Предисловие

Настоящее пособие предназначено для студентов I курса любых специальностей в объеме 161 часа.

Данный конспект содержит необходимый материал по десяти темам курса математики. изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.

Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к экзаменам. кроме того, пособие может помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на занятии, какие-то занятия были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим пособиям, учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за ограниченное количество времени.

Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более глубокому изучению материала студентами колледжа.

Список обозначений:

- начало и конец решения примера, задачи

- начало и конец доказательства

- важные определения

- обратите особое внимание

В рамку заключены формулы, которые важно помнить.

Домашние задания сдаются на проверку с соответствующей защитой по графику, который находится при кабинете математики.

Консультации по математике проводятся по расписанию, находящемуся также в кабинете.

ее глубокому изучению материала студентами колледжа.\мени., какие-то заняти

Тема I. Числовые системы и приближенные вычисления

1. Введение. Развитие понятия числа.

2. Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

3. Уравнения и неравенства с одной переменной.

4. Уравнения, приводимые к квадратным.

5. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

6. Системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

7. Системы нелинейных уравнений.

8. Зачетное занятие по теме.

Приложения:

9. Домашнее задание № 1.

10. Домашнее задание № 2.

11. Контрольные (зачетные) вопросы по теме.

12. Рубежный контроль (контрольная работа. Примерный вариант)

13. Практическая работа № 1.

14. Задания для самостоятельной работы.

15. Литература.

В результате изучения темы студенты должны знать:

• Числовые множества: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел;

• Формулы решения квадратного уравнения, разложения квадратного трехчлена на линейные множители;

• Правила составления и вычисления определителей второго и третьего порядков применительно к решению систем линейных уравнений;

• Применение метода интервалов к решению рациональных неравенств.

В результате изучения темы студенты должны уметь:

• Выполнить с заданной точностью на инженерном или программируемом микрокалькуляторе (в режиме вычислений) арифметические действия;

• Вычислять значения элементарных функций;

• Выполнять действия над алгебраическими дробями;

• Решать уравнения с одной переменной первой и второй степени, биквадратных, иррациональных и др.

• Выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме;

• Решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом;

• Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной, системы линейных неравенств;

• Решать системы линейных и нелинейных уравнений.

Занятие 1.1 Введение. Развитие понятия числа

1. Роль математики в подготовке специалистов среднего профессионального образования.

2. Современная электронно-вычислительная техника и области ее применения.

3. Понятие о математическом моделировании.

4. Множество действительных чисел. Приближения действительных чисел конечными десятичными дробями.

5. Числовая прямая. Промежутки. Окрестности точки.

6. Простейшие вычисления с помощью МК.

7. Формулы сокращенного умножения.

Числа 1, 2, 3, 4, …… - множество натуральных чисел (N)

Числа , ……. - множество целых чисел (Z)

Числа - множество рациональных чисел (Q)

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где m Z , n N

и т.д.

Разделив "m" на "n" получаем конечную или бесконечную десятичную дробь

Как видим, у некоторых дробей десятичные знаки повторяются

0,5555 ……; 0,3333 ……; 4,5222 …….;

Такие числа называются периодическими десятичными дробями и записываются:

4,959595 … = 4, (95) 2,125125125 … = 2, (125)

0,5121212 … = 0,5 (12) 2,13444 … = 2,13 (4)

Каждая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число (докажем несколько позже), а пока будем использовать правило записи в виде обыкновенной дроби:

для чисто периодической дроби: в числителе пишется число, стоящее в периоде, а в знаменателе столько "9", сколько цифр в периоде, целая часть остается без изменения.

для смешанной периодической дроби: в числителе разность между числом, стоящим после запятой, и числом, стоящим после запятой до периода, а в знаменателе столько "9", сколько цифр в периоде, со столькими "0", сколько цифр после запятой до периода

Запишите в виде обыкновенной дроби:

5,21 (3) 13, (71) 14,72 (24) 0, (4)

0,7 (125) 10, (125)

Числа, представляющие собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными:

4,1728 …. 0,1078612 … 13,200941 …

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2 (предлагается самостоятельно рассмотреть доказательство (автор Яковлев "Алгебра и начала анализа"

ч 1 п 8 (2))

Числа рациональные и иррациональные составляют множество действительных (вещественных) чисел (R). Действительные числа изображаются геометрически на прямой, которая называется осью действительных чисел

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Измеряется отрезок, соответствующий числу и откладывается на прямой.

Вы уже знакомы с числовыми множествами, называемыми промежутками. Перечислим их.

Отрезок с концами а и b:

[a;b] =

Интервал с концами a и b

(a,b) =

Полуоткрытые промежутки:

(a,b] = ; [a,b) =

Число b - а называется длиной промежутка

Бесконечные промежутки (лучи, полупрямые):

Числовая прямая: R

0 a

Интервал вида называют также - окрестностью точки а

Можно сказать, например, что все десятичные приближения по недостатку и по избытку к числу , начиная с третьего (т.е. приближения с точностью до 10 ^{- n} при n 3), попадают в - окрестность точки при = 0,001.

При выполнении действий над действительными числами используют правила округления числа

4,762 4,76 (с точностью до 0,01)

4,762 4,8 (с точностью до 0,1)

4,762 5 (с точностью до целых чисел)

Самостоятельная работа

Действия на МК с учетом правила округления числа (простейшие вычисления)

17.2 5.8 = x →П

5.1 3.78 = M +

12.7 2.3 = M + MR

Комбинированные действия на МК.

1) →

2.7 + 3.6 = x →П

4.1 + 5.87 = x MR → П

6.12-3.7 = x MR =

Можно использовать скобки.

3) =1.342 ; 8.39 - 2.492 = XM ; 5.13 + 2.784 = MR

4) =32.0 13.6 · 0.4 = XM; 0.264 · 29.4 =M+

3.07 · 1.56 = /-/ M+ MR 0,266

Формулы сокращенного умножения

(а + в)² = а² + 2 а в + в² (а - в)² = а² - 2 а в + в²

(а² - в² ) = (а + в) (а - в) (а³ - в³ ) = (а - в) (а² + а в + в² )

(а³ + в³ ) = (а + в) (а² - а в + в² ) (а + в)³ = а³ + 3 а² в + 3 а в² + в³

(а - в)³ = а³ - 3 а² в + 3 а в² - в³ (а + в + с)² = а² + в² + с² +2 а в + 2 а с +2 в с

Выполнить действия (самостоятельно)

1. ( 4а + 3с )² 2. ( х³ - 2у + 3ху )² 3. ( 2х - 3у² - х³у )²

4. ( х² - 3у ) ( х² + 3у ) 5. ( х + 2у ) (х² - 2ху + 4у² )

Контрольные вопросы

1. Всякая ли обыкновенная дробь - число рациональное?

2. Может ли быть рациональное число отрицательным?

3. Почему бесконечную периодическую десятичную дробь считают рациональным числом?

4. Назовите числа рациональные, иррациональные

2,75354276; 5, 3 (71);

15,171 171 171 …; 4, 36 (5);

0, 36 78 ..; 1,276 ..;

5. Какие числа, кроме рациональных и иррациональных являются действительными?

6. Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого натурального числа есть число иррациональное?

7. Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого нечетного числа есть число иррациональное?

Занятие 1.2 Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

1. Мнимая единица. Степень мнимой единицы.

2. Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация

3. Модуль и аргумент комплексного числа.

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение во вторую и третью степень).

5. Элементарные вычисления с помощью МК.

х² + 4 = 0 х² = - 4 во множестве R решений нет

Обозначим:

Множество действительных чисел и мнимая единица составляют множество комплексных чисел, тогда

i ²³ = i ³ = - i (23 : 4 = 4 5 + 3)

i ²³ = i ²⁰ i ³ = 1 (-i) = - i

i ⁴⁸ = i ⁰ = 1 i ¹⁰ i ⁸ i ² = 1 (-1) = -1 i ¹⁴ = i ² = - 1 i ²⁵ = i ¹ = i

i ¹⁰³ = i ³ = - i 2 i ³ - 7 i ⁸ + 5 i ⁹ + 4 i ¹⁰ = - 2 i - 7 + 5 i - 4 = - 11 + 3 i

Число Z = a + b i - комплексное число (алгебраическая форма записи)

а - действительная часть числа

b i - мнимая часть числа

a + b i = a₁ + b₁ i если а = а₁ b = b₁

a + b i и a - b i называются сопряженными

Например

2 - 3 i и 2 + 3 i

- 4 - i и - 4 + i , т. е. отличаются знаком перед мнимой частью

Числа a + b i и - a - b i называются противоположными

Например

- 3 - 4 i и 3 + 4 i

- 5 + 2 i и 5 - 2 i , т.е. отличаются знаками и перед мнимой и перед действительной частями

Комплексные числа изображаются геометрически точкой (a; b) или радиусом - вектором, проведенным к этой точке из начала координат

x

y

z₄

z₃

z₂

5i

2

-3

-4i

z₁

(-2;3)

0

-2

3

Z ₁ = 5i Z ₂ = 2

Z ₃ = - 3i Z ₄ = - 4i-4

3

0

(3;-4)

Z = 3 - 4 i Z = - 2 + 3 i

Изобразите числа:

Z = - 7 + 2 i Z = - 9 - i

Z = - 1 - 4 i Z = 12

Z = - 5 i Z = 6 i

Z = - 4 Z = - 3 - 2 i

Итак: a + bi

r

r

r

(-a;b)

(a;b)

(a;-b)

(-a;-b)

r

a OX I ч > 0 острый

b OY II ч > 0 тупой = 180 ⁰ - ₁

III ч < 0; тупой = - (180 ⁰ - ₁)

IV ч < 0; острый

- модуль комплексного числа

аргумент комплексного числа

Найти модуль и аргумент комплексного числа:

2

5

x

0

y

а) Z = 5 + 2 i

-3

7

x

0

y

б) Z = - 3 + 7 i

-5

0

-1

x

y

в) Z = - 5 - i

3

-5

0

x

y

г) Z = 3 - 5 i

Для чисел, состоящих только из мнимой или только действительной частей нахождение и упрощается:

2

x

y

0

1) Z = 2

2 = 2 + 0i Число находится на "ОХ"

3

y

0

x

2) Z = 3i

3i = 0 + 3i Число находится на "ОУ"

-4

y

0

x

3) Z = - 4

Число находится на "ОХ" (влево)

-7

y

0

x

4) Z = - 7 i

Число находится на "ОУ" (вниз)

Самостоятельно

Найти модуль и аргумент комплексного числа

1. Z = - 4 + 3 I 3. Z = - 3 - 7 I 5. Z = - 7 I 7. Z = 3 i

2. Z = - 2 - 5 I 4. Z = 5 + I 6. Z = 2 8. Z = - 4

Z ₁ = a ₁ + b ₁ i

Пусть даны числа: Z ₂ = a ₂ + b ₂ i

Рассмотрим действия над числами

Сложение

Z ₁ + Z ₂ = (a ₁ + b ₁ i) + (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i + a ₂ + b ₂ i = (a ₁ + a ₂) + (b ₁ + b ₂) i

Вычитание

Z ₁ - Z ₂ = (a ₁ + b ₁ i) - (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i - a ₂ - b ₂ i = (a ₁ - a ₂) + (b ₁ - b ₂) i

Умножение

Z ₁Z ₂ = (a ₁ + b ₁ i)(a ₂ + b ₂ i) = a ₁ a ₂ + b ₁а ₂ i + a ₁b ₂ i + b ₁b ₂ i ² =

= a ₁ a ₂ + i (b ₁а ₂ + a ₁b ₂) - b ₁b ₂ = (a ₁ a ₂ - b ₁b ₂) + (b ₁а ₂ + a ₁b ₂) i

Например

1) (3 - 5 i)(- 3 + i) = - 9 + 15 i + 3 i - 5 i ² = - 9 +18 i + 5 = - 4 + 18i;

т.к. i ² = - 1, то -5(-1) = 5

2) (2 - 3 i)(2 + 3 i) = 4 - 9 i ² = 4 + 9 = 13

( a + b i )( a - b i ) = a ² - b ² i ² = a ² + b ²

Сумма квадратов

Сумма квадратов разлагается на множители только во множестве комплексных чисел

Деление

конкретно на примере:

Возведение в квадрат, куб (используем формулы сокращенного умножения)

Z = ( a + b i ) ² = a ² + 2 a b i + b ² i ² = a ² + 2 a b i - b ²;

например:

1) ( - 4 + i ) ² = 16 - 8 i + i ² = 16 - 8 i - 1 = 15 - 8 i

2) ( 2 - 3 i ) ³ = 8 - 32²3 i + 32( - 3 i ) ² - 27 i ³ = 8 - 36 i + 54 i ² - 27 i ³ =

= 8 - 36 i - 54 + 27 i = - 46 - 9 i

Выполнить действия

при этих действиях использованы правила: i ³ = - i; i ² = - 1; ( a - b ) ² = a ² - 2 a b + b ² , а теперь разделим, для этого умножим знаменатель на сопряженное ему число ( - 5 + 12 i) , а чтобы дробь не изменилась умножаем и числитель на это число, т.е.

Самостоятельно

Выполнить действия

Контрольные вопросы

1. Что принято за мнимую единицу?

2. Чему равно

3. Какое число называется комплексным числом?

4. Какие комплексные числа называются сопряженными, противоположными?

5. Как найти i в любой степени?

6. Как изображается геометрически комплексное число?

7. Чему равен модуль комплексного числа?

8. Как находится аргумент комплексного числа?

9. Как выполняются действия сложение и вычитание комплексных чисел?

10. Как выполняется умножение комплексных чисел?

11. Чему равно произведение двух сопряженных комплексных чисел?

12. Как выполняется деление комплексных чисел?

Занятие 1.3 Уравнения и неравенства с одной переменной, их решение.

