Урок по теме: «Применение производной к построению графиков функций»

Урок 6 . Тема урока «Применение производной к построению графиков функций».

Предварительная подготовка к уроку:

учащиеся должны знать таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции».

Цели урока:

1) образовательная:

знакомство учащихся с общей схемой исследования функции методом построения графика чётной и нечётной функции, обучение проведению исследования и построению графика;

2) воспитательная:

воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;

3) развивающая:

развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Оборудование:

кодоскоп, записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зелёная-красная).

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

Ход урока

I. Организационный момент

(Сообщение темы целей урока)

II.Проверка домашнего задания

(Выполняется устно)

- Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.

III. Актуализация опорных знаний

Задание 1.

Тест.

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой по кодоскопу)

- По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А- Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Вариант I.

Интервалы: А=(-3;0); В(-2;0); С=(-2;2); Д(0;3); Е(1;3);

Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы: А2; В2; С4; Д1; Е1.

Вариант II.

Интервалы: А=(-3;-1); В=(1;3); С=(-1;1); Д=(0;2); Е=(-2;0);

Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы: А2; В3; С4; Д1; Е2.

- Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа. Поднимите зелёную карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого 1 ошибка.

IV. Работа с учебником

(Самостоятельное изучение нового материала по плану , записанному на доске.)

План:

1) Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций».

2) Записать в тетрадь схему исследования функции.

3) Записать с учителем образец решения задания 2(оно приводится ниже).

4) Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной) функции на примере одной из задач учебника.

Образцы решений.

Задание 2. Постройте график функции f(x)=х³-2х²+х

Решение.

1. Область определения D(f)=R.

2. Найдём производную f^/(x)=(x³-2x²+x)^/=3x²-4x+1

3. Найдём критические точки, решив уравнение f^/(x)=0

3x²-4x+1=0

(3х-1)(х-1)=0

Х₁=1, х₂=1/3.

4. Найдём промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Для производной f^/(x)=3x²-4x+1=3(x-1/3)(x-1) имеем три интервала знакапотоянства (-∞;); ;1); (1; +∞).

Имеем 0 (-∞ ) и f^/(0)=10 .Значит, f^/(x)0 на промежутках (-∞) и (1; +∞), и значит, функция возрастает на этих промежутках. А т.к. f^/(x)0 на промежутке ( ; 1), значит, функция убывает на этом промежутке.

5. При переходе через точку х=1/3 знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х=1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:

f()=()³ - 2()² +=, f(1)=1³-21²+1=0

6. Составим таблицу по результатам исследований.

Х

(- ;1/3)

1/3

(1/3;1)

1

(1;+ )

+

0

-

0

+

f(x)

4/27

0

7. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:

Х=0 или х=1

8. Построим график функции.

V. Творческое задание

Задание 3.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) - четная функция.

Задание 4.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) - нечетная функция.

Задание 5.

Закончите фразу.

1) График четной функции симметричен относительно… (оси Оу).

2) График нечетной функции симметричен относительно… (начала координат (0;0)).

VI. Закрепление изученного материала

Задание 6. Постройте график функции.

(Работа над заданиями ведётся на доске и в тетрадях)

У=6х

Решение.

1. D(f)=R

2. Функция у(-х)=6(-х) чётная, график симметричен относительно Оу. Исследуем на (0;+ ).

3. Находим производную у=

4. Находим критические точки: у=0.

5. Промежутки возрастания и убывания.

Х

0

(0;1)

1

(1;+ )

f(x)

0

+

0

-

f(x)

0

2

Экстремумы

min

max

6. График.

VII. Подведение итогов урока

- По какой схеме проводится исследование свойств функции?

Ответ:

Надо найти:

1. Область определения функции( D(f)=R)

2. Производную

3. Стационарные точки (f(x)=0)/

4. Промежутки возрастания и убывания(методом интервалов).

5. Точки экстремума и значение функции в этих точках.

6. а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);

б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).

Домашнее задание

Задание 7. Построить график функции:

а) у=2+3х-х б) у=3х+1/3х