5?

5. При каких значениях а неравенство выполняется только для одного действительного значения х?

6. Найти все значения параметра а, при которых неравенство >0 выполняется для всех х<0.

7. Найдите все значения параметра а, при

каждом из которых множество решений

неравенства

<0

содержит хотя бы одно целое число.

15-16

Метод интервалов.

2

Использование метода интервалов для решения неравенств.

1. При каких значениях параметра а решением неравенства является отрезок?

2. При каких а неравенство имеет единственное решение?

3. Найти все значения а, при которых неравенство <0 выполняется для всех таких х, что .

4. При каких значениях параметра а решением неравенства служит сплошной промежуток?

5. Для всех решить неравенство .

6. Найти все значения а, для каждого из которых неравенство <0 выполняется хотя бы при одном значении .

Решение систем уравнений с параметрами (8 часов)

17-18

Решение систем линейных уравнений.

2

Основные методы решения линейной системы - метод подстановки, метод исключения неизвестного и метод сложения.

1. При каком а система уравнений не имеет решений (имеет решение, имеет бесконечное множество решений).

2. Для всех значений параметра а решить систему:

3. Для каждого значения параметра а решить систему:

4. При каком а система уравнений не имеет решений.

19-20

Метод определителей.

2

Понятие определителя. Формулы определителей. Применение определителей для решения систем уравнений. Формулы Крамера.

1. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

2. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений не имеет решения.

3. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений

21

Способ введения новых переменных.

1

Группировка. Выделение полного квадрата. Введение новых переменных после рациональных преобразований.

1. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет ровно 2 различных решений.

22

Системы симметричных уравнений.

1

Аналитические выражения, которые присутствуют в задаче, обладают той

или иной симметрией. Например, являются четными по одной из неизвестных или же наряду с решением (х;у) имеют решение (у;х).

1. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение (х;у)?

23-24

Решение систем рациональных уравнений специальными приемами.

2

Большое внимание на этих уроках уделяется выдвижению учащимися гипотез, поиску путей решений, обсуждению. Группировка. Выделение полного квадрата. Введение новых переменных после рациональных преобразований. Метод подстановки, метод исключения неизвестного и метод сложения.

Уравнение окружности.

1. Найти все значения а, при каждом из которых система не имеет решений.

2. Определите при каких значений параметра в при любых значениях параметра а система уравнений имеет ровно два различных решения (х;у).

3. При каких значениях параметров а и в система имеет не менее 5 решений?

4. При каких значениях а существует единственное решение системы

Функционально-графический способ решения задач с параметрами(10 часов)

25-26

Параллельный перенос вдоль Оу.

2

Обобщение свойств функций и их графиков.Свойства функций в задачах с параметрами. Схема исследования функций. Область значений функции. Подстановки. Экстремальные свойства функций. Свойства монотонных функций. Решение задач с параметрами с помощью графиков. Модуль.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

2. При каких значениях параметра а неравенство >а -х имеет решения?

3. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

27-28

Параллельный перенос вдоль Ох.

2

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно одно решение?

3. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно один корень.

29-30

Поворот.

2

На этих уроках учащиеся работают полностью самостоятельно, в парах, в группах, доходят до конца решения. Учитель выступает в качестве консультанта. Так же оставляется время для консультаций по отчетным работам. Подготовка к конференции.

1. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

3. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно 3 решения.

4. При каких значениях параметров а система имеет наибольшее число решений?

31-32

Метод областей.

2

1. Найти все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств и образуют на числовой прямой отрезок длины единица.

2. Найти все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств и являются решениями неравенства 2у - х>а+3.

33-34

Итоговый урок

2

Учащиеся представляют и защищают отчёты по выполненным практическим работам, полученные при изучении курса «Неподдающиеся параметры»

Критерии оценки практической работы (реферата, презентации):

I.Оформление и выполнение проекта:

1.Актуальность темы, реальность, практическая направленность и значимость работы.