1. Уравнения I-II степени с одной переменной

2. Неравенства I-II степени с одной переменной

3. Системы неравенств с одной переменной

4. Метод интервалов

5. Вычисления с помощью МК

6. Выдача домашнего задания № 1

- линейное уравнение I степени с одной переменной

- уравнение II степени с одной переменной

Решить уравнение - значит найти множество его корней или доказать, что их нет. это множество называют решением уравнения.

Два уравнения называются равносильными если решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого уравнения и наоборот.

Уравнения равносильны, так как оба имеют единственный корень .

Уравнения и - неравносильны, так как является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению.

Уравнения и неравносильны, так как корень первого уравнения , а второе уравнение кроме этого корня имеет еще корень , который не является корнем первого уравнения.

Решим уравнения:

раскроем скобки, применяя формулы сокращенного умножения и

приведем подобные члены, получим

Ответ: - корень уравнения.

разложим на множители

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю

дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.

Решаем уравнение

(корни можно найти по теореме Виета)

Так как - посторонний корень и решением уравнения будет . Ответ: .

уравнение не имеет действительных корней. Найдем мнимые корни.

(мы знаем, что - мнимая единица)

Самостоятельно

- неравенства I степени с одной переменной

- неравенства II степени с одной переменной

Решить неравенство - значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.

Решим неравенства

а)

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно чт часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит перемено он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).

б)

3

-3

, то есть

Используя свойства числовых неравенств, имеем

, знак неравенства меняется на противоположный

1

4

Ответ:

Или можно записать в виде системы неравенств

1

4

Ответ:

в)

-5

5

Решаем две системы

Ответ: .

г)

умножим на (-1)

квадратное неравенство

Найдем корни уравнения

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX

Изобразим геометрически:

-

+

1

+

-

+

1

+

или

или

-

+

+

1

получаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал)

+

действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,

а мы решаем неравенство , значит данное неравенство не имеет решения.

+

уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,

а так как мы решаем неравенство , то оно имеет множество решений, т.е. .

то оно имеет множество решений, т.е. е пересекает ось, ветви параболы направлены вверх, т.е. даж) - дробно-рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены

Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.

(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.

Решаем

система не имеет решения. Следовательно решением данного неравенства является .

Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства корни и .

+

+

-

Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно-рациональные но и более высоких степеней.

находим корни многочлена

всегда, т.е. действительных корней нет.

Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.

+

+

-

-

0

3,5

2

-

только определяем знак выражения в каждом промежутке

и тогда решением неравенства является .

-

+

-

+

0

2

3,5

-

Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.

В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.

+

-

-

+

-

+

-3

0

1

2

, так как , то можно записать

и тогда

Самостоятельно:

Вычисления с помощью МК:

8) 9) 10)

11) 12)

Выдается домашнее задание № 1 (решение уравнений и неравенств, приложение № 1).

Занятие 1.4 Уравнения, приводимые к квадратным

1. Биквадратные уравнения

2. Двучленные уравнения

3. Иррациональные уравнения

4. Вычисления на МК

Биквадратное уравнение

решается сведением к квадратному уравнению с помощью введения новой переменной. пусть , тогда имеем и решается квадратное уравнение относительно y.

Например.

и тогда , решаем эти уравнения:

получили четыре действительных корня. Ответ:

Решить самостоятельно:

Двучленные уравнения:ные уравнения

уравнение третьей степени и имеет 3 корня. Как их найти? Разложим левую часть уравнения на множители.

Применяем формулу:

произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.

действительных корней нет, найдем мнимые

т.е. уравнение имеет один действительный корень и два мнимых

разложим на множители имеем:

или

действительных корней нет, введём мнимую единицу

есть два мнимых корня

Ответ: .

группируем члены

выносим общий множитель из каждой скобки

Вынесем за скобки

и тогда

или

Ответ: .

Самостоятельно:

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать:

1. При извлечении корня четной степени берется только арифметическое его значение

2. При возведении выражения, содержащего переменную, в степень может быть нарушена равносильность выражений

Рассмотрим на примерах:

перенесем x в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат. Так как , то получаем

так как при решении уравнения мы возводили в квадрат, то корень требует проверки. Итак подставляем в данное уравнение

уравнение содержит два корня, перенесем один из корней в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат

остался один корень. Перенесем его в левую часть, остальные члены - в правую

сократим обе части на 2

и опять возведем в квадрат обе части уравнения:

Проверка

Ответ: x = 13; x = 6.

22

-3

Можно было указать сразу ОДЗ и получив корни, сравнить с ОДЗ

полученные корни x = 13 и x = 6 удовлетворяют ОДЗ и следовательно

Ответ: x = 13; x = 6

3)

Из того, что делаем вывод, что и являются корнями уравнения. Однако проверка показывает, что в данном случае является посторонним корнем

Ответ: 5.

Решить самостоятельно:

Решим уравнения:

Отсюда и

Проверим корни:

Ответ: 0; 1; 2.

или ОДЗ:

Проверяя полученные корни, видим, что удовлетворяют ОДЗ, а вот - посторонний корень. Ответ: .

Вычислить на МК

Проверить результаты:

1) = 0,0441 2) = 0.120

3) = 2.7 4) = 52.02

5) = 6.65

Занятие 1.5 Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Определитель второго порядка, его свойства. Правило Крамера при решении систем уравнений.

Вычисления с помощью МК

1. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

2. Определитель второго порядка, его вычисление

3. Правило Крамера при решении систем уравнений

4. Свойства определителя второго порядка

5. Вычисления при помощи МК.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

в общем виде имеет вид

Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. При решении такой системы могут быть использованы известные методы: 1) подстановки; 2) алгебраического сложения; 3) графически.

Но существует ещё метод решения, который особенно удобен в том случае, когда коэффициенты отличны от единицы или содержат буквенные выражения.

Имеем систему уравнений

Число называется определителем второго порядка. Вертикальные прямые - знак определителя. Обозначается определитель знаком (дельта).

Итак определитель - это число, которое вычисляется по определенному правилу

- первый столбик (коэффициенты при переменной x)

- второй столбик (коэффициенты при переменной y)

- первая строчка (коэффициенты при переменных первого уравнения)

- вторая строчка (коэффициенты при переменных второго уравнения)

Определители при переменных и получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов.

Для нахождения значений переменных x и y используются формулы , которые называются формулами Крамера.

Исследуем

1. Если - система имеет единственное решение

2. Если , но или система не имеет решения

3. Если и - система имеет множество решений.

Например

Ответ: (1; -1).

Основные свойства определителя

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот

2. При перестановке двух столбцов (строчек) определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных столбца (строчки) равен нулю.

4. Общий множитель столбца (строчки) определителя можно вынести за знак определителя.

Рассмотрим примеры:

Решить систему уравнений:

система имеет единственное решение

Ответ: (1; -2).

Более рационально систему решить через определитель второго порядка

Система имеет единственное решение при условии, что т.е.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными следует помнить, что решение можно выполнить любым из известных методов решения, просто следует выбрать каким методом более рационально для данной системы.

3)

Решим систему всеми способами, т.е. убедимся, что результат получается одинаковый и определимся, какой из методов более рационально применим для данной системы.

1) Способ подстановки.

Решаем второе уравнение относительно «y»: , приведем к общему знаменателю и так как , то

Ответ: x = -3; y = 5.

2) Способ алгебраического сложения

уравняем по модулю коэффициенты при x, для этого умножим первое уравнение на 10, а второе - на 3.

почленно сложим

подставим y = 5 в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем x

получаем x = -3; y = 5, как и в первом случае.

3) графически (следует помнить, что результаты могут быть получены приближенно, что можно объяснить нашим зрением, умением проводить линии, выбором масштаба, неудобством записи числа и т.д.)

графиком каждого уравнения является прямая, а прямая определяется двумя точками.

(-3; 5)

4) C помощью определителя:

единственное решение

Ответ: (-3; 5).

Каким же способом более рационально можно было решить эту систему? Вы правы, конечно с помощью определителя.

Самостоятельно (любым способом)

Контрольные вопросы.

1. Что называется определителем II порядка?

2. Как вычисляется определитель II порядка?

3. Какими свойствами обладает определитель?

4. При каких значениях a система имеет решение, для которого x = 4.

Вычислить при помощи МК.

Занятие 1.6 Системы трех линейных уравнений с тремя переменными. Определитель III порядка

1. Общий вид системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

2. Определитель III порядка.

3. Вычисление определителя III порядка.

4. Решение системы трех линейных уравнений с тремя переменными. Правило Крамера.

5. Вычисления при помощи МК.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:

На I курсе рассматривается решение такой системы с помощью определителя третьего порядка.

Выражение, составленное из коэффициентов при переменных в виде таблицы называется определителем третьего поряда.

Определитель третьего порядка вычислить можно через определитель второго порядка или по правилу Саррюса (правило треугольника).

1. Через определитель II порядка.

Выделяем и мысленно вычеркиваем по столбику и строчке, оставшиеся члены составляют определитель второго порядка. Берем с противоположным знаком и вычеркиваем первую строчку и второй столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка. Аналогично берем и вычеркиваем первую строчку и третий столбик, оставшиеся члены составляют определитель II порядка.

Выполняем вычисления определителей II порядка по известному уже нам правилу.

Например:

2. Правило треугольника (Саррюса). Рассмотрим схематически

a) (основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали)

b) (основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали)

Пример: (возьмем тот же определитель)

В дальнейшем запись будем вести так

Определители получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов и вычисляются по тому же правилу, что и определитель системы.

Для нахождения значений пользуются правилами Крамера

Исследование:

1. Если , то система имеет единственное решение

2. Если , то система несовместима, т.е. не имеет решения

(либо либо либо )

3. Если , то система неопределенна, т.е. имеет множество решений

( и и )

Определитель III порядка обладает всеми свойствами определителя II порядка.

Например, решить систему уравнений

Ответ: (1; -2; -3).

,

так как коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны.

Система имеет множество решений, т.е. неопределена.

и можно уже не находить. Следовательно система не имеет решения.

Самостоятельно:

( система имеет множество решений)

Контрольные вопросы:

1. Общий вид системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

2. Что называется определителем III порядка?

3. Правила вычисления определителя III порядка (через определитель II порядка, правило треугольника).

4. Свойства определителя III порядка.

5. Формулы (правила) Крамера.

Вычислить при помощи МК:

Занятие 1.7 Системы нелинейных уравнений

1. Понятие системы нелинейных уравнений.

2. Решение систем нелинейных уравнений.

3. Вычисления при помощи МК.

Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений содержит переменную во второй или выше степени называется нелинейной системой уравнений. Решить систему - значит найти все ее решения. Решением системы называется пара чисел, удовлетворяющая каждому из уравнений системы. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

При решении систем нелинейных уравнений наиболее широко используются методы: 1. подстановки; 2. алгебраического сложения; 3. графический; 4. искусственные приемы (применение формул сокращенного умножения, введения новой переменной, использование теоремы Виета и т.д.).

Рассмотрим примеры решения систем уравнений.

1. Решить способом подстановки.

первое уравнение содержит одну переменную, можно выписать это уравнение и решить его.

и тогда, подставив полученные значения и во второе уравнение, получаем

Получаем две пары чисел , которые являются решением данной системы уравнений. Ответ: (5; -4); (4; 5).

2. Решить способом алгебраического сложения

Видим, что каждое из уравнений содержит , сложим почленно и получаем уравнение относительно одной переменной.

И тогда имеем и , т.к. системы содержат только , а , то можно решить только одну из систем и получить значения y

И тогда решением системы будут и .

3. Решить графически

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений:

- окружность с центром (0; 0) и R = 5

- гипербола

x

2

3

4

6

-1

-2

-3

-4

-6

y

6

4

3

2

-12

-6

-4

-3

-2

Имеем пары чисел (3; 4); (4; 3); (-3; -4); (-4; -3) которые определяют координаты четырех точек.

4. Решить систему уравнений введением новой переменной.

левая часть каждого из уравнений системы есть однородный (одинаковой степени) многочлен относительно переменных x и y.

Пусть y = xt

, т.к. тогда и , что невозможно.

Решаем уравнение относительно t

Теперь можно записать системы уравнений

и

Решаем способом подстановки первую систему:

Аналогично решение второй системы:

Таким образом получаем пары чисел:

4.

Пусть и , тогда имеем систему уравнений

Применим способ алгебраического сложения

, тогда

Следовательно имеем систему уравнений

подставив значение в любое из уравнений системы

т.е. решением системы является пара чисел

5

Решаем второе уравнение относительно y;

по теореме Виета имеем ,

тогда , т.е. решением системы будут пары чисел и

6

упростим первое уравнение системы с помощью введения новой переменной

Пусть , тогда и уравнение имеет вид т.к. то

и тогда имеем системы

и

Решаем эти системы относительно x и y

Ответ: (9; 4); (-4; -9).

Замечание. При решении систем нелинейных уравнений предварительно надо решить, каким методом может быть решена система, какие надо выполнить преобразования, какие операции приводят к упрощению систем.

Самостоятельно:

1) 3)

2) 4)

Вычислить при помощи МК.

Занятие 1.8 Зачет по теме. Практическая работа

(решение примеров)

1. Собеседование по теоретическим вопросам темы (модуля) (приложение 3).

2. Письменная работа (приложение 4).

3. Выполнение практической работы (практическая работа № 1).

Приложение 1

Домашнее задание № 1

Вариант I

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант II

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант III

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант IV

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант V

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант VI

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант VII

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант VIII

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант IX

Решить уравнения: Решить неравенства:

Вариант X

Решить уравнения: Решить неравенства:

Приложение 2

Домашнее задание № 2

Вариант I

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант II

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант III

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант IV

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант V

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант VI

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант VII

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант VIII

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант IX

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Вариант X

Решить системы уравнений:

(способами: подстановки, графически, алг. сложения, определителя)

Приложение 3

Контрольные зачетные вопросы по теме

1. Какие числа называются рациональными?

