Урок математики по теме Линейные и квадратные неравенства

Линейные и квадратные неравенства
(повторение) (3 ч)

У р о к 1

Цели: повторить формулы сокращенного умножения, научить применять их при упрощении выражений и разложении на множители; повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Повторить формулы сокращенного умножения и записать эти формулы на доске и в тетрадях.

2. Решить устно № 1.5 (а; б) и № 1.6 (а; б) из задачника.

3. Решить письменно с комментированием на месте № 1.5 (в; г) и № 1.6 (в; г) из задачника.

4. На доске и в тетрадях решить № 1.7 (в; г) из задачника.

Р е ш е н и е

в) (а - 3)(а + 4) - (а + 2)(а + 5) = а² + 4а - 3а - 12 - а² - 5а - 2а - 10 = = - 6а - 22

При а = - имеем - 6 · (-) - 22 = 1 - 22 = - 21.

г) (с + 2)² - (с + 4)(с - 4) = с² + 4с + 4 - с² + 16 = 4с + 20

При с = - 0,25 имеем 4 · (- 0,25) + 20 = - 1 + 20 = 19.

5. Вспомнить способы разложения многочлена на множители. Решить № 8 (а) и № 13 устно на с. 6 задачника.

II. Работа с учебником.

1. Вспомнить определение линейного неравенства с одной переменной; записать в тетради: ах + в > 0 или ах + в < 0, где а и в - действительные числа (а ≠ 0).

2. Что называют решением неравенства f(х) > 0?

3. Решить устно № 1.1 (а; б) из задачника.

4. Повторить определение равносильных неравенств: два неравенства f(х) < q(x) и r(х) < s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения или оба неравенства не имеют решений.

5. По учебнику на с. 6-7 повторить правила 1; 2; 3, выражающие равносильные преобразования неравенств.

6. Разобрать по учебнику решение примера 1 на с. 8-9.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить № 1.2 (а; в) на с. 13 задачника самостоятельно, а затем проверить решение.

а) 4а - 11 < а + 13

4а - а < 13 + 11

3а < 24

а < 24 : 3

а < 8

О т в е т: а < 8, или (-∞; +8).

в) 8b + 3 < 9 b - 2

8b - 9b < - 2 - 3

- b < - 5

b > - 5 : (-1)

b > 5

О т в е т: (5; ∞).

2. Решить № 3 (а; в) на доске и в тетрадях.

а) < 0

15  < 0 · 15

5(5 - а) - 3(3 - 2а) < 0

25 - 5а - 9 + 6а < 0

а < - 16

О т в е т: а < - 16.

в)

3(х + 7) > 4(5 + 4х)

3х + 21 > 20 + 16х

3х - 16х > 20 - 21

- 13х > - 1

х <

О т в е т: х < .

3. Решить № 1.4 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях; затем проверяется решение.

в) 3х(3х - 1) - 9х² ≤ 2х + 6

9х²- 3х - 9х² ≤ 2х + 6

- 3х - 2х ≤ 6

- 5х ≤ 6

х ≥

х ≥ - 1,2

О т в е т: х ≥ - 1,2 или [- 1,2; ∞).

г) 7с(с - 2) - с(7с + 1) < 3

7с² - 14с - 7с² - с < 3

- 15с < 3

с > - 3 : 15

с >

О т в е т: с > .

4. Повторение ранее изученного материала. Решить задачу № 42 на с. 10 задачника.

Пусть запланированная скорость пешехода равна х км/ч, тогда за 1,2 ч пешеход пройдет 1,2х км. Пешеход же шел со скоростью (х + 1) км/ч и за 1 ч прошел путь (х + 1) · 1 км. Длина пути пешехода одинакова. Составим и решим уравнение:

1,2х = (х + 1) · 1;

1,2х - х = 1;

0,2х = 1;

х = 1 : 0,2 = 5.

Длина пути равна 1,2 · 5 = 6 (км).

О т в е т: 6 км.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: изучить по учебнику страницы 12-14; решить № 1.1 (в; г), № 1.2 (б; г), № 1.4 (а; б); № 1.3 (б; г).

У р о к 2

Цели: повторить определение квадратного неравенства и его решения; напомнить еще один способ рассуждений, который можно применять при решении неравенств, - это метод интервалов; упражнять учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Что называется квадратным неравенством с одной переменной х? Что называется решением неравенства f(х) > 0?

2. Разобрать решение примера 2 по учебнику на с. 9-10 (рис. 1).

3. Сформулировать два утверждения, применяемые при решении квадратных неравенств (при дискриминанте D < 0).

