Конспект урока на тему: «Применение различных способов для разложения многочленов на множители»

Конспект урока по алгебре для учащихся 7 класса средних общеобразовательных учреждений.

Тема: «Применение различных способов для разложения многочленов на множители».

Цели:

Образовательная: повторить способы разложения многочленов на множители; сформировать навыки последовательного применения различных способов для разложения на множители многочлена; систематизировать и обобщить приемы решения задач с вынесением общего множителя за скобки с применением формул сокращенного умножения.

Развивающая: развивать аккуратность, внимание, наблюдательность, рациональное и логическое мышление.

Воспитательная: воспитывать такие личностные качества, как усидчивость, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: дедуктивно-исследовательский, индуктивно-эвристический.

Оборудование: таблица с формулами квадрата суммы, квадрата разности, разности квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов; индивидуальные карточки.

Литература:

1. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. - 18-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 240 с.

2. Саранцев, Г. И. Методика обучения математики в средней школе.: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002 - 224с.

3. Дюмина, Т.Ю. Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой. Конспекты уроков, теоретические сведения, дидактический и методический материал./ Т.Ю. Дюмина, А.А. Махонина - М. : Просвещение, 2010.

План урока:

1. Организационный момент (2 минуты).

2. Проверка домашнего задания (3 минуты).

3. Актуализация знаний (7 минут).

4. Обобщение и систематизация знаний (30 минут).

5. Подведение итогов, постановка домашнего задания (3 минуты).

Ход урока:

1. Организационный момент

(приветствие учителем учащихся, проверка готовности класса к уроку, проверка отсутствующих)

2. Проверка домашнего задания

Учитель называет номер задания, учащиеся говорят только ответ. (В случае затруднения учитель вызывает учащегося к доске)

3. Актуализация знаний

Учитель: Сегодня на уроке мы завершаем тему: применение различных способов разложения многочлена на множители. Мы закрепим ещё раз навыки разложения многочлена на множители различными способами, закрепим умения применять их при нахождении значения выражения и решении уравнений. Для начала нашей работы давайте вспомним, что называют разложением многочлена на множители, какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Ученик: Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители. Вынесение общего множителя за скобку, группировка, применение формул сокращенного умножения - это способы разложения многочлена на множители.

Учитель: Давайте вспомним эти способы, решив устно следующие примеры.

Запись на доске и в тетрадях:

1. 18х²у-18х ;

2. by+2b+y²+2y ;

3. 4b²-a⁴.

Учитель: Каким способом можно разложить на множители первый пример?

Ученик: Вынесением общего множителя за скобки.

Учитель: Какой здесь общий множитель?

Ученик: 18х. Получим 18х²у-18х=18х(ху-1).

Учитель: Что можно сделать, чтобы разложить на множители второй многочлен?

Ученик: Сгруппировать первый член со вторым и третий с четвертым, затем вынести общий множитель за скобки. by+2b+y²+2y=b(y+2)+y(y+2)=(y+2)(b+y).

Учитель: Как разложить на множители третье выражение?

Ученик: Воспользоваться формулой разности квадратов.4b²-a⁴=(2b-a²)(2b+a²).

Учитель: Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки. Запишите в тетради дату и тему урока.

Запись на доске и в тетрадях: дата, тема урока: «Применение различных способов для разложения многочленов на множители»

Учитель: Разложим на множители многочлен 10а³-40а

Запись на доске и в тетрадях: 10а³-40а

Учитель: Члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. Вынесем этот множитель за скобки. Получим: 10а³-40а=10а(а²-4)

Запись на доске и в тетрадях: 10а³-40а=10а(а²-4)

Учитель: Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а²-4 формулу разности квадратов. Кто может сказать мне эту формулу?

Ученик: а²-b²=(a-b)(a+b).

Учитель: В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней 10а(а²-4)=10a(a-2)(a+2).