2. Какие числа называются иррациональными?

3. Какие числа называются действительными?

4. Геометрическое изображение действительных чисел.

5. Правила записи десятичной периодической дроби в виде обыкновенной.

6. Формулы сокращенного умножения.

7. Формула решения квадратного уравнения (дискриминант, нахождение корней уравнения).

8. Формула разложения квадратного трехчлена на множители.

9. Решение биквадратных уравнений.

10. Решение иррациональных уравнений.

11. Решение неравенств с одной переменной. Метод интервалов. (его сущность)

12. Мнимая единица, степень мнимой единицы.

13. Что называется комплексным числом?

14. Какие комплексные числа называются противоположными? сопряженными?

15. Геометрическое изображение комплексных чисел.

16. Модуль комплексного числа, его вычисление.

17. Аргумент комплексного числа, его нахождение.

18. Сложение и вычитание комплексных чисел.

19. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме. Разложение на множители.

20. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

21. Определитель II порядка, его вычисление, свойства.

22. Определитель III порядка, его вычисление, свойства.

23. Правила нахождения определителей .

24. Правило Крамера при решении систем линейных уравнений.

Приложение 4

Зачетная (контрольная) работа по теме I

Примерный вариант

1. Решить уравнения: 2. Решить неравенства:

3.Решить системы уравнений: 4. Выполнить действия:

Приложение 5

Практическая работа №1

«Решение уравнений, неравенств, систем уравнений»

I Цель работы: Закрепление навыков решения уравнений и неравенств с одной переменной; систем линейных и нелинейных уравнений.

II Наглядное пособие: МК, карточки заданий.

III Теория.

1. Действительные числа, их геометрическое изображение.

2. Степень числа i

3. Модуль и аргумент комплексного числа, их нахождение.

4. Определитель второго порядка, его вычисление.

5. Определитель третьего порядка, его вычисление.

6. Свойства определителя.

7. Метод интервалов, его применение.

IV Практика (предлагаются задания по карточкам в четырёх вариантах, карточки

прилагаются)

V Контрольные вопросы

1) Как составить определители при переменных?

2) Сущность метода Гаусса, его применения.

3) Почему полученные корни при решении иррационального уравнения требуют проверки или предварительно указать ОДЗ и анализировать принадлежность полученных корней ОДЗ.

4) Какие корни имеет квадратное уравнение при D>0,D=0 и D<0

5) Применение методов интервала при n-ой кратности корней.

6) Укажите, какие из чисел есть числа иррациональные

1,4;1,5(2);2,(75); е; 11,96:

IV Литература

1. Яковлев Г.Н. «Алгебра и начало анализа».

2. Богомолов Н.В. « Практические занятия по математике».

3. Справочник по математике(любого автора).

4. Учебники 9-10-11 классов средней школы.

5. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. « Математика»

Вариант 1

Решить уравнения, неравенства, системы уравнения.

Вариант 2

Решить уравнения, неравенства, системы уравнения.

Вариант 3

Решить уравнения, неравенства, системы уравнения.

Вариант 4

Решить уравнения, неравенства, системы уравнения.

Приложение 6

Задания для самостоятельной работы

1. Выполнить действия и результат изобразить геометрически.

1.1 1.2

2. Выполнить действия:

2.1 2.2

2.3 2.4

3. Найти модуль и аргумент комплексного числа.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

Уравнения с одной переменной.

4. Решить уравнения.

4.1

4.3

4.2

4.4

5. Решить биквадратное уравнение.

6. Решить уравнение методом введения новой переменной.

7. Сократить дробь:

и вычислить при х = - 2

8. Найти все корни уравнения:

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

9. Решить иррациональные уравнения.

9.1

9.2

9.3

Неравенства I степени.

10. Решить неравенства:

10.1

10.2

10.3

10.4

Неравенства II степени.

11. Решить неравенства:

11.1

11.2

11.3

12. Решить системы неравенств:

12.1

12.2

12.3

13. Решить неравенство методом интервалов:

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

Системы уравнений.

14 Решить системы линейных уравнений:

с двумя переменными (всеми способами)

14.1

с тремя переменными

14.2 14.3

15. Решить системы нелинейных уравнений:

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

16. Вычислить при помощи МК

16.1 ; 16.2 ; 16.3 ;

16.4 ; 16.5 ;

16.6 16.7 16.8

16.9 16.10

Литература

I Основная литература (О.Л.)

1. Яковлев Г. Н. ч. I «Алгебра и начала анализа»

2. Богомолов Н. В. «Практические занятия по математике»

3. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика»

4. Дадаян А.А. «Математика»

II Дополнительная литература (Д.Л.)

1. М. Б. Балк, Г. Д. Галк, А. А. Полухин «Реальные применения мнимых чисел»

2. Гусак Г. М. «Системы алгебраических уравнений»

3. Сергиенко Л. Ю., Самойленко П. И. «Планирование учебного процесса по математике»

4. Учебник «Алгебра и начала анализа» для 9 класса, для 10-11 классов

III Методические и учебные пособия, изданные в НХК (М.П.)

1. Калашникова В. А., Капустин Е. И. «Сборник материалов по математике для студентов I курса»

2. Калашникова В. А. «Вычисления на инженерном МК»

Тема 2. Функции, их свойства и графики. Понятие предела.

16. Числовая функция, способы задания, область определения, множество значений. Основные свойства функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность - нечетность. Понятие об обратной функции. Приращение аргумента и приращение функции.

17. Графики функций. Простейшие преобразования графиков функций. .

18. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Техника вычисления пределов функций.

19. Числовая последовательность и ее предел. Монотонность, ограниченность, сходимость числовой последовательности. Второй замечательный предел, число e. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

20. Функции, пределы, непрерывность в примерах и задачах. Зачетное занятие по теме.

В результате изучения темы студенты должны знать:

• Определения числовой функции, способы задания;

• Общие свойства функций: монотонность, ограниченность, периодичность, четность - нечетность;

• Методику простейших преобразований графиков функций;

• Определения предела функции в точке и на бесконечности, определение предела числовой последовательности;

• Свойства функций, непрерывных на отрезке;

• Первый и второй замечательные пределы.

В результате изучения темы студенты должны уметь:

• Строить графики элементарных функций, изученных в школе;

• Находить область определения и множество значений несложных функций;

• Находить приращение функции в указанной точке и в общем виде;

• Проводить простейшие преобразования графиков функций;

• Вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

• Вычислять пределы числовых последовательностей;

• Применять замечательные пределы к вычислению пределов различных функций;

• Применять теорию пределов к решению задач и выводов формул;

Занятие 2.1. Числовая функция: основные понятия и определения.

1)Числовая функция, способы задания.

2)Область определения, множество значений, методика их нахождения.

3)Основные свойства функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность - нечетность.

4)Понятие об обратной функции, условия и техника отыскания обратной функции

5)Приращение аргумента и приращение функции:

6)Нахождение приращения функции в указанной точке и в общем виде.

Мы приступаем к изучению очередной темы колледжной математики первого курса.

Знаете, что математика делится условно на элементарную и высшую. Ядром высшей математики является математический анализ. Это объемная и интересная наука! И ее изучение всегда начинается с главы «Введение в математический анализ». В этой короткой теме Вы познакомитесь с элементами введения в математический анализ.

Понятие функции является центральным понятием математики и не только математического анализа. Вспомним школьное определение функции.

Если каждому элементу x множества D ставится в соответствие единственный элемент y множества E, то говорят, что на множестве D задана функция .

х - аргумент - независимая переменная; y - зависимая; она находится по закону: f.

Множество D называется областью определения функции, множество E называется множеством значений функции.

Множество значений аргумента - Ваши личности, множество значений функции - Ваши фамилии. Вот так мы продемонстрировали понятие функции: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, человек не может иметь две фамилии.

Но математика рассматривает числовые функции, т.е. множества D и Е - числовые множества, которые Вы изучали в теме 1. При этом можно дать и такое определение числовой функции: числовая функция - это множество пар (х,у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом. Вдумайтесь.

Как определяется, задается функция? Прежде всего формулой, по которой по заданному х находится у. Например: f(x) = x² +x +3. Подставим х = 2 получим у = 9

Функция может задаваться не одним аналитическим выражением, а несколькими, например:

Очень часто зависимость одной переменной величины от другой невозможно выразить аналитически, но такая зависимость существует о определяется она в виде таблицы.

x

-3

-1

0

3

5

6

8

11

13

y

45

22

12

2

-4

3

13

25

34

В таком случае говорят о таблично заданной функции, общепринятая аббревиатура: ТЗФ Обратите внимание, что среди заданных пар чисел (х;у) нет пар с одинаковым первым элементом, в таком случае ТЗФ не являлись бы функцией.

Запишите еще определение числовой функции: числовая функция - множество пар (х;у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом.

И, наконец, когда не удается найти аналитического выражения для , найти множество пар (х;у), то функцию можно задать графически, т.е. ее графиком. Вспомните свою кардиограмму, перо самописцев в самых различных приборах.

Рассмотрим понятия, выражающие т.н. общие свойства функций.

Монотонность. Если для х₁, х₂ , принадлежащих интервалу (a;b) и удовлетворяющих условию х₁, < х₂ следует f(х₁) < f(х₂), то, говорят, что на (a;b) эта функция возрастает. Или, как говорили в школе, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. Самостоятельно сформулируйте определение убывающей функции. Если функция только возрастает или только убывает в области определения, то о такой функции говорят, что она монотонна. Так линейная функция, степенная с нечетным показателем являются монотонными, а популярная у = х² монотонной не является, т.к. при x < 0 она убывает, а при x > 0 она возрастает.

Ограниченность. Пусть на D задана функция . Если существуют такие числа m и M, что для всех х D, что m ≤ ≤ M, то говорят, что функция ограничена в области определения. Различают и такие понятия, как ограниченность снизу и ограниченность сверху. Так, у = х³ - неограниченная функция, у = х² - ограничена снизу, т.к. она неотрицательна в области определения. у = Sinx и y = Cosx - ограниченные функции, т.к. они принимают значения только из отрезка [-1; 1] - это их множество значений

Четность и нечётность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и ;

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и .

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а нечётной - относительно начала координат.

Яркие «представители» четных функций: у = х², y = Cosx, , нечетных у = х³,

у = Sinx, , . Для многих функций нет смысла говорить об их четности - нечетности. Так функция не относится ни к четным, ни к нечетным, потому как ее область определения несимметрична относительно нуля. Такие функции называют функциями общего вида.

Какова методика определения четности - нечетности функции? Рассмотрим примеры.

Подставим в функцию вместо х -х, будем иметь:

Получили определение нечетной функции, вывод: функция нечетная.

Подставим в функцию вместо х -х, будем иметь:

Получили определение четной функции, вывод: функция четная.

Периодичность. Функция называется периодической, если существует такое число Т, что для всех х из области определения выполняется равенство:

Очевидно, что если существует такое число Т, называемое периодом, то число nT, где n - целое число, также является периодом этой функции. Важнейшие представители периодических функций - тригонометрические функции, которые Вы будете изучать подробно в теме 4. В качестве дополнительного домашнего задания попробуйте построить график функции: дробная часть числа х: это разность между аргументом х и ближайшим к нему целым числом, стоящем на числовой прямой слева от него.

Рассмотрим практические задачи на отыскание области определения некоторых функций. Заметим, что многочлен определен на всем множестве действительных чисел: D = R. Так для функции у = х² + 6х - 7 D = R. Дробно - рациональная функция определена для всех х, при которых ее знаменатель отличен от нуля. Например:

областью определения будет все множество действительных чисел, отличных от -1 и 1. На языке интервалов D = (-∞; -1)(-1; 1)(1; ∞)

Рассмотрим другие примеры. Найти область определения функций.

Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют неравенству: > 0

3

-4

Ответ: D = (-4; 3). Воспользовались методом интервалов, изученным в прошлой теме.

Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

x + 5 ≥ 0

x - 1 ≠ 0 Откуда х ≥ -5 и x ≠ 1 Объединяя эти

неравенства, имеем ответ: D = [-5; 1) (1; ∞).

Самостоятельно выполните упражнения из сборника: с.24 № 1.8 - 1.13

Понятие об обратной функции. Очень важное и глубокое понятие. Будьте внимательны.

Пусть дана функция у = х³ Вспомним, что она монотонная: каждому значению аргумента соответствует единственное значение аргумента и наоборот: каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента (только для монотонных функций!). Будем далее считать независимой переменной у, а х - его функцией, выразим х через у.

и заменим, как то принято обозначать аргумент и функцию, х на у и у на х, получим

. Вот эти две функции у = х³ , и называются взаимно обратными.

Построим графики этих функций и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов. Запомните это свойство графиков всех взаимно обратных функций. В дальнейшем Вы будете строить обратные функции по мере их изучения.

Но как быть, если функция, для которой надо построить обратную не является монотонной? Например, необходимо построить обратную для у = х², которая немонотонна. Для этого необходимо так задать область определения исходной функции, на которой она стала бы монотонной. Если для функции у = х² положить D = [0; ∞), то на этом луче она монотонно возрастает, а значит имеет обратную. Очевидно, это Построим их графики и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов.

Поработайте самостоятельно.

Постройте обратную функцию для монотонной линейной функции у = 3х, постройте их графики.

Определив функцию на

D = [0; ∞), постройте для нее обратную функцию.

И заключительный вопрос настоящего урока: приращение аргумента и приращение функции.

Пусть задана функция . При х = х₀ она принимает значение .

х₀ - на оси ОХ в точке А, у₀ - на оси ОУ в точке N. Дадим х приращение Δх = АВ, получим новое приращенное значение аргумента (в точке В) х = х₀ + Δх

Вычислим приращенное значение функции на оси ОУ - точка М, т.е. длина отрезка ВЕ.

