Урок по математике Решение систем линейных уравнений с параметрами

Открытый урок по теме:

« Решение систем двух линейных уравнений

с двумя неизвестными и с параметрами»

(Урок подходит для учащихся 7-х -11-х классов)

подготовила: учитель математики

МОУ СОШ г. Мамоново

Калининградской области

Васильева Наталья Николаевна

Цель урока: рассмотреть новые способы решения систем линейных уравнений без параметров и с параметрами с помощью определителей.

Рассмотрим вид системы линейных уравнений .

а ₁х+в₁у=с₁ (1)

а₂х+в ₂у=с₂,

где а₁,а₂,в₁,в₂,с₁,с₂-некоторые числа и а₁²+ в ₁²≠0; а₂²+ в ₂²≠0;

называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам системы (1) составляем три определителя.

а ₁ в₁

∆ = а ₂ в₂ =а ₁в ₂- а ₂в ₁,

с ₁ в₁

∆ _х = с ₂ в₂ =с ₁в ₂- с ₂в ₁,

а ₁ с₁

∆_у = а ₂ с₂ =а ₁с ₂- а ₂с ₁,

где ∆-называется главным определителем системы (1), ∆ _х -определителем неизвестного Х, а ∆ _у -определителем неизвестного у _.

Выражения для определителя системы ∆ получается из коэффициентов при неизвестных Х и У;

для ∆ _х из определителя ∆ системы (1), если в нем столбец, составленный из коэффициентов при Х, заменить столбцом из свободных членов. Аналогично получается ∆ _у из ∆ заменой столбца коэффициентов при У на столбец свободных членов.

1)Если главный определит системы отличен от нуля, т. е.

а ₁ в₁

∆ = а ₂ в₂ ≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х=∆ _х /∆ , У= ∆ _у /∆ .

Эти формулы носят название формул КРАМЕРА _.

2) Если определитель системы равен нулю, а хотя бы один из определителей неизвестных отличен от нуля, т. е. ∆ =0, ∆ _х ≠0 или (∆ =0, ∆ _у ≠0), то система не имеет решений.

3) Если же равны нулю и главный определитель системы и определители неизвестных, т.е.

∆ =0, ∆ _х =0, ∆ _у =0, то система имеет бесконечное множество решений.

Примечание. Если на систему (1) не наложить условий : а₁²+ в ₁²≠0; а₂²+ в ₂²≠0, то из условия

∆ =0, ∆ _х =0, ∆ _у =0 может и не следовать, что данная система имеет бесконечное множество решений. Например система

0∙х+0∙у=4

0∙х+0∙у=-1, все три определителя которой равны нулю не имеет решений.

Рассмотрим примеры на решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при котором система

4Х+5У=8

аХ- 6У=2 имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение, при условии, что ∆ ≠0. Так как

∆ = 4 5 =-24-5а, то система имеет единственное решение, если а≠-24/5, или а≠-4,8

а -6

Ответ: при а≠-4,8 система имеет единственное решение.

Пример 2. Найти все значения параметра р, при котором система

рХ-2У=10

3Х+4У=15 не имеет решений.

Решение: Поскольку ∆ _х≠0, т.е.

10 -2 =40+30=70≠0, то данная система не имеет решений, если ∆=0, р -2 =4р+6=0, р=-1,5

15 4 3 4

Ответ: при р=-1,5 система не имеет решений.

Пример3. Найти все значения параметра а, при котором система

8Х - 3аУ =6

(2-3а)Х-4ау=1 не имеет решений.

Решение:

8 -3а

∆ = (2-3а) -4а =-32а+ 3а(2-3а)= -9а² -26а,

6 -3а

∆_х = 1 -4а = -21а,

8 6

∆_у = (2-3а) 1 = 8-6(2-3а)=18а-4.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы ∆ =0, а ∆ _х ≠0 или ∆ _у ≠0.

-9а² -26а=0 при а=0 или а=-26/9 .

При а=≠0 и ∆_х=0, а ∆_у=-4 ≠0.

При а=-26/9 ∆ =0, а ∆_х ≠0, значит система не имеет решений.

Ответ: при а=0 и а=-26/9 система не имеет решений.

Пример 4. Найти все значения параметра В, при которых система

6Х+ ВУ=-6

Х+2У =-1 имеет бесконечное множество решений.

Решение: Поскольку 6²+В² ≠0 и 1²+2² ≠0 и

∆_у= 6 -6 =-6+6=0, то данная система имеет бесконечное множество решений при условии

1 -1

6 В -6 В

∆= 1 2 = 12-В=0, ∆_х= -1 2 =-12+В=0, т.е. при В=12.