Запись на доске и в тетрадях: 10а(а²-4)=10a(a-2)(a+2).

Учитель: Скажите, какие способы были использованы при разложении этого многочлена на множители.

Ученик: Вынесение общего множителя за скобки, применение формулы разности квадратов

Запись на доске и в тетрадях: 10а³-40а=10а(а²-4)=10a(a-2)(a+2).

Учитель: при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения.

3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

4. Обобщение и систематизация знаний

Учитель: А теперь решим номера учебника №934, 935, 937, 939 под буквами а, в, - в классе; б, г, - дома. (К доске вызываются по одному учащемуся, решают по два примера.)

Запись на доске: №934-939 (а, в, - в классе; б, г, - дома)

Учитель: № 934. К доске вызывается ученик.

Учитель: Прочитай задание.

Ученик: Разложите на множители многочлен. а) 5х²-5у²

Запись на доске и в тетрадях: № 934 а) 5х²-5у²

Учитель: Что можно сначала сделать?

Ученик: Вынести за скобки общий множитель 5.

Запись на доске и в тетрадях: 5х²-5у²=5(х²-у²)

Учитель: А многочлен х²-у² можно еще разложить на множители?

Ученик: К этому выражению можно применить формулу разности квадратов.

Учитель: Запиши, пожалуйста, на доске эту формулу.

Запись на доске: а²- b²=(a-b)(a+b)

Ученик: получим 5(х²-у²)=5(х-у)(х+у);

Запись на доске и в тетрадях: 5х²-5у²= 5(х²-у²)=5(х-у)(х+у);

Учитель: у всех получился такой же ответ? Всё верно, решай следующий пример.

Запись на доске и в тетрадях: в) 2ах²-2ау²

Учитель: Как следует решить данный пример.

Ученик: Вынести за скобки общий множитель 2а.

Запись на доске и в тетрадях: 2ах²-2ау²=2а(х²-у²)

Ученик: затем применить к полученному выражению формулу разности квадратов.

Запись на доске и в тетрадях: 2ах²-2ау²=2а(х²-у²)=2а(х-у)(х+у).

Учитель: Есть ли у кого-то вопросы по данному заданию? Если нет, то переходим к № 935. К доске вызывается следующий ученик.

Учитель: Прочитай задание.

Ученик: Представьте в виде произведения. а) у³-у⁵

Запись на доске и в тетрадях: № 935 а) у³-у⁵

Учитель: Как будем решать данный пример?

Ученик: Вынесем общий множитель у³ за скобку.

Запись на доске и в тетрадях: у³-у⁵=у³(1-у²)

Учитель: Можно ли к полученному выражению применить какую-нибудь формулу сокращённого умножения?

Ученик: да, формулу разности квадратов. Получим у³(1-у²)=у³(1-у)(1+у).

Запись на доске и в тетрадях: а) у³-у⁵=у³(1-у²)=у³(1-у)(1+у);

Учитель: У всех получился такой ответ? Решай следующий пример.

Запись на доске и в тетрадях: в) 81х²-х⁴=х²(81-х²)=х²(9-х)(9+х);

Учитель: Прокомментируй, как следует решить данный пример.

Ученик: Вынести за скобки общий множитель х²,

Запись на доске и в тетрадях: х²(81-х²)

Ученик: Затем применить к полученному выражению формулу разности квадратов.

Запись на доске и в тетрадях: х²(9-х)(9+х).

Учитель: Верно. А можно ли по-другому разложить этот многочлен на множители?

Ученик: Можно применить сразу формулу разности квадратов. Получим: 81х²-х⁴=(9х-х²)(9х+х²)

Учитель: Можно ли в этом произведении еще как-то разложить многочлены на множители?

Ученик: Да, в каждом многочлене можно вынести х за скобки. Получим х²(9-х)(9+х).

Учитель: Запиши данный способ на доске.