Естественно, что отрезок DE и будет являться приращением функции в точке х₀, если приращение аргумента равно Δх.

Т.е. Δf(x₀) = -

Итак, приращение функции есть разность между приращенным значением функции и первоначальным (отрезок DE).

Обратите внимание, что для возрастающей функции DE > 0, а для убывающей функции АС будет больше DE, поэтому разность DE - АС < 0 и Δf(x₀) < 0.

Сделайте самостоятельно схематический чертеж убывающей функции и укажите Δf(x₀).

Вычислим приращение функции f(x) = х² + 2х +5 при x₀ = 2 и Δx = 0,1 x₀ + Δx = 2,1

По формуле Δf(x₀) = - = (будем иметь) = - =

2,1² + 2*2,1 + 5 - (2² + 2*2 +5 ) = (применяем микрокалькулятор) = 0,61

Поставим задачу отыскать приращение функции не в конкретной точке x₀, а в произвольной х, т.е. выведем формулу приращения в общем виде:

Δf(x) = - = (х + Δx)² +2(х + Δx) + 5 - х² - 2х -5 = х² + 2х Δx + (Δx)² +2х Δx +5 - х² - 2х -5 = 2х Δx + (Δx)² +2 Δx = 2х Δx + 2 Δx + (Δx)² = 2(х + 1)Δx + (Δx)² - это и есть приращение функции в общем виде: Δf(x) = 2(х + 1)Δx + (Δx)². Подставим х = 2, Δx = 0,1 получим Δf(x) = 0,61 - все верно.

Выполните задание №8 8.4-8.8.8

Контрольные вопросы

1. Дать определение функции.

2. Что такое область определения?

3. Что означает понятие «ограниченность функции»?

4. Какие функции называются монотонными?

5. Что можно сказать о симметричности графиков чётных и нечётных функций?

6. Какова методика определения четности - нечетности функции?

7. Какие функции периодические и как это записать?

8. Раскрыть понятия приращения аргумента и приращения функции.

9. Для каких функций возможно построить обратную?

10. Сформулировать алгоритм построения обратной функции.

Домашнее задание. Сборник: тема 2 №№ 1.8, 8.1-8.3

Занятие 2.2 Простейшие преобразования графиков функций

Цель: Обобщить и систематизировать имеющиеся знания о функциях, графиках функций, ознакомить студентов с простейшими преобразованиями графиков функции. Дать первоначальные понятия об асимптотах графиков функций.

1)Раскрыть понятие «стремится» в математическом анализе.

2)Повторить графики известных из школьного курса графиков функций.

3)Освоить методику преобразований графиков функций.

4)Ознакомиться с понятием асимптот графиков функций.

5)Научиться строить графики функций в компьютерных программах «Функция непрерывная на отрезке 4.1» и «Advanced Grapher».

Прологом сегодняшнего урока является знакомство с понятием «стремится» в математическом смысле слова.

Этот популярный глагол мы постоянно употребляем, а что означает ?

Понимается это так, упрощенно говоря, в процессе своего стремления к «а» «х» как угодно близко расположен на числовой прямой к «а». Приведем более строгие рассуждения. Пусть произвольно взято положительное сколь угодно малое число ε (кстати, запомните это словосочетание). Если говорят и пишут , то это означает, что выполняется неравенство:

‌‌‌‌‌‌‌‌, или, что то же самое,

Если говорят, что , то понимают под этим следующее. Пусть дано сколь угодно большое положительное число «М». «х» в процессе стремления к бесконечности всегда превысит это сколь угодно большое число. Т.е., если , то х > М, каким бы большим ни было число М.

Необходимо различать более тонкие понятия: «х стремится к а слева», «х стремится к а справа», «х стремится к минус бесконечности».

Если говорят «х стремится к а слева» и пишут , то это означает, что «х» при стремлении к «а» остается меньше «а», т.е. находится в интервале или выполняется неравенство: , обратите внимание, запись без знака модуля.

Аналогично, если говорят «х стремится к а справа» и пишут , то это означает, что «х» при стремлении к «а» остается больше «а», т.е. находится в интервале или выполняется неравенство: .

Если говорят «х стремится к минус бесконечности» и пишут , то это означает, что «х» при стремлении к минус бесконечности станет меньше сколь угодно большого числа, взятого со знаком минус т.е. находится в интервале .

Чтобы перейти к основной части урока вспомним и ответим на важные вопросы введения в математический анализ:

1. Что называется функцией?

2. Способы задания функции.

3. Что такое график функции?

4. Что называется областью определения функции?

При аналитическом задании функции мы находили область определения в аудитории, а сейчас найдем D (y) при графическом задании функции. Рассмотрите приведенные графики функций и найдите D и E.

А как называются прямые, к которым приближаются графики функций, но никогда их не пересекают? Известно ли Вам это понятие? Если нет, то запомните - это асимптоты

Итак, мы вспомнили графики известных вам функций.

:

4. ;

А теперь поговорим о графиках функций

Решим такую задачу: Назовите, графики, каких функций изображены на рисунках:

(считаем коэффициент равный ).

Строить графики функций по точкам не всегда удобно. Чаще поступают более рационально: строят графики простейших функций, а графики более сложных функций получают из этих графиков путем некоторых преобразований.

Итак, запишите в Ваши конспекты наши выводы:

1. y = f(x) + b - график функции получается из графика функции y = f(x) путем параллельного переноса этого графика на величину вдоль от ОУ. при этом, если b>0, то график функции f(x) + b располагается выше графика функции f(x), если b<0, то ниже этого графика.
   
   

2. y = f (x + b) - график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса этого графика на величину b вдоль оси ОХ, при этом, если b>0, то сдвиг влево, а если b<0, то сдвиг вправо.

3. y = - f(x) - график симметричен графику y = f(x) относительно оси ОХ

Указанные преобразования не изменяют масштаба графика функции.

Рассмотрим преобразования графиков функций, которые изменяют масштаб графика

4. y = аf(x) - график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия графика по оси ОУ пропорционально коэффициенту а, причем,

если a > 1, то все ординаты графика аf(x) увеличиваются в а раз, если a < 1, то уменьшаются в а раз.

4. y = f(аx) - график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия вдоль оси ОХ пропорционально коэффициенту а, причем, если, а > 1, то график сжимается в а раз, если 0 < a <1, то растягивается в 1/а раз.

4. у = - для построения этого графика нужно построить график функции y = f(x) и отобразить относительно оси ОХ те части графика, которые расположены ниже этой оси.

у = у = х - 3; у =

у = у = х² - 4

Теперь Вам предлагается самостоятельно построить графики функций (схематически).

у = у = х³ - 2 у = (х +2)²

Домашнее задание: Повторить тему 2, подготовить все задолженности к сдаче и сдать практическую работу № 2.

Выполнить упражнения: пособие - стр. 22 №2.7, 2.4, стр. 26 № 13.1, 13.3, 13.7, 13.9.

Занятие 2.3 Понятие предела функции в точке и на бесконечности. основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Техника вычисления пределов функций.

1)Понятие предела функции в точке.

2)Определение предела функции в точке по Коши.

3)Определение предела функции на бесконечности.

4)Основные свойства пределов.

5)Первый замечательный предел.

6)Начальные умения вычисления пределов.

Самым фундаментальным понятием математического анализа является понятие предела функции. Так случилось в математическом познании человечеством природы, что основные понятия математического анализа - производная, интеграл, ряд и др. - были открыты в XXVII веке, а вот строгое обоснование этих понятий спустя 150 лет на основе понятия предела. Это понятие будет сопровождать Вас на протяжении всего Вашего математического образования, поэтому очень важно с первого занятия освоить это понятие.

Различают - предел функции в точке и предел функции на бесконечности. Сначала рассмотрим предел функции в точке, т.е. при .

С одной стороны это понятие может оказаться простым и очевидным.

Пусть дана функция f(x) = x² + x и известно, что , т.е. принимает значения достаточные близкие к 2. Очевидно, что f(x) будет принимать значения близкие к 6, т.е. f(2).

При этом пишут , или в общем виде: . И читают: предел функции f(x) при в точке a (или при х стремящемся к а) равен b. (Никогда не говорите «лим» или «лимит»)

Но не все так просто! Рассмотрим функцию: . Очевидно, что эта функция существует при всех действительных х, кроме х = 1 - обратите на это особое внимание!

Пусть теперь слева или справа. Составим таблицу значений.

X

0,9

0,99

0,999

0,9999

0,99999

0,999999

f(x)

4,9

4,99

4,999

4,9999

4,99999

4,999999

Очевидно, что f(x) стремится к 5. А если х будет стремиться к 1 справа?

X

1,1

1,01

1,001

1,0001

1,00001

1,000001

f(x)

5,1

5,01

5,001

5,0001

5,00001

5,000001

Как видим, и в этом случае . Вот так, а f(1) не существует!

Дадим строгое определение предела функции в точке, это определение одно из нескольких и называют определением «на языке ε - δ» или определением по Коши.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, в самой этой точке.

Число b называется пределом этой функции в точке х = а (или при ), если по любому сколь угодно малому, наперед заданному числу ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех х удовлетворяющих неравенству 0 <‌ ‌‌, соответствующие значения функции будут удовлетворять неравенству: ‌ ‌‌.

После выделенного «что» можно говорить иначе, например, так: для всех х, принадлежащих интервалу , соответствующие значения функции будут принадлежать интервалу ‌ ‌‌.

Можно говорить еще более проще: что для всех х, удаленных от а на оси абцис меньше, чем на δ, соответствующие значения функции будут удалены от b на оси ординат меньше чем на ε.

Постарайтесь запомнить это определение.

В приведенном выше примере а = 1, b = 5. Из таблиц очевидно, как только х будет отличаться от 1 меньше, например, чем на 0,01, то f(x) отличается от 5 также меньше, чем на 0,01. В этом сущность данного определения.

Математика различает понятия односторонних пределов. Первокурсники эти абзацы могут пропустить.

Пусть функция y = f(x) определена слева от точки х = а.

Число b называется левосторонним пределом этой функции при -, если по любому сколь угодно малому, наперед заданному числу ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех х удовлетворяющих неравенству , соответствующие значения функции будут удовлетворять неравенству: ‌ ‌‌.

Аналогично. Пусть функция y = f(x) определена справа от точки х = а.

Число b называется правосторонним пределом этой функции при +, если по любому сколь угодно малому, наперед заданному числу ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех х удовлетворяющих неравенству , соответствующие значения функции будут удовлетворять неравенству: ‌ ‌‌.

Говорят, что предел функции существует, если существуют односторонние пределы и они равны: .

Сформулируем определение предела функции на бесконечности.

Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших х (при ).

Число b называется пределом этой функции при , если по любому сколь угодно малому, наперед заданному числу ε > 0 найдется такое значение аргумента х = М, что для всех х > М соответствующие значения функции будут удовлетворять неравенству: ‌ ‌‌. (или соответствующие значения функции будут принадлежать интервалу ‌ ‌‌)

Рассмотрите рисунок и убедитесь, что для всех х > М соответствующие значения функции будут отличаться от b меньше, чем на . В этом случае говорят и пишут .

Различают предел функции на плюс бесконечности и на минус бесконечности, во втором случае пишут .

Сформулируем некоторые свойства пределов.

1) , что означает: постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2) . Сформулируйте это свойство самостоятельно. Вообще говоря, это свойство можно распространить на алгебраическую сумму конечного числа функций.

3) . Сформулируйте самостоятельно.

4) . Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля.

5) , это означает, что предел многочлена при равен значению многочлена в точке х = а.

6) . Т.е. предел дробно-рациональной функции равен значению этой функции, если предел знаменателя отличен от нуля.

7) - это означает что, предел от сложной функции f(U(x)) равен функции f от предела функции U(x). Например, .

Умение находить пределы функций - необходимое условие для дальнейшего успешного изучения математического анализа. Это умение базируется на свойствах пределов (повторите их) и умений в преобразовании алгебраических выражений.

Рассмотрим вычисление пределов функций на бесконечности. Абсолютно так же вычисляются пределы числовых последовательностей.

Ключом к вычислению таких пределов является: Вдумайтесь почему: в числителе константа, в знаменателе х, который стремится к бесконечности, в пределе 0.

Или в более общем виде: (*) , где k и n - константы.

Еще ключ для вычисления пределов на бесконечности: , где < 1. Так

0,99^x = 0, , а вот 1,000001^x =

Рассмотрим конкретные примеры.

1. очевидно, в силу (*) 2. (2x + 3 ) = Пишут знак бесконечности, а говорят «предел не существует». Итак, для закрепления: если переменная только в знаменателе, то предел равен нулю, если переменная только в числителе, то предел не существует. Убедитесь, что

3. ; 4. ; 5.

Как быть, если переменная, которая стремится к бесконечности, и в числителе и в знаменателе, т.е. и числитель и знаменатель стремятся к бесконечности? В этом случае говорят, что имеем неопределенность вида , а сам процесс вычисления пределов называют словосочетанием «раскрытие неопределенностей».

Процесс раскрытия таких неопределенностей рассмотрим на конкретных примерах. Пусть необходимо вычислить предел: . Отыскивают старшую степень переменной (в данном случае она, очевидно, вторая) и делят каждое слагаемое числителя и знаменателя на эту старшую степень переменной, проводя в уме сокращения.

6. = = (применяя «ключ» и теоремы о пределах, далее имеем) = = . Заметим, что если под знаком предела содержится переменная, то сам знак предела записывать обязательно, в противном случае - нет.

Рассмотрим еще примеры.

7. = = = 2. Легко видеть, что если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной. Поэтому ответ можно писать сразу, не проводя деления:

8. = 2,5 А если степени не равны? Если степень знаменателя выше степени числителя, то в пределе все слагаемые числителя будут равны нулю. В самом деле: 8. = = = 0. Итак, если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю.

Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует:

9. = = .

Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности.

10. 11. 12.

13.

Рассмотрим теперь методику вычисления пределов в точке. Упрощенно, на первых шагах техники освоения пределов, будем считать, что если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a). Так, ;

И т.д.

Рассмотрим наиболее популярный вид - пределы дробно-рациональных функций.

Итак, если знаменатель такой функции отличен от нуля, то функция существует в точке, то ее предел равен ее значению в этой точке.

Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке. При этом, если числитель отличен от нуля, то предел не существует:

Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида .

Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х - а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.

14(выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, уже зная один из сомножителей (х - 1), второй сомножитель для квадратного трехчлена нетрудно подобрать устно, не используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители) =

.

Такова методика, которую необходимо четко усвоить. Еще примеры.

15

16

Активно используйте формулы сокращенного умножения:

32.

17

Следующие пределы вычислите самостоятельно.

19 20 21

22. ; 23; 24

Занятие 2.4 Числовая последовательность и ее предел. Монотонность, ограниченность, сходимость числовой последовательности. Второй замечательный предел, число e. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

1)Числовые последовательности: основные понятия и определения

2)Монотонность и ограниченность числовых последовательностей

3)Предел числовой последовательности

4)Вычисление пределов числовых последовательностей

5)Второй замечательный предел

6)Непрерывность функций в точке и на отрезке

7)Свойства непрерывных на отрезке функций

8)Техника вычисления пределов - продолжение

Числовая последовательность - это числовое множество, поставленное в соответствие множеству натуральных чисел. Каждый член последовательности имеет свой порядковый номер. Или, красиво и коротко: числовая последовательность - это функция натурального аргумента. Числовые последовательности задаются формулой общего члена, например:

Как видите, после каждой формулы общего члена числовой последовательности вычислено несколько первых членов соответствующих последовательностей, проверьте правильность.

Числовые последовательности можно определять заданием нескольких первых членов, например:

(8) a_n: 1; -1; 1; -1; 1; -1;…

(9) a_n: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13… -эта последовательность носит название «Числа Фибоначчи», члены этой последовательности получают по рекуррентной формуле a_n = a_n-1 + a_n-2, при условии, что a₁ = a₂ = 1

Студенты хорошо должны владеть понятиями, относящимися к числовым последовательностям, таким как

МОНОТОННОСТЬ, ОГРАНИЧЕННОСТЬ, СХОДИМОСТЬ.

Рассмотрим их подробнее.

МОНОТОННОСТЬ. Числовая последовательность a_n называется возрастающей, если для всех n a_{n <} a_n+1. Различайте понятия «возрастающая последовательность» и «неубывающая последовательность». Так последовательность (2) возрастающая, а последовательность (10) a_n: 1; 1; 2; 2; 3; 3;… неубывающая.

Аналогично, числовая последовательность a_n называется убывающей, если для всех n a_n > a_n+1. Различайте понятия «убывающая последовательность» и «невозрастающая последовательность». Так последовательность (1) убывающая, а последовательность (11) a_n: 1; 1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,1;… невозрастающая.

Итак, убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называются МОНОТОННЫМИ.

Так, последовательности (1); (2); (3); (4); (7); (9); (10); (11) являются монотонными, а последовательности (5); (6); (8) монотонными не являются, они называются колеблющимися.

ОГРАНИЧЕННОСТЬ. Если существуют такие числа m и M, что для всех n m a_n M, то говорят, что последовательность a_n ограниченная. Причем m - нижняя граница, M - верхняя граница. Только последовательности, ограниченные и сверху и снизу называются собственно ограниченными.

Так, последовательность (1) ограниченна: снизу числом 0, сверху - числом 1. В самом деле, все ее члены принадлежат промежутку:

(0; 1]. Последовательность (2) также ограничена, все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству . А вот последовательность (3) хотя и ограничена снизу числом 1, но она неограниченна сверху, поэтому она является неограниченной.

Убедитесь самостоятельно, что последовательности (4) - (7) являются ограниченными и найдите нижнюю и верхнюю границы. Так, для последовательности (6) все ее члены принадлежат отрезку

. Согласны? С другими последовательностями на предмет ограниченности поработайте самостоятельно.

СХОДИМОСТЬ. Для усвоения этого понятия необходимо ввести понятие предела числовой последовательности. Оно, это понятие, - важнейшее в курсе математического анализа! Рассмотрим последовательность

Как уже отмечалось, эта последовательность ограничена и монотонна. Она ограничена сверху числом 1, т.к. все ее члены меньше 1, в то же время она возрастает. Таким образом, на интуитивном уровне, можно сделать вывод, что члены этой последовательности стремятся к 1. Как понимается последний глагол? Если a b, то это означает, что расстояние на числовой прямой между этими числами будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа , т.е. .

В этом случае можно сказать, что пределом этой последовательности при n является число 1. И записывают это так:

, и читают: предел числовой последовательности a_n = равен 1 при n стремящимся к бесконечности.

Дадим определение предела числовой последовательности в общем виде, его сформулировал французский математик О. Коши.

Число b называется пределом числовой последовательности a_n, если по любому наперед заданному сколь угодно малому положительному числу найдется такой номер члена последовательности N, что для всех n > N, будет выполняться неравенство .

Рис . 1

Или (на языке интервалов) …для всех n > N все члены последовательности будут принадлежать интервалу (b - ; b + ).

На рисунке видно, что все члены последовательности с номером больше 9 отличаются от b меньше, чем на .

Обратим особое внимание студентов на то, что в интервале (b - ; b + ) содержится бесконечное число членов последовательности, а вне его - конечное.

Последовательности, которые имеют предел, называются сходящимися.

Перечислим без доказательства некоторые свойства пределов последовательностей, записав их на символическом языке математики. Постарайтесь сформулировать их словесно, внести в конспект.

1)

2)

3)

4)

5) Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Техника вычисления пределов числовых последовательностей абсолютно аналогична вычислению пределов функций на бесконечности.

Возвратимся к понятиям «МОНОТОННОСТЬ, ОГРАНИЧЕННОСТЬ, СХОДИМОСТЬ».

Задумайтесь: из чего, что следует, ответьте на вопросы, такие как.

Если последовательность сходится, она ограничена?

Если последовательность монотонна, она ограничена?

Если последовательность ограничена, она монотонна?

Если последовательность ограничена, она сходится? И т.д.

Центральным же вопросом является следующий:

При каких условиях последовательность сходится? Ответ прост и очевиден: монотонная ограниченная последовательность сходится. Это теорема К.Вейерштрасса.

Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность с общим членом Используя микрокалькулятор, вычислим несколько значений этой последовательности.

n

a_n

1

2

3

4

…………

………….

10

100

1000

10000

100000

1000000

…………..

1000000000

Что же выяснили? Последовательность, очевидно, монотонно возрастает, но она ограничена: даже миллиардный ее член меньше 2,8. Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится, т.е. имеет предел, это и есть второй замечательный предел:

Число e - иррациональное - бесконечная непериодическая дробь:

e 2,718281828459045235360289471352266… Проверьте, а сколько его значащих цифр дает Ваш калькулятор?

Этот «ключ» позволит раскрывать неопределенности вида 1. Очевидно, что предел функции то же самое второй замечательный предел, неопределенность вида 1. Запишем эти обе формы в более общем виде: , , где U - функция от x.

Рассмотрим примеры вычисления пределов с использованием этого ключа.

1. P. Для вычисления указанного предела необходимо в показателе степени иметь . Делается это просто и формально, внимательно разберитесь:

P = (ничего не изменив, формально записали в показателе , но предел e ), это означает, что Р =

2. P (Формируем показатель, не забывая о знаке) Р = .

Вычислить предел числовой последовательности, заданной формулой общего члена

3. . 4. = = = = . Комментарий. Чтобы выделить 1, в числителе «сформировали» знаменатель и разделили почленно. В показатель добавили 1 в виде и получили результат. Следующие пределы вычислите самостоятельно.

5. ; 6. ; 7. ; 8.

Рассмотрим теперь методику раскрытия неопределенностей вида 1 в точке, как всегда на конкретных примерах.

Вычислить предел: 9. Р = = (выделим в скобках единицу) = = (в показателе выделим выражение обратное выражению 2(2 - х), получим) .

Аналогично, но без комментариев.

Теперь попроще и потому покороче

11.

12. 13.

Вы овладели понятиями предела функции в точке и на бесконечности, числовой последовательности. Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа - понятие непрерывности функции.

С одной стороны, оно, это понятие, очень просто и наглядно: функция непрерывна, если ее график можно провести, не отрывая карандаша от бумаги. Но не все так просто.

На прошлом занятии мы рассматривали функцию. Очевидно, что эта функция существует при всех действительных х, кроме х = 1. Если исключить это значение и сократить дробь на х - 1, то получим простую функцию y = x + 1. Геометрически - это прямая, но без одной точки с координатами (1;5).

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = a, если функция в этой точке существует, существует ее предел в этой точке и они равны, т.е.: .

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a;b], то она называется непрерывной на этом отрезке.

Без доказательства приведем некоторые свойства непрерывных на отрезке функций.

1)Сумма (произведение) конечного числа непрерывных на отрезке функций есть функция непрерывная на этом отрезке.

2)Многочлен есть функция непрерывная на R.

3)Дробно-рациональная функция непрерывна в области определения.

4)Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и на концах его принимает значения разных знаков, т.е sgnf(a) ≠ sgnf(b), то на интервале (a;b) найдется хотя бы одна точка х = с, такая, что f(c) = 0. Это очень важное свойство непрерывных функций широко применяется в вычислительной математике! Запомните его. Оно позволяет находить отрезок, содержащий действительный корень уравнения.

(Замечание в скобках. В предыдущем абзаце использовалась функция sgn, или sgnum. Это удивительная функция широко применяется в программировании, которое Вам предстоит изучать в будущем. Она принимает только три значения и по-простому называется знак числа:

Запомните ее!)

Дадим геометрическую интерпретацию последнего свойства.

В заключение настоящего занятия закрепим технику вычисления пределов функций и последовательностей, рассматривая более сложные упражнения.

В теории пределов рассматривается несколько видов неопределенностей. Один из них . Действительно, говоря нематематическим языком: «очень много вычесть очень много не означает, что получится ноль». Рассмотрим неопределенность вида на простом примере.

19. = (перейдем к неопределенности вида , для чего помножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное выражение, а именно = = (применяя формулы сокращенного умножения, будем иметь) =

= = = = .

Рассмотрим еще пример раскрытия неопределенностей вида - в точке.

Р = ; Очевидно, что пределы и уменьшаемого и вычитаемого не существуют в точке х = 1, значит имеем неопределенность вида - . Разложим знаменатель второй дроби на множители и приведем к общему знаменателю, таким образом перешли от неопределенности вида - к неопределенности вида . Сократим дробь и, говорят, «избавимся» от неопределенности. Р =

По аналогии выполните задания:

1. ; 2. ; 3.

Вычислите пределы аналогичного вида, но на бесконечности.

4.; 5. ; 6.

7.; 8.

Рассмотрим вычисление пределов в точке функций, которые не являются дробно - рациональными. Например, таких: Р = . Легко проверить, что это неопределенность вида : и в знаменателе и в числителе нули при х = 3. Методика вычисления таких пределов следующая: помножают числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное в данном случае числителю, т.е. на . Знаменатель, естественно, необходимо разложить на множители. Будем иметь.

Р = = (используем формулы сокращенного умножения) = = =

= = (сокращаем на х - 3 и убеждаемся, что неопределенности уже нет) = = (проводим вычисления) =

= . Такова методика. Если разность радикалов в знаменателе, то помножают на выражение, сопряженное знаменателю, например.

=

=

=

Следующие пределы вычислите самостоятельно.

9.; 10. ; .11. ; 12.

Решение примеров.

Найти:

а) [неопределенность ]

б) [неопределенность ]

в)

[неопределенность ]

9.20 а вот здесь получаем неопределенность ; перейдем к неопределенности , для этого

9.27

имеем , но вторая форма записи второго замечательного предела

Исследовать функции на непрерывность

10.3 при x = 3.

Применим первое определение непрерывности в точке

функция непрерывная в точке x = 3

Аналогично

10.5 при x = -1

функция непрерывна в точке x = -1

Здесь точка не указана, удобнее воспользоваться вторым определением непрерывности функции, т.е. проверить

1)

2)

3) функция непрерывная

Занятие 2.5 Функции, пределы, непрерывность в примерах и задачах. Зачетное занятие по теме.

1)Некоторые применения теории пределов

2)Закрепление техники вычисления пределов

3)Выполнение практической работы

Рассмотрим некоторые примеры применения теории пределов.

Известно, что (*), если < 1. Воспользуемся этим ключом для вывода формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вы знаете эту формулу, но как ее получить?

Под суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии будем понимать предел последовательности частичных сумм геометрической прогрессии при неограниченном увеличении числа слагаемых: (**)

Формула для суммы членов геометрической прогрессии: , подставим ее в (**), будем иметь: Итак, Используем полученную формулу для перевода бесконечных периодических дробей в обыкновенные. Сначала рассмотрим т.н. чистые периодические дроби, например, а = 0,27272727…. Запишем это число в виде суммы разрядных единиц:

а =

Как видите, получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с и . Подставим в полученную формулу: а = 0,272727 = .

Легко видеть, что формулой можно и не пользоваться, а формально подставить в числитель дроби цифры периода, а в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Так, 0,333333… = , 0,504504504504…

Самостоятельно: 0,(72); 0,(2934); 0,(36) и т.д. И проверяйте на МК.

Аналогично, но несколько сложнее решается такая задача для смешанной периодической дроби. Это такая дробь, у которой до периода существуют другие цифры, например:

0,34545454545…, 0,5036363636…, 0,8106666666 и т.д.