2.Объем и полнота разработок, самостоятельность.

3.Уровень творчества.

4.Качество оформления проекта.

5.Качество и полнота рецензии.

II. Процедура защиты:

1.Качество доклада.

2.Объем и глубина знаний по теме.

3.Культура речи, манера держаться перед аудиторией.

4.Ответы на вопросы.

Примерная итоговая практическая работа для учащихся.

1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней? Ответ: b=

2. При каких значениях параметра a сумма S квадратов корней уравнения является наибольшей? Чему равна эта сумма? Ответ:

3. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 3 различных решения? Ответ:

4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых из неравенств следует неравенство . Ответ: .

5. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых отрезок целиком содержится среди решений неравенства < 0. Ответ: .

6. Найдите значения параметра a, при которых система имеет ровно два различных решения. Ответ: .

7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок. Ответ: .

Краткая аннотация

"Неподдающиеся параметры" - неподдающиеся решению основной массе учащихся. Так как по базовым образовательным программам научить учащихся решать задания с параметрами просто нереально. Данный элективный курс не предусматривает полного обучения данной задаче. В программе положено начало, даются некоторые приемы решения рациональных неравенств, уравнений и их систем. Обучение должно быть продолжено в 11 классе, где задачи с параметрами будут расширены на тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Курс должен помочь сделать решение задач с параметрами «поддающимся».

Все меньше времени на уроках мы можем уделить творчеству, исследованиям. Данный курс построен таким образом, что каждое занятие должно включать в себя теоретические знания по изучаемой теме, их обобщение и систематизацию, постановку проблемы и нахождение путей ее решения самими учащимися.

Все темы дополняют, расширяют знания учащихся, реализуют возможность каждого учащегося, дают возможность работы в парах и в группах. Таким образом, у прошедших этот курс, будет сформировано целостное представление о решении рациональных неравенств, уравнений и их систем, развит познавательный интерес, что приведет к повышению успеваемости по математике, повысит информационную и коммуникативную компетентность учащихся при выполнении отчетной работы.

Данная программа отличается от других подбором тематических заданий к урокам и прилагается примерная итоговая практическая работа для учащихся, что позволит учителю легко работать по ней.

Список рекомендуемой литературы:

Для учителя

1. Ястребицкий Г.А. Задачи с параметрами.

2. Горнштейн П.И.,Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. «Необходимые условия в задачах с параметрами».-М.,Илекса,2005

3. Скорикова Л.А.Математика 10-11 классы. Задачи с параметрами. Издательство «Учитель»,Волгоград,2010.

4. Галицкий М.Л.,Мошкович М.М.,Шварцбурд. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа (методические рекомендации и дидактические материалы).-М.,Просвещение,1990

5. Локоть В.В. Задачи с параметрами.

6. Родионов Е.М. Математика. Решение задач с параметрами: пособие для поступающих в вузы .-М., учебный центр «Ориентир» при МГТУ, 2001.

7. uztest.ru

8. reshuege.ru

Для учащихся

• Мордкович А.Г. Алгера и начала анализа.10-11 кл.Ученик для общеобразовательных учреждений.М.,Мнемозина,2009.

• Виленкин Н.Я. и др. Алгебра:Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией-2-е изд.,М.: «Просвещение».2005г.

• Родионов Е.М. Математика. Решение задач с параметрами: пособие для поступающих в вузы .-М., учебный центр «Ориентир» при МГТУ, 2001.

• Беляев С.А. Задачи с параметрами. Методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик». М.,изд.МЦНМО.,2009

• reshuege.ru

• uztest.ru

Список литературы, использованной при подготовке программы:

1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. Математика ЕГЭ 2011(типовые задания С5)

2. Скорикова Л.А.Математика 10-11 классы. Задачи с параметрами. Издательство «Учитель»,Волгоград,2010.

3. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения. М.,ОНИКС, Мир и Образование,2007

4. reshuege.ru