Урок по теме Тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций.

Решение простейших тригонометрических уравнений

10 класс

Тип урока: изучение нового материала

Цель урока: вычисление значений тригонометрических функций, изучение метода решения простейших тригонометрических уравнений, повторение изученного ранее

Структура урока

1. Организационный момент

Проверка домашнего задания (№19(3,6); 20(2,4))

Постановка цели

2. Актуализация опорных знаний

Свойства тригонометрических функций

Формулы приведения

3. Новый материал

Значения тригонометрических функций

Решение простейших тригонометрических уравнений

4. Закрепление

Решение задач

1. Цель урока: сегодня мы будем вычислять значения тригонометрических функций и решать простейшие тригонометрические уравнения

2. АОЗ

Два ученика у доски. Задание:

1 ученик:

2 ученик:

sin (t + 0) = - sin t

sin (π - t) = sin t

cos (π + t) = - cos t

cos (π - t) = - cos t

sin (π/2 - t) = cos t

sin (3π/2 - t) = cos t

sin (π/2 + t) = cos t

sin (3π/2 + t) = - cos t

cos (π/2 - t) = sin t

cos (π/2 + t) = - sin t

cos (3π/2 + t) = sin t

cos (3π/2-t) = sin t

sin (-t) = sin t

cos (-t) = cos t

Устный опрос:

В: Какие из тригонометрических функции являются четными, какие - нечетными?

О: Косинус - четная, синус, тангенс, котангенс - нечетные

В: Когда в формулах приведения функция меняется на кофункцию?

О: когда π/2 или 3π/2 добавляются к аргументу

В: Когда функция не меняется на кофункцию в формулах приведения?

О: Когда добавляется ± π

В: В каких четвертях тангенс принимает положительные значения?

О: В I и III

В: В каких четвертях котангенс принимает положительные значения?

О: В I и III

В: Какое число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса?

О: 2π

В: Прочитайте основное тригонометрическое тождество.

О: sin² х + cos² х = 1

В: Чему равно произведение тангенса на котангенс?

О: Единице

2. Новый материал:

Пусть sin t = -3/5 и t лежит в III четверти sin²t + cos²t = 1, cos²t = 1 - sin²t

t.k. косинус в III четверти имеет знак ( - ), то

cos t = -√1 - sin t

cos t = -√l -9/25 = -√16/25 = -4/5

tg t = sin t / cos t =3/4

ctg t = 1/tg t = 4/3

Катет, противолежащий углу в 30° или π/6 равен половине гипотенузы, а т. к. у нас единичная окружность и катет равен синусу угла, то sin 30° = 1/2.

cos 30° = √l - sin 30°

cos 30° = √l - 1/4

cos 30° = √3/2

sin 60° = cos (90° - 30°) = cos 30° = √3/2

cos 60° = sin (90° - 30°) = sin 30° = 1/2

Если угол прямоугольного треугольника равен 45°, то катеты равны:

sin² 45° + cos² 45° = 1, 2sin² 45° = 1, sin 45° = √2/2

cos 45° = √2/2

Полезно записать значения этих углов в таблицу:

t

sin t

Cos t

tg t

ctg t

0

0

1

0

-

30°, π/6

1/2

√3/2

√3/3

√3

45°, π/4

√2/2

√2/2

1

1

60°, π/3

√3/2

¹/2

√3

√3/3

90°, π/2

1

0

-

0

Решение простейших тригонометрических уравнений

Возьмем уравнение sin t = 0. Вращающаяся точка P_t имеет ординату 0 в точках 0, π, 2π

Т. к. период синуса равен 2π, то вращающаяся точка будет иметь ординату 0 также и в точках -π, -2π, 3π, 4π, т. е. в точках πк, k ċ Z

Таким образом, решение уравнения sin t = 0 можно записать в виде t = πк, k ċ Z

Запишем еще решения простейших уравнений:

sin t = 1, t = π/2 + 2πк, k ċ Z

sin t = -1, t = 3π/2 + 2πk, k ċ Z

cos t = 0, t = π/2 + πk, k ċ Z

cos t = 1, t = 2πk, k ċ Z

cos t = -1, t = π + 2πk, k ċ Z

4. Решение задач

1. sin 135° = sin (90° + 45°) = cos 45° = √2/2

2. cos 135° = cos (90° + 45°) = - sin 45° = √2/2

3. cos 120° = cos (90° + 30°) = - sin 30° = -1/2

4. tg 150° = tg (90° + 60°) = - tg 60° = - √3

9. tg 3/4π = tg (π/2 + π/4) = - ctg π/4 = -1

10. ctg 4/3π = ctg (π + π/3) = ctg π/3 = - √3

16) sin² 402° + sin² 48° + tg² 225° = sin² (360° + 42°) + sin² (90° - 42°) + tg² (180° + 45°) =

= sin² 42° + cos² 42° + tg² 45° = 1 + 1 = 2

№20

1) sint = 12/13 ; π/2 < t < π

cos t = - √l - sin² = - √25/169 = - 5/13

tg t = sin t / cos t = -12/5

ctg t = 1 / tg t = - 5/12

3) tg t = 5/2 ; π < t < 3π/2

cos t = - √l / (1 + tg²t) = - √l / (1 + 25/4) = - 2/√29

sin t = tg t cos t = 5/2 (-2π/√29) = - 5/√29

ctg t = 1 / tg t =2/5

Самостоятельная работа

I вариант

Найти знак:

1) sin (13/5 π)

2) cos(-4/3 π)

Вычислить:

3) cos (3/2 π)

4) tg (5/4 π)

Найти cos t и sin t, если tg t = -5/12, cos t < 0

Упростить:

sin²t/ (cos t- 1) =

1 - cos²t + tg²t cos²t =

Существует ли такое t, что

1. sin t = 0,5, cos t = 0,5

2. tg t = 5, ctg t =1/5

II вариант

Найти знак:

1) cos (5/4 π)

2) ctg (-3/4 π)

Вычислить:

3) ctg (7/6 π)

4) sin (11/6 π)

Найти cos t и sin t, если tg t = -5/12, cos t < 0

Упростить:

cos²t / (sin t- 1)

1 - sin²t + ctg²t sin²t

Существует ли такое t, что

1. tg t = -2/9, ctg t = -9/2

2. sin t = 0,6, cos t = 0,8