Снова запишем дробь в виде суммы разрядных единиц:

= = w

Как видите бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с и

начинается со второго слагаемого, применяем выведенную формулу.

w = . Проверим на МК.

Действительно Все верно.

Для закрепления рассмотрим еще один пример:

r = 0,8106666666 = =

Здесь и . Применяя формулу, будем иметь:

r = .

Убедитесь с помощью МК, что расчеты проведены верно.

При изучении многих разделов математики вы будете часто применять теорию пределов, в частности, производная - предел, интеграл - предел, сумма ряда - предел, площадь круга - предел, объем конуса - предел и т.д. и т.д.

Рассмотрим еще одно применение теории пределов. Вы из школьного курса знаете определение степени с рациональным показателем:

. А как определить степень с иррациональным показателем, например, сто есть , ведь невозможно представить в виде дроби , т.к. это число иррациональное.

Поступим так: составим числовую последовательность, членами которой являются десятичные приближения, например, с недостатком числа :

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142136 …. Заметим, что члены этой последовательности - рациональные, а степень с рациональным показателем мы уже определили, так, .

Теперь составим числовую последовательность, членами которой являются степени числа 3 с показателями - десятичные приближения числа :

Последовательность ограничена и возрастает, значит она имеет предел. Этот предел и является степенью с иррациональным показателем:

. Говорить будем так: под степенью с иррациональным показателем будем понимать предел последовательности степеней с рациональными показателями - десятичными приближениями этого иррационального показателя при неограниченном увеличении числа десятичных знаков приближений.

Получите у преподавателя номер варианта практической работы и выполняйте ее

Варианты практических работ для студентов первого курса

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Домашнее задание. Вы изучали в школе степени и корни, повторяли на подготовительных курсах. Восстановите в своей памяти следующие понятия: степень с натуральным, целым, рациональным показателем, свойства степени - их 5

Карточки заданий:

I Найти: II Найти:

III Найти: IV Найти:

Тема III. Степенные, показательные и логарифмические функции

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

1. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем.

для натурального n

- степень; a - основание степени; n - показатель степени.

Для степени с рациональным показателем n:

(прочесть свойства словами, а также справа налево)

2. Обобщим понятие степени

Определение: Пусть действительное число записано в виде бесконечной десятичной дроби, и пусть , , последовательность его десятичных приближений. Тогда для любого действительного числа a > 0 степень определяется равенством

а) Пусть a > 1 и , например . Степень означает такое число, которое больше всякой степени , но меньше всякой степени , где и - любые рациональные приближённые значения числа , взятые с недостатком и избытком.

С недостатком

С избытком

б) Пусть a < 1, но , например . Тогда под степенью разумеют такое число, которое меньше всякой степени , но не больше всякой степени . Т. е. есть число, меньшее каждого из чисел ряда , но большее каждого из чисел ряда . Таким образом, если иррациональное число заключено между двумя рациональными числами и , то степень заключена между степенями и и тогда, когда a > 1, и тогда, когда a < 1.

в) Пусть a > 1, a < 1 и , например .

Тогда выражению придают тот же смысл, какой имеют степени с отрицательным рациональным показателем

Таким образом можно сказать, что все свойства показателей рациональных применимы и к показателям иррациональным

И значит записанные выше свойства степени с рациональным показателем справедливы для степени с любым действительным показателем (прочесть свойства словами ещё раз).

Вычислить

1)

воспользуемся свойствами степени

2)

Решение:

Самостоятельно:

3)

3. Функция вида называется степенной функцией.

x - аргумент (основание степени)

n - показатель степени.

Рассмотрим графики функций при

При n > 0

n = 1 y = x

; ;

При n < 0

;

Отметим свойства общие для степенных функций:

1. при функция возрастающая

2. при функция убывающая

Применение: используя графики степенных функций можно графически решать некоторые алгебраические уравнения.

Например

Корни приближённые, но другим способом это уравнение решить нельзя!

Построить схематически графики функций:

Дома (самостоятельно)

Вычислить самостоятельно:

1.19 ;

1.21 ;

2.2 ;

2.4

с последующей проверкой результата.

Занятие 3.2 Логарифмы, их свойства. Логарифмическое тождество, формула перехода.

1. Задание для проверки знаний предлагается по карточкам в 6-ти вариантах.

2. Итак, мы знаем, что , а если n - неизвестно? Как можно найти показатель степени из равенства: ? Никакие известные нам действия не помогут. Вот поэтому вводится новое понятие, понятие логарифма.

Определение: Логарифмом числа называется показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число: согласно определения имеем , и тогда - основное логарифмическое тождество.

.

Логарифмы обладают свойствами:

1. Логарифмы отрицательных чисел на существуют (положительное число в любой степени есть число положительное).

2. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, , т.к .

3. Логарифм самого основания равен 1, то есть , т.к.

4. Логарифм произведения при любом основании равен сумме логарифмов сомножителей при этом же основании.

Покажем, что это так:

Пусть и ; по определению логарифма имеем и

; отсюда и тогда , что и требовалось доказать!

5. Логарифм дроби при любом основании равен разности логарифма числителя и логарифма знаменателя при этом же основании

(доказательство аналогично свойству 4, докажите самостоятельно. Можно воспользоваться подсказкой учебника)

6. Логарифмом степени при любом основании равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

Логарифм числа с основанием 10 называется десятичным и имеет особую запись.

Логарифм числа с снованием e называется натуральным и имеет также особую запись . число Непера.

И десятичный, и натуральный логарифмы любого числа можно находить при помощи МК

17,4 0,384

А если надо вычислить логарифм числа при любом основании? Что делать? Надо перейти к основанию 10 или e.

По определению логарифма , используя свойство логарифмов (смотрите свойство 6) имеем

и тогда и называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой. Эта формула часто применяется при решении логарифмических уравнений и неравенств , что даёт возможность вычисления выполнять при помощи МК.

Решить:

Как видно результаты равные поэтому можно делать переход к любому основанию.

Проверьте результат:

Самостоятельно: а затем решаются №№

Пособие: стр. 28 № 3.27 вместе с преподавателем; № 3.21; 3.23 - самостоятельно (с последующей проверкой)

Замечания: 1) , т.е. 2) 3)

Используя определение логарифма, можно находить переменную.

Рассмотрим на конкретных примерах

по определению логарифма

по определению логарифма

по определению логарифма

Решить. Пособие стр. 28 № 3; 4; 3.8; 3.9; 3.11; 3.16; 3.20

3.4

3.8

3.9

3.11

3.16

3.20

Самостоятельно:

Пособие стр. 28 № 3.22; 3.24 (МК)

3.10; 3.12; 3.13; 3.14; 3.18

3.10

3.12 3.14

3.18

4. Домашнее задание выдаётся по карточкам для выполнения на листках с последующей сдачей (в шести вариантах)

Занятие 3.3 Преобразование и вычисление логарифмических и показательных выражений. Логарифмирование и потенцирование.

1. Логарифмирование выражений.

Определение: Действие нахождения логарифма числа называется действием логарифмирования.

Рассмотрим на примере.

Пусть дано число в общем виде

Найдём логарифм числа x, используя свойства логарифмов (логарифм дроби, произведения, степени при любом основании)

Так как можно находить логарифм при любом основании, то договорились основание не писать.

Однако так подробно не следует каждый раз расписывать, а сразу следует применять свойства логарифмов и писать результат.

Например:

Решим совместно (доска - группа)

Стр. 28 пособие «Сборник материалов»

№ 4.5;

№ 4.6;

№ 4.7;

№ 4.8;

2. Потенцирование выражений

Действие нахождения числа по его логарифму называется действием потенцирования.

Как видно: потенцирование - есть обратное действие логарифмированию.

Пример.

Знак минус говорит о том, что число представлено дробью, коэффициенты перед логарифмом - показатели степени.

И тогда ;

Стр. 29 пособие «Сборник материалов»

5.1

5.3

5.5

5.7

5.8

5.10

5.12

Решаются примеры (поясняет преподаватель) из Пособия «Вычисления по МК» сложность 5 вариант 1 примеры 2 и 4

Затем самостоятельно (закрепление).

Контрольные вопросы:

1. Что называется логарифмом числа?

2. Какое действие называется действием логарифмирования? Потенцирования?

3. Свойства логарифмов?

4. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными?

5. Логарифмическое тождество. Примеры (карточки).

Занятие 3.4 Показательная функция, её график, свойства.

Определение. Функция вида , где и a > 0 называется показательной.

Рассмотрим функции.

построим их графики прочтём свойства функций.

Свойства

1. Область определения:

2. Множество значений функции:

3. При .

Эти свойства называются общими свойствами показательной функции и независят от основания, какое оно больше 1 или меньше 1.

a > 1

4. Функция возрастающая

5. при

та степень больше показатель которой больше

a < 1

4. Функция убывающая

5. при

та степень больше, показатель которой меньше

Предложение: прочесть свойства функций по графику.

Используя свойства функции предлагается решить примеры

а) Сравнить степени с 1

Условие Ответы

При решении учитывается основание (какое оно больше 1 или меньше 1) и знак показателя степени.

б) Сравнить показатели степени, если:

Условие: Ответы:

При решении обращается внимание на основание (какое оно больше 1 или меньше 1) и учитывается 6-ое свойство показательной функции

Показательные неравенства.

Определение. Неравенства, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

При решении показательных неравенств используются свойства показательной функции, свойства степени. Рассмотрим простейшие методы решения показательных неравенств.

а)

приведём обе части неравенства к одинаковым основаниям. Учитывая, что , то , т.к. (свойство степени). Основание 5 > 1 функция возрастающая и поэтому .

Решаем неравенство первой степени.

7

б) . Приведём к одинаковым основаниям. Зная, что , представим правую часть неравенства, как и тогда

так как 0,7 < 1, то функция убывающая и значит . Это квадратное неравенство, которое решается методом интервалов.

+

-

+

-1 1

в)

Привести к одинаковым основаниям не представляется возможным. Используем метод логарифмирования.

, т.к. , то

1,38

Можно логарифмировать обе части неравенства по любому основанию. Например по основанию 10.

, т.к. и . Ответ тот же.

г) Прологарифмируем по основанию «е»

, т.к. ,

то -1,93

д) Используя свойство степени, имеем ; вынесем за скобки , т.к. 3 > 1, то

3

Затем решаются неравенства

Стр. 31 пособие «Сборник мат.» № 2.2; 2.3; 2.9; 2.11; 2.12

2.2 , т.к. , то

Учитывая, что , то

2.3 , приведем к основанию 3

, т.к. 3 > 1, то

+

+

-

3

-3

2.9

, т.к. 2 > 1, то

-1

+

+

-

1

2.11 . В левой части неравенства надо умножить степени с одинаковым показателем. Т.к. , то

Сокращаем дроби и получим

-2

2.12

3

Самостоятельно:

1)

2)

3)

4)

Занятие 3.5 Показательные уравнения, их решения

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

Например: и т.д.

При решении показательных уравнений применяются разные методы решения, которые мы рассмотрим на конкретных примерах.

1. , т.к. , то , мы привели обе части уравнения к одинаковому основанию, а так как степени равны, равны их основания, то равны и показатели степеней, т.е

Ответ:

Показатель степени может быть любым числом, поэтому проверку делать не надо.

Ответ:

2. В левой части и тогда , так как при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются, то , это и есть решение уравнения. Ответ: .

Оба уравнения решались методом сведения обеих частей уравнения к одинаковому основанию. А если нельзя свести к одинаковому основанию?

Что делать?

Как решить?

Теперь применим только метод логарифмирования. Прологарифмируем обе части уравнения, например по основанию 10, т.е найдём от обеих частей десятичный логарифм

, результат не изменится, если взять логарифм натуральный, то есть берём тот логарифм который можно найти, используя МК.

4. используя свойства степени, имеем в левой части каждое слагаемое содержит общий множитель . Вынесем за скобки, получим:

Ответ: . Этот метод так и называется - метод вынесения общего множителя за скобки.

4. так как , то уравнение представляет квадратное уравнение относительно . Пусть , тогда решаем квадратное уравнение относительно переменной t.

Подставим значения t в равенство

Ответ: . При решении уравнения применим первоначально сведения к квадратному уравнению. В следующих примерах постараемся самостоятельно определять метод решения и затем с подсказкой преподавателя выполнять решение этого уравнения.

1.4. ; приведем к одинаковому основанию «3»

. Ответ:

1.9. ; . Ответ:

1.19.

свести к одинаковому основанию нельзя, прологарифмируем обе части уравнения:

Ответ:

1.38.

можно разделить обе части уравнения на или , получим:

. Ответ:

1.45.

Пусть , тогда

- уравнение не имеет решения, т.к. всегда. Ответ:

Самостоятельно:

Пособие «Сборник материалов» стр. 29-30 № 1.2; 1.22; 1.35; дополнительно 1.49

1.2.

1.22.

1.35

, уравнение не имеет решения, т.к. всегда

Ответ:

Дополнительно

1.49

Ответ: .

Занятие 3.6 Логарифмическая функция, её график, свойства.

Функция, обратная показательной, называется логарифмической и - показательная функция , поменяем местами x и y, получаем - это и есть логарифмическая функция.

Знаем, что графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Воспользовавшись этим свойством изобразим графики логарифмической функции при a > 1 и a < 1

Свойства

1.

2.

2. при

Свойства (1 - 3) являются общими свойствами логарифмических функций и не зависят от основания (больше 1 или меньше 1).

Остальные свойства рассматриваются в зависимости от основания

a > 1

2. Функция монотонно возрастающая

3. При

2. При

большему числу соответствует и больший логарифм

0 < a < 1

4. Функция монотонно убывающая

5. При

4. При

большему числу соответствует меньший логарифм

Используя свойства логарифмической функции (свойства логарифмов), определите знак числа

1.

2.

3.

4.

Ответы:

1. > 0

2. < 0

3. < 0

4. > 0

Сравните свои результаты.