Ответ: при В=12 система имеет бесконечное множество решений.

Пример 5. Решить систему.

аХ+ У=а²

Х+ аУ=1. а 1 а² 1 а а²

Решение: Найдем ∆ = 1 а =а²-1, ∆_х= 1 а =а²-1 , ∆_у= 1 1 =а-а².

При а ≠±1 имеем ∆ ≠0. В этом случае система имеет единственное решение

Х=∆ _х/∆= (а³ -1)/( а²-1)=(а²+а+1)/(а+1)

У= ∆_у/∆=(а-а²)/( а²-1)=- а/(а+1). (2)

При а=1 имеем ∆ = ∆ _х= ∆_у =0 и получаем систему х+у=1не имеет решений

Х+у=1, т.е. ее решение можно записать в виде х=t

У=1- t, где tЄR.

При а=-1 имеем ∆ = 0, ∆ _х=-2≠0, и значит данная система не имеет решений.

В итоге получаем: при а Є (-; -1) (-1;1) u(1; +∞) система имеет единственное решение (2);

При а=1 система имеет бесконечное множество решений.

При а =-1 система решений не имеет.

Ответ: при а ≠±1 Х=(а²+а+1)/(а+1), У=- а/(а+1).

При а =1 решений бесконечно много

х=t

У=1- t, где tЄR.

При а =-1 решений нет.

Пример 6. Решите систему.

(2а+4 )Х-(5а+3)У =2а-4

(а+2)Х-3аУ=а-2 .

Решение:

2а+4 -(5а+3)

∆= а+2 -3а =--3а(2а+4)+(а+2)( 5а+3)=-а²+а+6.

∆_х= 2а+4 -(5а+3)

а-2 -3а =-3а(2а+4)+(а-2)(5а+3)=-а² +5а-6.

∆_у= 2а+4 2а-4

а+2 а-2 = (2а+4)(а-2)-(а+2)(2а-4)=2а² -8-2а²+8=0

1. ∆=0 -а²+а+6=0, а₁=3, а₂=-2.

2. ∆_х= 0 -а² +5а-6=0, а₁=3, а₂=2

Х= ∆ _х/∆=(-а² +5а-6)/( -а²+а+6)=(а-3)(а-2)/(а-3)(а+2)

У=∆ _у/∆=0/( -а²+а+6)=0.

Значит, при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)

У=0;

При а=3 Х=t

У=(5t-1)/9, где tЄR;

При а=-2 ∆=0, ∆_х= 20≠0, т.е. система не имеет решений.

Ответ: при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)

У=0;

При а=3 Х=t

У=(5t-1)/9, где tЄR;

При а=-2 решений нет.

Пример 7.Найдите числа а,в,с , если система

5Х+7У=15

аХ+вУ=с

решений не имеет, а уравнение аХ+вУ=с имеет решение

Х=4; У=1.

Решение: Имеем

5 7

∆ = а в =5в- 7а

1 5 7

∆_х = с в =15в- 7с

5 15

∆_у= а с =5с -15а

Система не имеет решений, если ∆=0, а ∆_х ≠0 или ∆ _у ≠0.

∆=0, 5в- 7а=0, в=1,4а.

Так как уравнения аХ+вУ=с имеет решение Х=4, У=1, то 4а+в=с, поэтому с =5,4а.

Значит , ∆_х=-16,8а, ∆ _у=12а.

Система не имеет решения, если а≠0, в=1,4а, с=5,4а, т.к. ∆ =0, а ∆_х ≠0 , ∆ _у ≠0.

Ответ: при а=t, в=1,4t, с=5,4t, где t€ (-∞; 0)U(0; +∞) система не имеет решений.

Пример 8. Найдите все значения параметра а, при которых решение системы

3Х-6У=1,

5Х-аУ=2 удовлетворяет условию Х<0 и У<0.

Решение: Найдем

3 -6-

∆ = 5 -а = -3а+30,

1 -6

∆_х = 2 -а = -а +12,

3 1

∆_у = 5 2 = 6-5 =1.

Так как ∆_у = 1≠0, то система имеет единственное решение при ∆≠0, т.е. а ≠10.

Х=∆_х/∆=(-а+12)/(-3а+30), У=∆_у/∆=1/(-3а+30).

Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.

(а-12)/(3а-30)<0,

1/(-3а+30).

Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.

(а-12)/(3а-30)<0, 10<а<12,

1/(30-3а)<0 <=> а>10 <=> 10<а<12, значит, при аЄ(10;12)

система имеет единственное решение, удовлетворяющее условию Х<0 и У<0.

Ответ: аЄ(10;12).

