Введение понятия комплексного числа

Введение понятия комплексного числа.

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для

решения линейных уравнений вида

ах + b = 0 ,

где а и b - целые числа.

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т.е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn - действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

х2 + 1 = 0 .

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

х = -1 .

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

i2 + 1 = 0 , или i2 = - 1 ,

следовательно, i= .

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

z=a+bi .

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 - действительный и imaginaire - мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное - по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

z=a+bi ,

где а и b - действительные числа, а i - некоторый символ,

удовлетворяющий условию i= . Число а называется

действительной частью комплексного числа z=a+bi, а

число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

а = Re z , b = Im z .

Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются

действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто

мнимыми.

Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i

называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства

a1 = a2 , b1 = b2 .