Запись на доске и в тетрадях: 81х²-х⁴=(9х-х²)(9х+х²)=х²(9-х)(9+х).

Учитель: Посмотрите, мы получили такой же ответ, как и при решении первым способом? Следующий №937. К доске вызывается ученик.

Учитель: Прочитай задание.

Ученик: Докажите тождество а⁸-b⁸=(a-b)(a+b)(a²-b²)(a⁴+b⁴)

Запись на доске и в тетрадях: №937 а⁸-b⁸=(a-b)(a+b)(a²-b²)(a⁴+b⁴)

Учитель: Как доказать тождество?

Ученик: Чтобы доказать тождество нужно: выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой или выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой или преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

Учитель: Как мы поступим с нашим тождеством?

Ученик: Выпишем левую часть равенства и преобразуем ее по формуле разности квадратов.

Запись на доске и в тетрадях: а⁸-b⁸=(a⁴-b⁴)(a⁴+b⁴)

Ученик: (a⁴-b⁴) можно ещё раз разложить по той же формуле.

Запись на доске и в тетрадях: а⁸-b⁸=(a⁴+b⁴)(a²-b²)(a²+b²)

Ученик: так же поступим и с выражением (a²-b²)=(a-b)(a+b).

Запись на доске и в тетрадях: а⁸-b⁸=(a⁴+b⁴)(a²+b²)(a-b)(a+b).

Учитель: Какой вывод мы можем сделать?

Ученик: Левая часть равна правой, значит наше тождество верно.

Учитель: Верно. Следующий номер № 939. К доске вызывается следующий ученик.

Учитель: Прочитай задание.

Ученик: Разложите на множители.а) 3х²+6ху+3у²

Запись на доске и в тетрадях: № 939. а) 3х²+6ху+3у²

Учитель: Как будем раскладывать на множители данный пример?

Ученик: В данном примере есть общий множитель 3, вынесем его за скобки. Запись на доске и в тетрадях: 3х²+6ху+3у²=3(х²+2ху+у²)

Ученик: А теперь применим формулу квадрата суммы. Получим: 3(х²+2ху+у²)=3(х+у)²

Запись на доске и в тетрадях: 3х²+6ху+3у²=3(х²+2ху+у²) =3(х+у)²

Учитель: У всех получился такой ответ? Решай следующий пример.

Запись на доске и в тетрадях: в) -4х-4-х²=-(4+4х+х²)=-(2+х)²;

Учитель: Как следует решить данный пример.

Ученик: Вынести за скобки минус.

Запись на доске и в тетрадях: -(4+4х+х²)

Ученик: Затем применить к полученному выражению формулу квадрата суммы.

Запись на доске и в тетрадях: -(2+х)².

Учитель: У всех получился такой ответ? У кого-нибудь есть вопросы по данному примеру?

Для учащихся, которые справятся со всеми примерами быстрее остальных, предусмотрены дополнительные задания по индивидуальным карточкам.

Индивидуальная карточка.

Разложить на множители:

а) у³+у⁶;

б) 27m²-m⁵;

в) 8а⁴-64а;

г) 4х³-4у³.

5. Подведение итогов, постановка домашнего задания

Учитель: Итак, сегодня мы повторили уже известные вам способы разложения многочленов на множители. Скажите, какие это способы?

Ученик: Вынесение общего множителя за скобки, группировка, формулы сокращенного умножения.

Учитель: Какие из этих способов мы применяли сегодня на уроке?

Ученик: Вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения.

Учитель: Скажите, с какого способа целесообразнее начинать преобразование?

Ученик: С вынесения общего множителя за скобки, если этот множитель есть.

Учитель: Откройте дневники и запишите домашнее задание: пункт 38, № 934, 935, 939 под буквами б, г.

Запись на доске и в тетрадях: §38 № 934, 935, 939 (б,г)

В конце урока учитель выставляет отметки учащимся и оценивает их работу на уроке.

8