Открытый урок по алгебре

Тема « Комбинаторика и элементы теории вероятностей»

Цель: познакомить обучающихся с основами теории вероятностей

Задачи:1) познакомить обучающихся с основными понятиями теории вероятностей: комбинаторика, перестановки, факториал, события, их виды, вероятность;

2) научить решать простейшие комбинаторные задачи и задачи на определение вероятностей;

3) развивать логическое мышление, математический кругозор;

4) воспитывать культуру устной и письменной математической речи.

Технические средства, используемые на уроке: мультимедийное оборудование,

ноутбук, презентация, раздаточный материал.

Ход урока:

1. Мотивационный момент

- Здравствуйте! Садитесь! Меня зовут Юрий Иванович. Я рад видеть всех присутствующих в этом классе. Ребята, предлагаю сегодняшний урок математики начать со слов великого русского поэта. Внимание на экран (читаю приведенную фразу:

О. сколько нам … …

Готовят просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг…

А.С. Пушкин.)

Знаменитая пушкинская фраза приведена не полностью: в ней пропущено два слова. Кто знает, что это за слова? Что же готовит нам дух просвещенья? Совершенно верно! Открытия чудные! (ролик из передачи «Очевидное невероятное»). Предлагаю сделать эти строки эпиграфом к нашему уроку, поскольку мне очень хочется, чтобы в сердце каждого из вас поселился дух просвещения и вел вас дорогой озарений и открытий!

Итак. Вперед к открытиям сегодняшнего урока.

2. Проблемная ситуация. Целеполагание

Ребята, на ваших столах лежат карточки с заданиями. Я попрошу представителей каждой группы озвучить их (дети зачитывают задания).

1. В упаковке находятся 20 мячиков чёрного цвета, 30 мячиков синего цвета и 15 белого. На удачу вынимают мячик. Какова вероятность того, он синий?

2. В коробке 11 карточек, которые пронумерованы от 1 до 11. Наугад вытаскивается одна карточка и отмечается её номер. Определите вероятность следующего события: номер является простым числом.

3. На отдельных карточках написаны числа от 1 до 15, каждое 1 раз. Валерий наугад вытаскивает карточку. Какова вероятность того, что число на карточке чётное

4. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет четыре очка?

Скажите, вы сможете решить эти задачи сразу на данном этапе урока? ( Нет) Почему?.. Не хватает знаний. Что ж, я надеюсь, приобрести эти знания вы сможете на данном уроке. А теперь, опираясь на предложенные вам задания, попытайтесь сформулировать тему урока. Обратите внимание на слово, которое чаще всего повторялось в вопросе задачи. Попробуем. Кто как думает?

Да, вы правы тема нашего урока будет связана с понятием вероятности, а звучит она следующим образом: «Комбинаторика и элементы теории вероятностей». Запишите в своих тетрадях. Какие задачи в связи с данной темой вы перед собой поставите?

Усвоить основные понятия теории вероятностей, научиться рассчитывать вероятность совершения событий, прогнозировать их в определенных ситуациях.

3. Актуализация знаний

Ребята, с элементами комбинаторики вы познакомились еще в 5-6 классах. А что же такое комбинаторика? Кто скажет?

Комбинаторика - это раздел математики, изучающий сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов множества.
Итак, вы видите 4 стула. Как вы знаете, если в театре висит ружье, значит, в ходе пьесы оно должно выстрелить. Так и у нас: если стоят стулья, значит, на них кто-то должен сесть. Пожалуйста, ________, займите любое место. ________, какое место выберите Вы? Теперь очередь ________. И оставшееся место займет ________. Итак, в результате выбора участников этого действа у нас получилась определенная комбинация их посадки. Как вы думаете, была ли она единственной? Конечно. Нет.

Как получить другие комбинации? Ребятам необходимо будет пересесть. (Но мы этого делать не будем, пусть участники займут свои постоянные места). Итак, ситуация, которую мы сейчас наблюдали, иллюстрирует один из вариантов перестановок, т.е. простейших комбинаций, которые можно составить из элементов конечного множества. Как рассчитать количество возможных комбинаций? Вернемся к нашему примеру. Сколько вариантов выбора было у первого участника? Так, правильно, 4. У второго? Конечно, 3. У третьего - 2, а вот у четвертого выбора не было. Он мог сесть только на оставшееся место (в ходе ответов на вопросы делаю такую запись: 4 3 2 1).

4. Открытие новых знаний.

Число различных способов, которыми может быть упорядочено данное множество, состоящее из n элементов, называется числом перестановок множества и обозначается P_n.

Число перестановок из n элементов вычисляется следующим образом:

P_n=n!