4. Записать в тетрадях теорему: квадратный трехчлен ах² + bх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.

5. Разобрать решение примера 3 на с. 10 учебника и записать в тетради решение.

а) 2х² - х + 4 > 0; D = - 31 < 0; а = 2, а > 0; значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х² - х + 4 > 0.

О т в е т: (- ∞; + ∞).

б) - х² + 3х - 8 ≥ 0; D = - 23 < 0; а = - 1, то есть а < 0. Тогда по теореме - х² + 3х - 8 < 0. Значит, данное неравенство не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить № 1.5 (а; б) на доске и в тетрадях.

а) х² - 6х - 7 ≥ 0

х² - 6х - 7 = 0

D = (- 6)² - 4 · 1 · (- 7) = 64

х₁ =

х₂ =

О т в е т: х ≤ - 1, х ≥ 7.

б) - х² + 6х - 5 < 0

- х² + 6х - 5 = 0

D = 6² - 4 · (- 1) · (- 5) =
= 36 - 20 = 16

х₁ =

х₂ =

О т в е т: х < 1, х > 5.

2. Решить № 1.6 (в; г). Двое учащихся решают самостоятельно на доске, остальные - в тетрадях, затем проверяется решение.

в) 6х² - 7х - 20 ≤ 0

6х²- 7х - 20 = 0

D = (- 7)² - 4 · 6 · (- 20) = 529

х₁ =

х₂ =

О т в е т: ≤ х ≤ .

г) 15х² - 29х - 2 > 0

15х² - 29х - 2 = 0

D = (- 29)² - 4 · 15 · (- 2) = 961

х₁ =

х₂ =

О т в е т: х < ; х > 2.

3. Решить № 1.7 (в; г) с комментированием на месте.

в) 5х² - 2х + 1 < 0

5х² - 2х + 1 = 0

D = (- 2)² - 4 · 5 · 1 = - 16 < 0

а = 5 > 0;

по теореме не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

г) - 7х² + 5х - 2 ≤ 0

- 7х² + 5х - 2 = 0

D = 5² - 4 · (- 5) · (- 2) =
= - 31 < 0

а = - 7 < 0, тогда по теореме

х - любое число.

О т в е т: (- ∞; + ∞).

III. Работа по учебнику.

1. Вспомним еще один способ рассуждений, который можно использовать при решении неравенств. Разберем решение неравенства х² - 6х + + 8 > 0 по учебнику на с. 10 (пример 4) по рис. 2.

2. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств.

3. Решить № 1.14 (а) и 1.10 (б) методом интервалов. Решение объясняет учитель.

1.14 (а) . Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть (3 - х)(х + 7) ≥ 0. Отметим на числовой прямой числа 3 и - 7.

Если х < - 7, то 3 - х > 0 и х + 7 < 0.

Если - 7 ≤ х ≤ 3, то 3 - х > 0 и х + 7 > 0.

Если х > 3, то 3 - х < 0 и х + 7 > 0.

О т в е т: - 7 ≤ х ≤ 3, или [- 7; 3].

1.10 (б) Выражение имеет смысл, если 5х - х² + 6 ≥ 0; - х² + 5х + 6 = 0; D = 5² - 4 · (- 1) · 6 = 49; х₁ = - 1; х₂ = 6; тогда - (х + + 1)(х - 6) ≥ 0.

О т в е т: - 1 ≤ х ≤ 6.

4. Повторение ранее изученного материала.

1) Решить № 8 (в; г) на с. 6 самостоятельно с проверкой.

в)

г)

2) Решить № 11 (в; г) на с. 6 на доске и в тетрадях.

в) 42⁸ + 42⁷ = 42⁷ · (42 + 1) = 42⁷ · 43 кратно 43;

г) 2²³ + 2²⁰ = 2²⁰ · (2³ + 1) = 2²⁰ · 9 = 217 · (2³ · 9) = 2¹⁷ ·72 кратно 72.

IV. Итог урока. Выставление отметок.

Домашнее задание: решить № 8 (б) на с. 6 и № 1.15 на с. 14 задачника; решить № 1.5 (в; г), № 1.6 (а; б), № 1.7 (а; б).

У р о к 3

Цели: выработать навыки решения квадратных неравенств; рассмотреть на примерах решение неравенств с модулями; повторить и закрепить навык разложения многочлена на множители способом группировки.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Выборочно проверить домашние задания у некоторых учащихся.

