Урок по теме Решение задания 19

Задания типа №19 по демоверсии 2015 года.

1. Вспомним:

1) 1% - это 0,01

2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:

• Число a составляет p% от числа в:

a = = 0,01bp

• Число а увеличили на p%:

a·(1+0,01p)

• Число а увеличили сначала на p%, а потом еще на q%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

• Число а уменьшили на p%:

a·(1 - 0,01p)

3) Задачи, связанные с изменением цены

Пусть S_o - первоначальная цена, S - новая (окончательная ) цена.

• Повышение цены на a% n раз на a%

S= S_o ·(1+0,01a) S= S_o ·(1+0,01a)ⁿ

• Понижение цены на a% n раз на a%

S= S_o ·(1-0,01a) S= S_o ·(1-0,01a)ⁿ

• Удобно пользоваться схематичной записью:

S_o ·(1+0,01a)

a%

Sо d%

S_o ·(1+0,01a)( 1-0,01d)

Пример 1.

Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?

S= S_о(1-5·0,01) (1-5·0,01)

S_o

5% 5%

S_о(1-5·0,01)

S= S_о(1-5·0,01) (1-5·0,01)= S_о(1-25·0,0001).

Ответ. Понизилась на 25%.

Пример 2.

После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго понижения был на 5% больше, чем процент первого?

x руб

У%

X(1 - 0,01y)=3200

(y+5)%

2400 руб.

Получаем систему:

3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400; (1-(y+5)·0,01) = ; (y+5)·0,01 = ; y+5 = 25; y=20% X(1 - 0,01·20)=3200; X·0,8=3200; X=4000. Ответ: 4000руб; 20%.

Пример 3.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

1 способ.

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

4 290 000

31.12.2015 г

4 290 000·1,145 = 4 912 050

4 912 050 - Х

31.12.2016 г

(4 912 050 - Х) ·1,145= 5 624 297,25 - 1,145Х

5 624 297,25 - 1,145Х - Х=0

Имеем уравнение: 5 624 297,25 - 1,145Х - Х=0;

Х=2 622 050.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 622 050 руб.

Ответ: 2 622 050 руб.

2 способ.

Ответ: 2 622 050 руб.

Пример 4.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

1 способ.

Долг

Остаток

31.12.2014 г

6 902 000рублей

31.12.2015 г

6 902 000·1,125 = 7 764 750

7 764 750- Х

31.12.2016 г

(7 764 750- Х) ·1,125=

= 8 735 343,75 - 1,125Х

8 735 343,75- 1,125Х - Х=

=8 735 343,75- 2,125Х

31.12.2017 г

(8 735 343,75- 2,125Х) ·1,125 =9 827 261, 71875 - 2,390625Х

9 827 261, 71875 - 3,390625Х

31.12.2018 г

(9 827 261, 71875 - 3,390625Х)·

·1,125 = 11055669,43359375-

-3,814453125Х

11055669,43359375-

-4,814453125Х = 0

Имеем уравнение: 11055669,43359375- 4,814453125Х = 0;

Х=2 296 350.

Таким образом, ежегодная выплата составляет 2 296 350 руб.

Ответ: 2 296 350 руб.

2 способ.

Пусть S - cумма кредита, годовые а%. , в=1+0,01а .

31.12.2015 г. S₁ = Sb-X

31.12.2016 г. S₂ = S₁b-X = (Sb-X)b-X = Sb² - (1+b)X

31.12.2017 г. S₃ = S₂b-X= (Sb² - (1+b)X)b -X = Sb³ - (1+b+b²)X = Sb³ -

31.12.2018 г. S₄ = S₃b-X= Sb⁴ - (1+b+b²)bX-X= Sb⁴ - (1+b+b²+b³)= Sb⁴ - При S=6 902 000, в = 1,125 находим S из уравнения Sb⁴ - Напомним: (a-1)(a²+a+1)= a³-1 отсюда a²+a+1 = (a-1)(а³+a²+a+1)= a⁴-1 отсюда а³+ a²+a+1 =

Пример 5.

31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй - 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение. b=1+0,01a

Долг

Остаток

31.12.2014 г

1 000 000 руб.

31.12.2015 г

1 000 000 · (1+0,01a)= 1 000 000 + 10 000a

1 000 000 + 10 000a -510 000=

= 490 000+10 000a

31.12.2016 г

(490 000+10 000a)· (1+0,01a)=100a²+14900a-4900

100a²+14900a-490000-64900=0

100a²+14900a - 159000 - 64900=0;

a²+149a - 1590=0;

a₁=10; a₂ = -159.

По смыслу задачи a>0, поэтому кредит выдан под 10%.

Ответ: 10%.

Пример 6.

31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

1 способ.