Самостоятельно:

Смотрим на основание (а 1 или а 1), а затем на число (х 1 или а х 1) и делаем вывод!

3. Логарифмические неравенства:

Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. При решении неравенств используются свойства логарифмов, логарифмической функции.

Рассмотрим методы решения на примерах.

Пособие стр. 32:

2.2.

Представим 3 как получим основание равно 2 - функция возрастающая и значит , но надо помнить, что число ( ) 0 и поэтому мы получает систему неравенств

Решаем эту систему.

Как видим неравенства второй степени, которые решаются методом интервалов. Найдём корни:

И тогда как видно система неравенств имеет решение

2.6.

Функция убывающая и значит то есть система неравенств имеет вид

Решаем её, система 1 степени, поэтому

2.12.

Решаем систему неравенств методом интервалов

2.13.

И тогда, учитывая, что имеет систему неравенств:

2.15.

Дробь 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Как видно

Самостоятельно:

1.

2.

3.

С последующей проверкой:

1.

2.

3.

Решение примеров с помощью МК

Сложность 6 вариант 8 (1, 2, 3) решаются совместно с преподавателем.

Занятие 3.7 Решение логарифмических уравнений и неравенств

Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Рассмотрим методы решения логарифмических уравнений на примерах.

Пособие стр. 31 - 32

По определению логарифма можно записать,

надо помнить, что логарифма отрицательных чисел не существует. Так как всегда, то полученные значения оба являются корнями уравнения. Ответ:

1.5 По определению логарифма, можно решить уравнение:

; отсюда

получили показательное уравнение , решим его:

приведём к общему знаменателю

Обозначим , получим

и тогда .

Ответ:

Используя определение логарифма, можно число 2 записать и тогда имеем равносильное уравнение . Применим свойства логарифмов и тогда

отсюда следует, что

решаем уравнение при

потенцирование выражений может привести к появлению посторонних корней, поэтому полученные корни нужно проверить.

Проверка:

верно.

- посторонний корень, так как логарифма отрицательных чисел не существует.

Ответ: .

Можно указать другой метод нахождения корней уравнения, основанный на предварительном нахождении всех значений x, для которых имеет смысл уравнение, то есть указать область допустимых значений переменной (ОДЗ).

По свойству логарифмов:

и тогда можно сказать, что ОДЗ удовлетворяет корень x = 4. Проверив этот корень, получаем верное равенство.

Замечание. Пользоваться указанием ОДЗ удобно для более простых выражений, стоящих под знаком логарифма.

При решении уравнения применяется метод решения, известный как метод потенцирования.

т.к.

Используя свойства логарифмов имеем

и тогда

Проверка:

x = -2,5 - посторонний корень, так как логарифма отрицательных чисел не существует.

верно.

Ответ:

1.20.

данное уравнение можно назвать и показательным и логарифмическим.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, получаем равносильные ему логарифмическое уравнение

Получаем квадратное уравнение относительно

Пусть , тогда

И тогда

если , то

Ответ: .

1.25.

Приведём логарифмы к одинаковому основанию. Известно, что и тогда

ОДЗ:

Если , то

Ответ:

Пусть

1.54.

Приведём логарифмы к одинаковому основанию. Так как , то

верно. Ответ:

Используем свойства логарифма и получим

Самостоятельно:

Как видно x = 1,3 не удовлетворяет ОДЗ и следовательно проверке подлежит корень x = 7,71)

Проверка:

верно. Ответ:

2)

3)

Ответ:

4)

Ответ: .

3. Решение примеров (МК). Сложность 4, вариант 8 (4; 5) совместно с преподавателем.

Занятие 3.8 Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств выполняются с использованием свойств показательной и логарифмической функций, свойств логарифмов и свойств степени.

Особенно при решении логарифмических уравнений и неравенств следует помнить, что имеет смысл при и . Говорят, что область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) для данного уравнения является множеством чисел, удовлетворяющих системе неравенств

Потенцируя данное уравнение, приходим к уравнению , для которого ОДЗ является более широким множеством, и, следовательно можно получить посторонние корни. Поэтому нужно либо сначала найти ОДЗ и затем посторонние корни отбросить, либо просто проверить все полученные корни, а затем записать ответ.

Итак, наша задача закрепить умения, навыки решения уравнений, неравенств и показательных и логарифмических:

По определению логарифма

x = 2 - посторонний корень, т.к основание 2 - 1 = 1, что невозможноверно

Ответ: x = 4

т.к. потенцируем уравнение:

верно

x = - 3,5 - посторонний корень, так как логарифм отрицательного числа не существует.

Ответ: x = 13

Используем свойства и , получим:

Обозначим , имеем квадратное уравнение:

Проверка: , условию удовлетворяют оба корня.

Ответ: .

Прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения:

Пусть

x > 0, условно удовлетворяют оба корня.

Ответ: 100; 0,1.

Показательное уравнение, переменная может принимать любое значение, поэтому полученные корни не требуют проверки.

Ответ:

Применяем метод логарифмирования либо по основанию 10, либо по основанию «e».

Ответ: 0,958.

так как , то обозначив , получаем .

и тогда

Ответ: x = 0

так как , то потенцируя уравнение, получаем:

, учитывая, что и обозначив получим квадратное уравнение

и тогда

не имеет решения, так как всегда.

Ответ:

Переходим к решению неравенств:

, т.к. > 0

Учитывая, что , то есть функция убывающая, имеем:

Ответ:

показательное неравенство. Приведём обе части неравенства к одинаковому основанию.

Используем свойства степени получим

, т.к. 3 > 1, функция возрастающая, то

2

Ответ:

Основания одинаковые, причём 3 > 1, следовательно

нет общих значений x.2 2,5 3

Ответ: неравенство не имеет решения.

Дополнительно:

указать область определения функции

Система второй степени, решаем методом интервалов.

действительных корней нет, т.к. a = 1 > 0, то всегда , а поэтому решение системы зависит от решения первого неравенства.

+

-

+

3 4

Ответ:

Решить уравнение:

корни мнимые

Ответ:

корни мнимые

Ответ:

-5 0

13

Выполнить действия:

Занятие 3.9 Решение систем показательных и логарифмических уравнений

1.1.

преобразуем второе уравнение

Так как

потенцируем уравнение

и тогда данная система запишется

Получили алгебраическую систему второй степени, применим метод подстановки

Решаем второе уравнение относительно x

И тогда при (14; 9)

при (6,5; -6)

Точка (6,5; -6) не удовлетворяет ОДЗ, а поэтому данной системе удовлетворяет точка (14; 9). Проверим:

верно

Ответ: (14; 9).

1.7.

Используем определение логарифма.

Решим уравнение

и тогда

Значения удовлетворяют ОДЗ; проверим

верно верно

Ответ: (3; 1)

1.12 (дополнительно)

потенцируем первое уравнение.

Учитываем, что

Значения x = 64 y = 16 удовлетворяют ОДЗ

Проверим

1 = 1 верно 16 = 16 верно

Значения x = 64, y = 16 удовлетворяют обеим уравнениям.

Ответ: (64; 16).

1.21. (дополнительно)

перейдём к системе алгебраических уравнений; потенцируем уравнения

Решим первое уравнение относительно y:

Имеем две точки (3; 5) и (5; 3).

Обе точки удовлетворяют ОДЗ. Проверим:

(3;5)

(5;3)

Ответ: (3; 5) и (5; 3).

Самостоятельно:

1.34

ОДЗ:

Решим второе уравнение

x = - 17 - не удовлетворяет ОДЗ.

Если x = 16, то , но y = -4 не удовлетворяет ОЗД, следовательно при x = 16 y = 4

Проверим:

Ответ: (16; 4)

1.19

Решим первое уравнение:

, и тогда

Так как y > 0 согласно условия, то y = 1 удовлетворяет этому условию. Проверим x = 2 y = 1

Ответ: (2; 1)

Повторение:

Занятие 3.10 Решение примеров. Письменная работа за 1 семестр

1. Решение примеров:

а) Найти:

б) Решить уравнение:

в) Выполнить действия и найти модуль и аргумент результата:

г) Решить уравнение и неравенства:

(решение проводится на доске совместно с решениями в тетради)

Решение:

а)

б)

в)

III чет.

г)

-1

- посторонний корень

;

проверка:

5 = 5. Ответ: 13.

Для контрольной работы предлагается в объёме: (типовое задание)

1. Найти:

2. Решить уравнение: или

Выполнить действия: . Найти модель и аргумент результата

3. Решить уравнения и неравенства:

(карточки см. отдельно)

Контрольные вопросы по теме:

1. Определение степени с натуральным показателем.

2. Степень с рациональным показателем.

3. Чему равно ?

4. Как умножить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?

5. Как разделить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?

6. Как возвести степень в степень?

7. Что называется корнем степени из числа?

6. Как извлечь корень из произведения? Дроби? Степени?

7. Как умножить (разделить) корни с одинаковым показателем?

8. Как умножить (разделить) корни с разными показателями?

9. Какая функция называется степенной?

10. Свойства степенной функции.

11. Примеры степенной функции.

12. Определение показательной функции.

13. Приведите примеры показательной функции.

14. Графики показательной функции при a > 1, при a < 1.

15. Свойства показательной функции.

16. Определение логарифмической функции.

17. Приведите примеры логарифмической функции.

18. Графики логарифмической функции при a > 1, при a < 1.

19. Свойства логарифмической функции.

20. Какие уравнения называются равносильными?

21. Какие уравнения (неравенства) называются показательными? логарифмическими?

22. Простейшие приёмы решения показательных уравнений.

23. В чём заключается метод логарифмирования при решении показательных уравнений?

24. В чём заключается метод потенцирования при решении логарифмических уравнений?

25. Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств?

26. Какие условия должны выполняться при решении логарифмических неравенств?

27. Что называется логарифмом числа?

28. Логарифмическое тождество.

29. Формула перехода от одной системы логарифмов к другой? Её следствия?

30. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными?

31. Свойства логарифмов.

32. Логарифмирование выражений.

33. Потенцирование выражений.

34. Вычисления логарифмов при помощи МК.

Занятие 3.11 Решение уравнений, неравенств. Практическая работа

Решение примеров:

1(б)

По определению логарифма:

Сократим обе части на 2:

Опять по определению логарифма:

И тогда

Так как x > 0, то x = 2 - корень уравнения.

Ответ: x = 2.

1(в)

при

при

и решаются две системы неравенств:

первая система:

+

1

+

-

вторая система:

-

+

+

0 1

И тогда

Ответ:

2. Задание практической работы № 3 (6 вариантов)

Вариант - 1

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

1);

2);

3)

4);

5);

6);

7);

8);

9)

10) ;

11);

12)

Вариант - 2

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

1);

2);

3) ;

4);

5) ;

6);

7);

8) ;

9) ;

10) ;

11);

12)

Вариант - 3

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

Вариант - 4

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

Вариант - 5

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

Вариант - 6

Решить уравнения, неравенства, системы уравнений:

Занятие 3.12 Показательная, степенная, логарифмическая функция.

Зачётное занятие

ЗАЧЁТНЫЕ ВОПРОСЫ (Тема 3).

8. Определение степени с натуральным показателем.

9. Степень с рациональным показателем.

10. Чему равно ?

11. Как умножить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?

12. Как разделить степени с одинаковым основанием? Одинаковым показателем степени?

13. Как возвести степень в степень?

14. Что называется корнем степени из числа?

6. Как извлечь корень из произведения? Дроби? Степени?

7. Как умножить (разделить) корни с одинаковым показателем?

8. Как умножить (разделить) корни с разными показателями?

9. Какая функция называется степенной?

10. Свойства степенной функции.

11. Примеры степенной функции.

12. Определение показательной функции.

13. Приведите примеры показательной функции.

14. Графики показательной функции при a > 1, при a < 1.

15. Свойства показательной функции.

16. Определение логарифмической функции.

17. Приведите примеры логарифмической функции.

18. Графики логарифмической функции при a > 1, при a < 1.

19. Свойства логарифмической функции.

20. Какие уравнения называются равносильными?

21. Какие уравнения (неравенства) называются показательными? логарифмическими?

22. Простейшие приёмы решения показательных уравнений.

23. В чём заключается метод логарифмирования при решении показательных уравнений?

24. В чём заключается метод потенцирования при решении логарифмических уравнений?

25. Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств?

26. Какие условия должны выполняться при решении логарифмических неравенств?

27. Что называется логарифмом числа?

28. Логарифмическое тождество.

29. Формула перехода от одной системы логарифмов к другой? Её следствия?

30. Какие логарифмы называются десятичными? Натуральными?

31. Свойства логарифмов.

32. Логарифмирование выражений.

33. Потенцирование выражений.

34. Вычисления логарифмов при помощи МК.

ТЕМА 1:

1. Определение рациональных, иррациональных, действительных чисел.

2. Определение комплексных чисел.

3. Мнимая единица. Степень мнимой единицы.

4. Модуль и аргумент комплексного числа.

5. Геометрическое изображение комплексных чисел.

6. Какие комплексные числа называются сопряжёнными?

7. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме.

8. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме.

9. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.

10. Квадратное уравнение, его решения.

11. Решение квадратных уравнений с Д < 0.

12. Определитель 2 порядка, его вычисление.

13. Определитель 3 порядка, его вычисление.

14. Правила Крамера.

15. Метод интервалов.

16. Решение систем линейных и нелинейных уравнений.

ТЕМА 2:

1. Что называется функцией?

2. Способы задания функции.

3. Что называется графиком функции?

4. Что называется областью определения функции?

5. Основные свойства функции.

6. Какая функция называется монотонной?

7. Какая функция называется чётной? Нечётной?

8. Какая функция называется периодической?

9. Какая функция называется ограниченной?

10. Что называется сложной функцией?

11. Какая функция называется обратной к данной функции?

