Элективный курс Решение задач с параметрами

Элективный курс

«Решение задач с параметрами».

Срок реализации - 1 полугодие

Возраст детей - 16-17 лет

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами в настоящее время включены в программу большинства подготовительных факультативов, а также ряда базовых курсов алгебры и начал анализа в связи с потребностью подготовки учащихся к сдаче вступительных и единых экзаменов. Однако значимость этого курса не ограничивается лишь диагностической ценностью. Умение решать задачи с параметром способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. К сожалению, в школьных учебниках таких задач недостаточно. Основная цель курса расширить и углубить знания учащихся по умению решать задачи с параметром. Курс разработан на основе материалов газеты «Математика» и вступительных экзаменов в различные российские вузы.

Курс рассчитан на 34 часа.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Актуальность проблемы, его практическая значимость

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета и подготовки учащихся к продолжению образования. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств

2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей.

3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

5. Умения самостоятельно приобретать и применять знания

Задачи курса:

1. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету.

2. Выявление и развитие их математических способностей.

3. Воспитание культуры мышления, определяющую мировоззренческую культуру учащихся

Новизна опыта

Разработана и апробирована программа элективного курса. Систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Курс рассчитан на 34 часа.

Адресная направленность

Настоящая программа предназначена для учащихся 10-11 классов и рассчитана на 17 часа. Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2020 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Особое внимание при повторении следует обратить на задачи, содержащие модуль и параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами и модулями не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами и модулями учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно. В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение задач с параметрами».

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся, самоконтроля

Учебно-тематический план

№

тема

Кол. часов

теорит

практ

План.

дата

Факт.

дата

1

Ведение..

Основные понятия уравнений с параметрами

1

1

04.09

2

Решение линейных уравнений,содержащих параметр.

1

1

11.09

3

Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

1

1

18.09

4

Квадратные уравнения, содержащие параметр.

2

1

1

25.09

02.10

Неравенства с параметрами (второй степени)

1

1

09.10

5

Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения

2

1

1

16.10

23.10

Иррациональные уравнения

2

1

1

06.11

13.11

7

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами

2

1

1

20.11

27.11

Графические приемы решения

2

1

1

04.12

11.12

9

Нестандартные задачи

- количество решений уравнений;

- уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.

2

1

1

18.12

25.12

Итого

16

7

9

Содержание программы

1. Введение. Первоначальные сведения. (1часа)

Цели и задачи курса. Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам.

Практическая работа. Решение простейших уравнений с параметрами вида

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно - кусочных уравнений. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

Практическая работа. Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

3. Решение линейных неравенств, содержащих параметр. (1 часа)

Определение линейного неравенства. Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Исследование полученного ответа. Обработка результатов, полученных при решении.

Практическая работа. Решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

4. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр .(3часа)

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический способ решения.
Графический способ. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Практическая работа. Решения квадратных уравнений с параметрами.

5. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр.
Рациональные уравнения (2 часа)

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Практическая работа. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами, рациональных уравнений

6. Иррациональные уравнения. (2часа)

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Тригонометрические неравенства, содержащие параметр. Область значений тригонометрических функций.

Практическая работа. Использование свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

7. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.( 2 часа)

Область значений функции. Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Практическая работа. Использование свойств квадратичной функций в задачах с параметрами

.

9. Нестандартные задачи. (2 часа)

10. Текстовые задачи с использованием параметра. (1 часа)

Практическая работа. Решение текстовых задач с параметрами

Методическое обеспечение программы

Требования к знаниям и умениям

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами;

2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,

3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;

4. Овладеть исследовательской деятельностью.

Ожидаемый результат

Учащиеся более уверенно решают нестандартные задачи, задачи с параметрами.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами

Литература

1. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решение: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. - 3-изд., испр. и доп. - М.:АРКТИ, 2008

2. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. - М.: АРКТИ, 2007.

3. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г

4. Сборник задач по математике: в двух книгах. Книга 2. геометрия/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под редакцией М.И. Сканави. -10-е изд., испр. - М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство « Мир и образование», 2005.

5. Цыганов Ш.И. Энциклопедия ЕГЭ по математике 2005 года: Учебное пособие. - 1-е изд. - Уфа:Издательство «Эдвис», 2004.

Приложение

Т е с т

Часть I

А1. При каком значении параметра к значение выражения равно 2?