2. Трое учащихся решают на доске задания по карточкам (с последующей проверкой):

1) решить неравенство х² - 4х - 5 ≤ 0;

2) решить № 8 (в) на с. 6;

3) решить неравенство 3х² - 6х + 8 ≤ 0.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить на доске и в тетрадях.

б) f(х) = Областью определения выражения f(х) являются все значения х, при которых х² - 9 > 0. Применим метод интервалов:

(х - 3)(х + 3) > 0; х = 3; х = - 3.

О т в е т: х < - 3; х > 3.

в) f(х) =

14 - 2х² - 3х > 0;

- 2х² - 3х + 14 = 0;

D = (- 3)² - 4 · (- 2) · 14 = 9 + 112 = 121;

х₁ = - 3,5;

х₂ = 2.

- 2(х + 3,5)(х - 2) > 0

О т в е т: - 3,5 < х < 2.

2. Решить № 1.20 (а; б).

а) 2х² + х < 2

2х² + х - 2 < 0

2х² + х - 2 = 0

D = 1 - 4 · 2 · (- 2) = 17

х₁ =

х₂ =

О т в е т: < х <

б) 3 - х² ≤ х

- х² - х + 3 ≤ 0

- х² - х + 3 = 0

D = (- 1)² - 4 · (- 1) · 3 = 13

х₁ =

х₂ =

О т в е т: х ≤

х ≥

3. Решить № 1.21 (б).

б)

х² - 5 + 2х + 2 - 12 ≥ 0;

х² + 2х - 15 ≥ 0;

х² + 2х - 15 = 0;

х₁ = - 5;

х₂ = 3.

О т в е т: х ≤ - 5; х ≥ 3.

III. Изучение нового материала.

1. Напомним геометрическое истолкование выражения | х - а | - это расстояние на координатной (числовой) прямой между точками х и а, которое обозначают ρ(х; а). Применим это к решению неравенств с модулями.

2. Решить № 1.17 (б) и 1.19 (а). Решение объясняет учитель.

1.17 (б) | х - 2 | ≤ 3. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 2 на расстояние, меньшее или равное 5. Это все точки, принадлежащие отрезку [- 3; 7]:

1.19 (а) | 1 - х | > 2. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 1 на расстояние, большее 2.

О т в е т: х < - 1; х > 3.

3. Решить № 1.22 (а). Объясняет учитель.

а) | 4х + 3 | > 5

Р е ш е н и е

Имеем: 4 | х + | > 5; | х + | > Надо найти на числовой прямой все такие точки, которые удалены от точки () более чем на Получаем:

О т в е т: х < - 2; х >

4. Решить № 1.22 (б) на доске и в тетрадях.

б) 6 - | 3х + 1 | > 0;

- | 3х + 1 | > - 6;

| 3х + 1 | < 6;

3 | х + | < 6;

| х + | < 2.

Надо найти на числовой прямой все точки, которые удалены от точки () на расстояние, меньшее 2.

О т в е т: < х < .

IV. Повторение пройденного материала.

Вспомнить, в чем заключается способ группировки при разложении многочлена на множители.

1) Решить № 10 (в; г) на с. 6 задачника.

в) 9m² - 9mn - 5m + 5n = (9m² - 9mn) - (5m - 5n) = 9m(m - n) -
- 5(m - n) = (m - n)(9m - 5);

г) 16ab² + 5b²c + 10c³ + 32ac² = (16ab² + 32ac²) + (5b²c + 10c³) =
= 16a(b² + + 2c²) + 5c(b² + 2c²) = (b² + 2c²)·(16a + 5c).

2) Решить № 12 (а) на с. 6 на доске и в тетрадях; № 12 (б) на с. 6 самостоятельно с проверкой.

а) 2,7 · 6,2 - 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 - 1,2 · 2,7 = (2,7 · 6,2 + 6,2 · 9,3) -
- (9,3 · 1,2 + 1,2 · 2,7) = 6,2(2,7 + 9,3) - 1,2 · (9,3 + 2,7) = (2,7 + 9,3) ×
× (6,2 - 1,2) = 12 · 5 = 60;

б) 125 · 48 - 31 · 82 - 31 · 43 + 125 · 83 = (125 · 48 + 125 · 83) -
- (31 · 82 + 31 · 43) = 125 · 131 - 31 · 125 = 125(131 - 31) = 125 × 100 =
= 12500.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: по учебнику изучить материал § 1 и записать в тетради решение примера 5 на с. 11; решить по задачнику № 10 (а; б) и № 12 (в; г) на с. 6; решить № 1.12; 1.22 (в; г) на с. 14-15.