Пример 9.Найдите все значения а , при которых система

2Х+(9а²- 2)У=3а,

Х+У=1 не имеет решений.

Решение:

∆ = 1 1 =2-9а²+2=4-9а²,

2 9а²-2

3а 9а²-2

∆_х = 1 1 = 3а-9а²+2,

2 3а

∆_у = 1 1 = 2-3а.

∆=0 при а=±- 2/3.

1. а =2/3 ; ∆_х=3∙(2/3)-9∙(4/9)+2=0, ∆_у=2-3∙2/3=0.

Система имеет бесконечно много решений при а=2/3.

2. а=-2/3; ∆_х=3∙(-2/3)-9∙(4/9)+2 ≠0

Система не имеет решений при а=-2/3.

Ответ: при а =-2/3 система не имеет решений.

Пример 10. При всех значениях параметра а решите систему

аХ+У= |а|,

Х+аУ= а².

Решение: Имеем

а 1

∆ = 1 а =а²-1,

|а| 1

∆_х = а² а =а∙ |а| - а²,

а |а|

∆_у = 1 а² = а²- |а|.

1. при а=1 ∆=∆_х=∆_у=0 система имеет бесконечно много решений

Х=t,

У=1-t, где t € R.

2. При а =-1 ∆=0, ∆_х=-2≠0 система не имеет решений.

3. При а≠±1 ∆≠0.

а) при аЄ [0;1)U(1;+∞)

Х= ∆_х/∆=(а ∙|а|- а²)/(а²- 1)=0, У=∆_у/∆=( а³- |а|)/(а²-1)=а;

б) при а Є (-∞;-1)U(-1;0)

Х= ∆_х/∆=( а ∙|а|- а²)/(а²- 1)=2а²/(1-а²), , У=∆_у/∆=( а³- |а|)/(а²-1)=а(а²+1)/(а²-1).

Ответ: при а =-1 система не имеет решений;

при а =1 система имеет бесконечно много решений: Х=t,

У=1-t, где t € R;

при а Є [0;1)U(1;+∞) система имеет решение Х=0,

У=а;

При а Є (-∞;-1)U(-1;0) система имеет решение Х=2а²/(1-а²)

У=а(а²+1)/(а²-1).

Пример 11. Решите систему

аХ=ав

Ув=в² при всех значениях параметров а и в.

Решение: Перепишем систему в виде

аХ + 0∙У=ав

0∙Х + вУ=в².

а 0

∆ = 0 в =ав,

ав 0

∆_х = в² в = ав²,

а ав

∆_у = 0 в² = ав²

1) При а≠0, в ≠0 и ∆≠0 имеем: Х= ∆_х/∆=ав²/ав=в; У=∆_у/∆= ав²/ав=в.

2) При а=о, в≠0

∆=∆_х=∆_у=0 Х=t,

У=в, где t Є R;

3)При а≠0, в=0 Х=0,

∆=∆_х=∆_у=0 У=t, где t Є R;

4. При а=0 и в=0

∆=∆_х=∆_у=0 Х=t,

У=m, где t, m Є R.

Ответ: при а≠0, в≠0 (в;в);

при а=0, в≠0 (t;в), где t Є R;

при а≠0 и в=0 (0;t),где tЄR;

при а=о и в=0 (t; m), где t,m Є R.

Пример 12. Решите систему

Х+У=1,

а|Х|-У=1, при всех значениях параметра а.

Решение: 1) При Х≥0 Х+У=1

аХ-У=1.

1 1

∆ = а -1 =-1-а,

1 1

∆_х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,

1 1

∆_у = а 1 = 1-а.

а) при а≠-1 ∆≠0 и Х=∆_х/∆=2/(1+а), 2/(1+а)≥0;

а>-1 У=∆_у/∆=(а-1)/(а+1).

б) при а=-1 ∆=0, ∆_х =-2≠0. Система решений не имеет.

2) при Х<0 Х+У=1 1 1

-аХ-У=1. ∆ = -а -1 =-1+а,

1 1

∆_х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,

1 1

∆_у = - а 1 = 1+а.

а) При а≠-1, ∆≠0, Х=∆_х/∆=2/(1-а), где 2/(1-а), где

2/(1-а)<0, а>1; У=∆_у/∆=(а-1)/(а+1).

б) При а =1 ∆=0, ∆_х=-2≠0. Система не имеет решений;

Ответ: при а Є (-∞;-1] нет решений;

при а Є (-1;1] (2/(а+1); (а-1)/ (а+1));

при а Є (1;+∞) (2/(а+1); (а-1)/(а+1)) и (2/(1-а); (1+а)/(а-1)).