1) 2) -0,5 3) 0,25 4) 0,5

А2. При каком значении параметра а значение выражения равно

1)6 2) 48 3) 12 4) 24

А3. При каком значении параметра b значение выражения равно 3?

1) 4,5 2) 9,5 3) 13,5 4) 24

А4. На рисунке 1 изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-3;6]. При каком значении параметра а функция y=f(x+а), определенная на отрезке [-2;2], будет четной?

рис. 1

1) -1 2) 1 3) 2 4) -2

А5. При каком значении параметра р значение производной функции у=рх⁴е^х+р в точке х=-1 равно ?

1) - 2) 3) 4)

А6. Найдите множество значений функции у=5а+3аsinx при положительных значениях параметра а?

1) [-1;1] 2) [2a;8a] 3) [-3a;3a] 4) [3a;5a]

А7. Решите неравенство при отрицательных значениях параметра а.

1) (-; 2а] 2) [2a; 0) 3) (-; 2a](0; +) 4)[-2a; 0)

А8. При каком значении параметра а областью определения функции

является промежуток (-; -63) (-63;1]?

1) -21 2) 3) 4) -62

А9. На рисунке 2 изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-3;7]. Укажите все значения параметра а, при кото­рых множество решений неравенства f(x+а)содержит ровно одно целое число.

рис. 2

1)-1 2)(0;1] 3)(- ;-1] 4) [-1;0)

А10. При каком значении параметра р решением уравнения 2cos(2рх)-=0 является ?

1) 2) 3) 4)

В1. При каком наибольшем целом значении параметра а уравнение имеет три различных действитель­ных корня?

В2. Найдите все значения параметра а, при которых число 5 является корнем уравнения

1g(3а+x-2)+ 1g(x+1)= lg72.

В3. Известно, что а - корень уравнения ctgx=b. При ка­ком положительном значении параметра b значение выражения sin ² a+3cos ² a равно 2,8?

Часть II

В4. Пусть (х₀; у₀) - решение системы уравнений

Найдите такое значение параметра а, при котором х₀= у₀

В5. Функция у = f(х) определена на промежутке (-5; 5). На ри­сунке 3 изображен график её производной. Для каждого целого значения a из отрезка [-3; 2] к графику функции у =f(х) + ах провели все касательные, которые параллельны оси Ох. При ка­ком значении параметра а проведенных касательных было наи­меньшее количество?

рис. 3

В6. При каком наибольшем положительном целом значении па­раметра а значение выражения является целым при

х = 20,001?

В7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

2х²+2·3^а+1·х-9=6х-33·3^а имеет единственное решение. (Если искомых значений параметра а несколько, то в ответе запишите их сумму.)

В8. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 8. На рисунке 4 изображен график этой функции при . Найдите все значения па­раметра а из промежутка (7; 20], при которых значение выражения 4f(а)+3f(5)+2f(11) равно 1. (Если искомых значений параметра а несколько, то в ответе запишите их сумму.)

рис.4

В9. От двух кусков сплава с различным содержанием никеля, ве­сящих 17 кг и 8 кг, было отрезано по куску весом m кг. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска. При каком значении параметра m процентное содержание никеля в двух новых кусках будет одинаковым?

В10. В основании треугольной пирамиды DАВС лежит прямоугольный треугольник AВС с катетами и СВ = 4\/5. Прямая DС перпендикулярна плоскости основания, а вершина С удалена от плоскости грани DАВ на расстояние, равное h. При каком значении параметра h вершина D удалена от прямой АВ на расстояние, равное 5?

В11. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ равна 4, сторона АС равна а и угол А равен 60°. При каком значении параметра а расстояние, между основаниями высот треугольника АВС, опущенных на стороны АС и ВС, равно ?

С1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет три различных действительных корня?

С2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

log_cosx-a(sin2x -cos2x +sinx + cosx + +1)=0

Часть III.

С3. Найдите наименьшее значение меньшего из корней уравнения х² +9х + ах =22+ а, если множеством значений параметра а является промежуток (-;7].

C4. В основании прямой четырехугольной призмы АВСDАВС расположен квадрат АВСD . ). Точка М явля­ется центром грани ААВВ, а на ребре АD выбрана точка N так, что . При каких значениях параметра р площадь треугольника NСС₁ равна двум площадям сечения пирамиды МNВВ₁ плоскостью, проходящей через середины ребер МB₁, NВ, NB₁?

С5. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет ровно два различных решения?