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

7 007 000

31.12.2015 г

7 007 000·1,2 = 8 408 400

8 408 400- Х

31.12.2016 г

(8 408 400- Х) ·1,2= 10 090 080 - 1,2Х

10 090 080 - 2,2Х

31.12.2017 г

(10 090 080 - 2,2Х)·1,2=12 108 096-2,64Х

12 108 096-3,64Х

12 108 096-3,64Х =0

Х= 3 326 400; 3Х=9 979 200

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31.12.2014 г

7 007 000

31.12.2015 г

7 007 000·1,2 = 8 408 400

8 408 400- Y

31.12.2016 г

(8 408 400- Y) ·1,2= 10 090 080 - 1,2Y

10 090 080 - 2,2Y

10 090 080 - 2,2Y =0; Y= 4 586 400; 2Y= 9 172 800

Значит, 3Х-2Y= 9 979 200 - 9 172 800 = 806 400.

Ответ: 806 400 руб.

II способ.

1. S₃ = S₂b-X= (Sb² - (1+b)X)b -X = Sb³ - (1+b+b²)X= Sb³ -

По условию задачи Sb³ - =0, откуда Х =

2. S₂ = S₁b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb² - (1+b)Y, откуда Sb² - (1+b)Y=0, Y =

Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. - cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31 декабря 2013 года

S

31 декабря 2014 года

Sb

S₁ = Sb-X

31 декабря 2015 года

S₁ b = (Sb - X)b

S₂ =(Sb - X)b - X=Sb² - Xb -X =

= Sb² - (1+b)X

31 декабря 2016 года

S₂ b = (Sb² - (1+b)X)b

S₃ =(Sb² - (1+b)X)b - X=

= Sb³-(1+b+b²)X=

= Sb ³-

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb³ =0. Откуда X=.

Ответ. 3 993 000 руб.

Пример 8.В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.

Будем рассуждать следующим образом:

1. Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:

Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет

3 900

1,5·3 900

1,5²·3 900

1,5³·3 900

1,5⁴·3 900

1,5⁵·3 900

2. Первая добавка х рублей была внесена через год:

Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет

3 900

1,5·3 900

1,5²·3 900

1,5³·3 900

1,5⁴·3 900

1,5⁵·3 900

х

1,5х

1,5²х

1,5³х

1,5⁴х

3. Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:

Первоначальная сумма

Через

один год

Через

два года

Через

три года

Через четыре года

Через

пять лет

3 900

1,5·3 900

1,5²·3 900

1,5³·3 900

1,5⁴·3 900

1,5⁵·3 900

3 9008,25

х

1,5х

1,5²х

1,5³х

1,5⁴х

х

1,5х

1,5²х

1,5³х

х

1,5х

1,5²х

х

1,5х

Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:

а) Добавки принесли доход

1,5х +1,5²х +1,5³х +1,5⁴х = x(1,5 +1,5² +1,5³ +1,5⁴)= = 3·х·(1,5⁴-1)= .

б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз

1,5⁵·3 900 + = 3 900·8,25; =3 900·8,25 - 1,5⁵·3 900;

Х= 210.

Ответ: 210руб.

Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:S_n=

Пример 9. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. - cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%, тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,001a.

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

31 декабря 2013 года

S

31 декабря 2014 года

Sb

S₁ = Sb-X

31 декабря 2015 года

S₁ b = (Sb - X)b

S₂ =(Sb - X)b - X=Sb² - Xb -X =

= Sb² - (1+b)X

31 декабря 2016 года

S₂ b = (Sb² - (1+b)X)b

S₃ =(Sb² - (1+b)X)b - X=

= Sb³-(1+b+b²)X=

= Sb ³-

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому имеем уравнение:

Sb³ =0. Откуда X=.

Ответ. 3 993 000 руб.

Задача 1. (стр. 39 УМК ч.1)

1 июня 2013 года В.Я взял в банке 900000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 1 %), затем В.Я. переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев В.Я. может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?

Решение.

Минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты.

Долг (руб.)

Остаток (руб.)

1.06.2013

900000

1.07.2013

900000·1,01=909000

909000-300000=609000

1.08.2013

609000·1,01=615090

615090-300000=315090

1.09.2013

315090·1,01=3198240,9

3198240,9-300000=18240,9

1.10.2013

18240,9

Таким образом, за четыре месяца В.Я. может оплатить кредит.

Ответ: на 4 месяца.

Задача 3. (стр. 42 УМК ч.1)

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в процентах от кредита)

100%

90%

80%

70%

60%

50%

0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:

Дата

15.01

Конец января

15.02

Конец

февраля

15.03

Конец

марта

15.04

Конец

апреля

15.05

Конец

мая

15.06

Конец июня

15.07

Долг (в процентах от кредита) на начало месяца

100%

90%

80%

70%

60%

50%

0%

Долг (в процентах от кредита) к концу месяца

105

1,05·90=94,5%

1,05·80

=84%

1,05·70

=73.5%

1,05·60

=63%

1,05·50

=52,5%

Процент выплаты кредита

105-90

=15%

94,5-80=

14,5%

84-70=

14%

73.5-60

=13,5%

63-50=

13%

52,5%

15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5% 122,5% - 100% = 22,5%

Ответ: 22,5.