Произведение подряд идущих n натуральных чисел обозначают n! и называют эн факториал. В нашем случае n=4 P₄=4! 4! =4∙3∙2∙1=24

Ребята, а какова вероятность того, что ________ и ________ будут сидеть рядом? Посмотрим на доску. Вы видите варианты, при которых ________ и _______ окажутся рядом. Пока их 3. Если еще учесть, что каждая пара может поменяться местами, то благоприятствующих случаев интересующего нас события окажется 12. Обозначим это буквой N(A). А общее количество вариантов (24) обозначим буквой N. Чтобы найти вероятность появления интересующего нас события P(A), находим отношение числа N(A) к числу N. Исходя из этой формулы, вероятность того, что _______ и ________ будут сидеть рядом, равна P(A) = =0,5.

Это значит, что при каждом втором пересаживании ________ и ________ могут сидеть рядом.

В жизни мы многие события оцениваем с точки зрения теории вероятностей: «это возможно (невозможно), вероятно (маловероятно)». И вообще именно эта теория определяет течение нашей жизни: вызовут вас к доске или не вызовут, выиграет лотерейный билет или не выиграет. А толчком к рождению этой теории послужили азартные игры: выпадет определенная масть или нет, орел или решка, то или иное количество очков на грани игральной кости.

Как же определяется вероятность в математике?

Попрошу вас обратиться к учебнику и найти определение вероятности.

Вероятностью события А при проведении некоторого события называют отношение числа тех исходов , в результате которых наступает событие А, к общему числу равновозможных между собой исходов этого испытания.

Посмотрим небольшой фрагмент фильма «Статский советник».

Ребята, как выдумаете, какова вероятность появления каждой чёрной карты?

Рассчитайте её.

Чему будут равняться N(A) и N, если (36 карт в колоде и 18 из них - карты черной масти).

Найдем вероятность появления каждой карты.

Для 1 карты - 18/36,

для 2 - 17/35,

для 3 - 16/34 (работа у доски, 3 человека поочерёдно рассчитывают вероятность появления каждой карты).

А теперь немножко разомнёмся.

Математическая физкультминутка.

1. Применяя формулу вероятности, рассчитайте вероятность событий о которых я буду говорить. Если вероятность события больше или равна - то встают 1 и 3 группа, если меньше, то встают 2 и 4 группа.

а) вероятность появления крестовой карты,

б) вероятность появления карты красной масти,

в) вероятность того, что к доске пойдёт девочка,

г) вероятность того, что к доске пойдёт мальчик,

д) вероятность того, что человек родился в четверг.

Закрепление

Особую нишу занимают задачи с игральными костями. Игральная кость - это кубик, на гранях которого обозначено число очков от 1 до 6. Выбросив одну кость, мы можем получить 1 исход за 1 бросок. Всего же исходов шесть (по количеству граней), поэтому вероятность появления любого числа от 1 до 6 равна Р =.

Выбросив 2 кости, можно получить сумму очков на верхних гранях от 2 до 12. В основу подсчета вероятностей здесь надо положить рассмотрение всех 36 случаев. Какие же ещё суммы могут получиться?

Для этого заполните таблицу 1 которая вам дана на листах

А теперь постараемся решить следующую задачу.

Коля и Миша бросают две игральных кости. Они договорились, что если при бросании костей в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра

Сумма

7

8

Число благоприятствующих случаев

Вероятность

С чего мы начнём решение этой задачи? С заполнения строки таблицы №2 число благоприятствующих случаев. В этом нам поможет таблица №1. В каких случаях сумма очков равна 7 и 8? Сколько таких вариантов для наступления каждого события? А теперь рассчитаем вероятности наступления каждого из событий.. Сравним вероятности появления суммы очков 7 и суммы очков 8 получаем, что значит игра, не справедлива.

Работа с учебником 20.3 страница 132

№20.3 Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что:

а) оканчивается нулём;

б) состоит из одинаковых цифр;

в) больше 27 и меньше 46;

г) не является кубом другого целого числа.

Задание по группам разделить доску на 4 части. Дать 1 минуту на обдумывание, представитель каждой группы идёт к доске и решает задачу. Остальные следят за решением задач и группы проверяют правильность решения задачи

Возвращаемся к задачам, которые были озвучены вами в начале урока и решить которые вы не смогли. Попытайтесь это сделать сейчас. На выполнение задания вам даётся минута. Представитель группы, выполнившей задание, поднимает руку. Группе которая решила раньше показывается слайд с решением и ответом.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Закончите задачу….

В букете для учителя 3 красных и 4 белых розы…

В коробке 12 белых и 8 красных шаров...

Ребята, вернемся к эпиграфу нашего урока. Какие открытия были совершены каждым из вас? (Дети вспоминают, что нового они узнали). А теперь хочу поделиться с вами своим открытием. Работая с вами, я понял, что математика обладает удивительным свойством объединять людей, делать их единомышленниками. Любите математику, и она сделает вашу жизнь осмысленнее и гармоничнее.

И в конце урока я хочу подарить вам по монетке и пусть и орёл и решка всегда приносят вам удачу.

Благодарю за урок.

6