12. Что называется приращением аргумента? Приращением функции?

13. Что называется пределом функции в точке?

14. Свойства предела функции.

15. Что называется пределом функции на бесконечности?

16. Какие функции называются непрерывными в точке? На отрезке?

17. Что называется числовой последовательностью?

18. Свойства последовательности.

19. Что называется пределом числовой последовательности?

20. Какие последовательности называются сходящимися? Расходящимися?

21. Теорема Вейерштрасса для последовательности.

22. Первый и второй замечательные пределы.

23. Понятие о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.

Тема IV. Тригонометрические функции

Занятие 4.1 Тригонометрические функции числового аргумента (определение, значения, знаки, чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, основные тождества).

Формулы приведения.

Любой угол измеряется либо в градусной мере измерения (единица измерения - градус) либо в радианной (единица измерения - радиан). Один дуговой градус - это часть окружности. Один угловой градус - это центральный угол, опирающийся на дуговой градус. Радианная мера угла - это отношение длины дуги к радиусу этой дуги. Радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу, равную длине радиуса этой дуги. Окружность содержит радиан.

O

rO

RrO

aRrO

AaRrO

- радианная мера угла

радиан

1 рад

Для перехода от градусной меры измерения угла к радианной и наоборот можно пользоваться формулами: ;

Например:

1) Дано: 2) Дано:

Найти: Найти:

В прямоугольном треугольнике Для произвольного угла

Основные тригонометрические тождества

Из определения:

любые значения

функции ограниченные

I

II

III

IV

Золотые углы

sin

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-1

0

1

tg

0

1

-

0

-

0

ctg

-

1

0

-

0

-

Решить: 1) (совместно устно)

Самостоятельно: 2)

Решение:

1) ;

2)

Знаки функций по четвертям

I

II

III

IV

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

x

x

M₁

M

y

y

y

y

x

R

Углы и

(чётная функция)

чётная функция

нечётная функция

Периодичность:

x

y

- период

- период

- период

0

B

A

A

0

B

Формулы приведения:

1. Знак результата берется по знаку данной функции в зависимости от четверти.

2. Если острый угол берется при горизонтальном диаметре, т.е. и , то название функции не изменяется; если при вертикальном, т.е. и , то название функции изменяется на сходную.

Например:

Упростить:

1)

2) Пособие (сборник материалов)

стр. 35 № 8.1; 8.3

стр. 36 № 17.3; 17.4

Самостоятельно:

Упростить:

1)

2)

Контрольные вопросы:

1. Определения тригонометрических функций острого угла.

2. Что называется синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом числового аргумента?

3. Знаки функций по четвертям.

4. Перечислить чётные тригонометрические функции.

5. Перечислить нечётные тригонометрические функции.

6. Какие функции имеют период ?

7. Формулы приведения.

Занятие 4.2 Графики и свойства тригонометрических функций.

Простейшие преобразования графиков тригонометрических функций.

- функция гармонического колебания

A - амплитуда колебания

- частота колебания вдоль оси Ox

- начальная фаза колебания (сдвиг по оси Ox на )

- функция гармонического колебания

Свойства функций рассматриваются на планшетах графиков каждой из функций и по учебнику Яковлев «Алгебра и начала анализа»; Дадаян «Математика» § 7.14 стр. 215

Самостоятельно:

Построить график функции:

Контрольные вопросы:

1. Свойства функции .

2. Свойства функции .

3. Свойства функции .

4. Свойства функции .

5. порядок построения графика функции.

Занятие 4.3 Формулы сложения и их следствия. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций

1) Повторить формулы:

При = имеем

Имеем:

И тогда

или

Решение примеров:

1. Вычислить: не применяя МК.

Применяем формулу

и тогда

Аналогично:

2. Доказать:

Действительно:

(использовали формулы и )

3. Доказать:

при решении использованы формулы

4. Дано:

Найти:

Решение:

Запишем формулы:

Видим, что надо найти функции и . Используя, что имеем

, т.к. (II четверть)

Аналогично:

, т.к. (III четверть)

и тогда:

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций (повторить).

Например:

Преобразовать в сумму или разность:

Самостоятельно:

3) Преобразовать в сумму или разность функций

Контрольные вопросы:

1. Синус суммы двух углов.

2. Косинус разности двух углов.

3. Синус двойного угла.

4. Тангенс суммы двух углов.

5. Косинус двойного угла.

6. Тангенс двойного угла.

7. Чему равна сумма ?

8. Чему равна разность ?

9. Сумма синусов.

10. Сумма тангенсов.

11. Разность косинусов.

12. Сумма косинусов.

13. Разность тангенсов.

14. Сумма котангенсов.

15. Разность котангенсов.

Занятие 4.4 Выполнение упражнений: нахождение значений функций, упрощение выражений, доказательство тождеств. Применение МК при вычислениях.

1. а) Дано:

Найти:

Воспользуемся формулой .

, знак (-) взят потому, что (III ч.), а в III ч. Имеет знак (-).

Зная и , найдём а т.к. ,

то .

Для нахождения воспользуемся формулой и значит

Для нахождения воспользуемся формулой откуда , тогда

(II ч.) и значит

б) Дано:

Найти:

Т.к. , то . Для нахождения и следует воспользоваться формулами или .

Найдём :

(IV ч.)

и тогда (IV ч.)

Воспользуемся формулой:

И тогда

Аналогично решаются примеры, когда даны функции или .

Самостоятельно:

1) Дано:

Найти:

2) Дано:

Найти:

2. Упрощение тригонометрических выражений. Пособие (сборник материалов), стр. 36-37,

№ 17.2

при решении использована формула разности кубов , а также тригонометрическое тождество

17.12

применяем формулы приведения и нечётность функции :

17.19

обратите внимание:

и тогда имеем возможность сократить:

Самостоятельно:

17.15

т.к и

согласно формулы

17.20

3. Доказательство тождеств. Пособие (сборник материалов по математике), стр. 36-37,

№ 18.3 , т.е надо упростить левую часть так, чтобы получить правую часть:

т.к. период функций и равен , а у и период равен , то исключаем периоды функций и теперь применяем формулы приведения:

, что и требовалось доказать!

18.11 .

что и требовалось доказать!

Самостоятельно:

1)

2) Вычисления с помощью МК. Сложность 5 (пособие по МК) вариант 1-8

Занятие 4.5 Решение тригонометрических уравнений вида .

Письменная работа «Тригонометрические функции»

Вспомнить свойства функций, табличные значения функций и отмечаем углы, в которых функции равны нулю, -1, 1.

Эти уравнения называются частными случаями простейших тригонометрических уравнений.

Решение уравнений:

Радианы! Обратите внимание!

Решения: В уравнениях 1-9 применяются формулы решения соответствующих уравнений.

При решении остальных уравнений следует использовать и формулы суммы двух углов, и формулы двойных углов.

Самостоятельно (карточки). Письменная работа «Тригонометрические функции» типа:

1. Дано:

Найти:

2. Упростить:

3. Решить уравнения:

Выразим и через

Выдача заданий практической работы «Тригонометрические функции».

Контрольные вопросы к зачётному занятию (модуль № 4)

Зачетное занятие 4.6. Собеседование по пройденному материалу. Решение примеров (анализ письменной работы). Практическая работа «Тригонометрические функции».

Тема: Тригонометрические функции»

1. Что называется синусом острого угла?

2. Что называется косинусом острого угла?

3. Что называется тангенсом острого угла?

4. Что называется котангенсом острого угла?

5. Что называется радианом?

6. Переход от радианной меры угла к градусной и обратно.

7. Что называется синусом числового аргумента?

8. Что называется косинусом числового аргумента?

9. Что называется тангенсом числового аргумента?

10. Что называется котангенсом числового аргумента?

11. Значения тригонометрических функций углов .

12. Знаки функций по четвертям.

13. Периоды тригонометрических функций.

14. Чётность и нечётность тригонометрических функций.

15. Ограниченность тригонометрических функций.

16. Формулы решения тригонометрических уравнений вида: .

17. Графики функций , их свойства.

18. Простейшие преобразования графиков функций: .

19. График функции .

20. Основные тригонометрические тождества.

21. Формулы приведения.

22. Синус суммы и разности двух углов.

23. Косинус суммы и разности двух углов.

24. Тангенс суммы и разности двух углов.

25. Тригонометрические функции двойного угла .

26. Тригонометрические функции половинного угла .

27. Выражение и через .

28. Формулы суммы и разности синусов .

29. Формулы суммы и разности косинусов .

30. Формулы суммы и разности тангенсов .

31. Формулы суммы и разности котангенсов .

32. Обратные преобразования произведения косинусов.

33. Обратные преобразования произведения синусов.

34. Обратные преобразования произведения синуса на косинус.

Практическая работа № 4 (тригонометрические функции).

Вариант 1.

Задание №1.

а) Вычислить: в) Упростить выражение:

б) Решить задачу:

Дано:

Найти: .

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

а) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

б) Доказать тождество: Задание №5.

Преобразовать произведение в сумму.

в) Доказать тождество:

Вариант 2.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти: , ;

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 3.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти: ;

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 4.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

при

Б) Решить задачу:

Дано:;

Найти: ;

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 5.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано: ;

Найти: ;

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 6.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

при

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти:

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 7.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти:

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 8.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти:

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 9.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти:

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Доказать тождество:

Вариант 10.

Задание №1.

А) Вычислить: В) Упростить выражение:

Б) Решить задачу:

Дано:

Найти:

Задание №2.

а) Вычислить, используя четность, нечетность, б) Определить, является ли функция четной,

периодичность, формулы приведения тригонометрических нечетной или не является ни четной, ни

функций к острому углу. нечетной.

Задание №3. Задание №4.

А) Упростить выражение: Преобразовать в произведение:

Б) Доказать тождество: Задание №5. Преобразовать произведение в сумму:

В) Д Доказать тождество:

Занятие 4.7 Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

1)

Функция , где не является монотонной на этом промежутке. Поэтому, чтобы говорить об обратной функции, надо выделить участок монотонности. Для функции является отрезок .

Итак:

Свойства функции

1) Область определения

2) Множество значений

3)

4) Функция монотонно возрастает

Например:

2)

Промежуток монотонности

Свойства функции

1) Область определения

2) Множество значений

3)

4) Функция монотонно убывает

Например:

3)

Промежуток монотонности

Свойства функции

1) Область определения

2) Множество значений

3)

4) Функция монотонно возрастает

Например:

4)

Промежуток монотонности

Свойства функции

1) Область определения

2) Множество значений

3)

4) Функция монотонно убывает

Например:

Используя свойства обратных функций, найдем углы:

5) Выполнение простейших тригонометрических операций над arc-функциями может быть определена формулами:

Между arc-функциями существуют основные соотношения:

Рассмотрим примеры:

1) Вычислить:

Можно рассматривать как и находить по формуле

а проще:

(погрешность вычисления вполне допустимая)

Используя МК имеем:

2)

Самостоятельно:

Вычислить, используя МК:

Контрольные вопросы:

1. Чему равны углы:

2. Область определения функций:

3. Чему равны:

Занятие 4.8 Простейшие тригонометрические уравнения, их решение

Уравнения вида называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

N

M

0

II ч.0

отсюда

I ч.

Например:

Например:

3) ; a - любое значение 4) ; a - любое значение

x

x

y

Например: Например:

Решить уравнения:

Решения уравнений:

5) Решаем в радианной мере измерения

распишем два случая:

или

Ответ: .

Самостоятельно:

Контрольные вопросы:

Формулы решений уравнений вида:

Занятие 4.9 Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений:

1)

уравнение содержит функции одинакового угла, можно привести к квадратному уравнению, если заменить :

Пусть , тогда

и тогда имеем два простейших уравнения и

решаем их, применяя формулу решения уравнения

И тогда, ответ:

2)

функции имеют разные углы, приведем к одному углу, используя формулы приведения:

, т.к.

учитывая, что , имеем:

произведение равно 0, если хотя бы один из сомножителей равен 0, имеем

и - уравнение не имеет решения, т.к.

Ответ: .

3)

и и тогда

Ответ: .

4)

левую часть уравнения можно преобразовать в произведение, используя формулу

и тогда

или

Ответ: .

5)

левую часть можно преобразовать в произведение, используя способ группировки:

и тогда

или

Ответ: .

6) Рассмотрим уравнение

Замечаем, что левая часть уравнения есть однородный многочлен относительно функций и , а правая часть равна нулю.

Такие уравнения называются однородными тригонометрическими уравнениями. Для их решения надо каждый член уравнения разделить на или в той степени, какова степень уравнения:

решаем квадратное уравнение относительно функции .

Пусть , тогда

тогда

Ответ: .

7)

Данное уравнение приводится к однородному тригонометрическому уравнению; для этого представим .

Имеем:

разделим на

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели уравнения, приводимые к одному аргументу, квадратному уравнению; левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю - однородные тригонометрические уравнения.

Самостоятельно:

Занятие 4.10 Решение тригонометрических уравнений

Итак, на прошлых занятиях рассмотрены: 1) простейшие тригонометрические уравнения вида ; 2) уравнения, приводимые к квадратным, однородные.

А сейчас рассмотрим уравнение линейное относительно и , которое имеет вид . Надо помнить, что уравнение имеет решение, если . Это уравнение можно решать: 1) выразив и через , приводим уравнение к квадратному относительно ; 2) введением вспомогательного угла.

Рассмотрим на конкретном примере:

1)

проверим условие ; действительно 25 < 64 + 9 уравнение имеет решение.

Первый способ.

имеем:

и

Ответ: ; .

Второй способ.

- уравнение имеет решения

Найдем

Разделим каждый член уравнения на

Заметим, что и , а вот .

Из этого следует, что , где - вспомогательный угол. Для нашего уравнения ; отсюда .

Наше уравнение принимает вид:

левая часть уравнения - это и значит получаем

Найдем углы