Математика

Конспект урока для 11 «А» класса на тему «Конус»

Цели урока:

- образовательная: ввести понятие конуса;

Задачи:

1. Ввести понятие конической поверхности.

2. Дать определение конуса.

3. Научить учащихся называть элементы конуса.

4. Вывести формулы площади боковой и полной поверхности конуса, площади боковой поверхности усеченного конуса.

5. Ввести понятие усеченного конуса.

6. Научить учащихся решать задачи на применение введенных понятий.

- развивающая: развивать память, внимание, логическое мышление, наблюдательность.

- воспитательная: воспитывать аккуратность, настойчивость, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы: обобщенно-репродуктивный.

Требования к ЗУН:

учащиеся должны знать:

- какая поверхность называется конической поверхностью;

- определение конуса;

- элементы конуса;

- формулы площади боковой и полной поверхности конуса, площади боковой поверхности усеченного конуса;

- какая поверхность называется усеченным конусом.

учащиеся должны уметь:

- объяснять, какая поверхность называется конической поверхностью;

- называть элементы конуса;

- решать задачи на применение введенных понятий.

Оборудование: набор чертежных инструментов.

Литература:

1. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 206 с.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин).

2. Актуализация знаний (5 мин).

3. Изучение нового материала (18 мин).

4. Закрепление изученного материала (13 мин).

5. Подведение итогов (5 мин).

6. Постановка домашнего задания (2 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент включает в себя приветствие учителем учащихся, проверку готовности кабинета и учащихся к уроку, проверку посещаемости.

2. Учитель: На сегодняшнем уроке мы с вами переходим к изучению параграфа, который называется «Конус», в котором рассмотрим, что же такое коническая поверхность, конус, усеченный конус, и выведем формулы площади боковой и полной поверхности конуса.

И сначала давайте вспомним некоторые понятия и теоремы, изученные ранее, которые нам понадобятся на уроке. Что называется окружностью?

Ученик: Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Учитель: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Ученик: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Учитель: Верно. Что называют кругом?

Ученик: Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учитель: Что называется трапецией, прямоугольной трапецией?

Ученик: Трапеция - четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - непараллельны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

3. Учитель: Теперь приступим к изучению новой темы. Откройте свои рабочие тетради и запишите число, классная работа и тему сегодняшнего урока.

Запись на доске и в тетрадях:

Число Классная работа

Конус.

Учитель: Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки - образующими конической поверхности.

Запись на доске:

Учитель: Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг - основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности - образующими конуса (на рисунке изображены образующие РА, РВ и др.). Все образующие конуса равны друг другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель: Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то как вы думаете, что представляет собой сечение?

Ученик: Равнобедренный треугольник.

Учитель: Правильно. А если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то что представляет собой сечение конуса?

Ученик: Круг с центром O₁, расположенным на оси конуса.

Учитель: Да. В учебнике это рисунки 144 и 145. Теперь выведем некоторые формулы. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь S_бок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r. Чему равна площадь кругового сектора - развертки боковой поверхности конуса?

Ученик: где α - градусная мера дуги ABA'.

Учитель: Верно, поэтому .

Запись в тетрадях: .

Учитель: Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2πr (длине окружности основания конуса), то , откуда . Подставив это выражение в первую формулу, получим . Кто прочитает, чему равна площадь боковой поверхности конуса?

Ученик: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Учитель: Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности к основания. Для вычисления площади S_бок полной поверхности конуса получается формула .

Запись на доске и в тетрадях:

,

Учитель: Что же такое усеченный конус? Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель: Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры - высотой усеченного конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Как вы думаете, как соотносятся между собой образующие усеченного конуса?

Ученик: Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Учитель: Верно. На стр.126 учебника выводится формула площади боковой поверхности усеченного конуса. Разберите вывод самостоятельно дома и запишите его в тетради. А сейчас просто прочитайте.

Ученик: Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

4. Учитель: Для закрепления изученного материала давайте выполним несколько примеров из учебника.

Запись на доске:

В классе: №547, №550, №565

Учитель: Начнем с №547. Кто пойдет к доске?

Ученик: Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Запись на доске и в тетрадях:

№547

Дано: конус, h=15 см, r=8 см.

Найти: l.

Решение:

Учитель: С чего мы начнем решение?

Ученик: Рассмотрим ΔСОВ. Он будет прямоугольным, его катеты равны высоте конуса и радиусу основания. По теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая и будет образующей.

Запись на доске и в тетрадях:

В ΔСОВ: l²=r²+h²

l=

l=17 см

Ответ: l=17 см

Учитель: Молодец, садись. Следующий номер 550. К доске пойдет… (К доске выходит ученик). Прочитай условие задачи.

Ученик: Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Учитель: Сделай рисунок и запиши, что дано и что необходимо найти.

Ученик:

Запись на доске и в тетрадях:

№550.

Дано: конус, ΔАВС - сечение, , r=5 см.

Найти: S_АВС.

Решение:

Ученик: Так как r=5 см, то АС=10 см. Далее рассмотрим ΔАВС, он равнобедренный.

Запись на доске и в тетрадях:

1) Так как r=5 см, то АС=10 см.

2) ΔАВС равнобедренный, значит , отсюда ВО=АО·tg45⁰=5 см.

3) см².

Ответ: см².

Учитель: Хорошо. И последний номер 565. Кто желает к доске?

Ученик (выходит к доске): Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Запись на доске и в тетради:

№565.

Дано: конус, ΔАВО, , АО=8 см, ВО=6 см.

Найти: , .

Решение:

Учитель: Так как ΔВОС прямоугольный, то по теореме Пифагора мы можем найти неизвестную гипотенузу ВС, которая является образующей конуса. Запишем это.

Ученик:

Запись на доске и в тетрадях:

1) см.

2)

см².

3)

см².

Ответ: см², см².

5. Учитель: Подведем итоги нашего урока. Сегодня мы с вами рассмотрели что же такое коническая поверхность, конус, усеченный конус, и вывели формулы площади боковой и полной поверхности конуса, площади боковой поверхности усеченного конуса. Скажите, что же называется конусом?

Ученик: Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Учитель: Что такое боковая поверхность, основание и образующая конуса?

Ученик: Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг - основанием конуса. Образующие конической поверхности - образующими конуса

Учитель: Чему равны площади боковой и полной поверхности конуса?

Ученик: ,

Учитель: Хорошо. Сегодня за активную работу на уроке я ставлю оценки…

6. Учитель: Теперь откройте свои дневники и запишите домашнее задание, написанное на доске.

Запись на доске и в дневниках:

п. 55-57, №556 (записать доказательство), №548 (а), №553.

Учитель: У вас есть ко мне вопросы по уроку? Если нет, урок окончен, можете быть свободны.

7