Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

"Описание материала: В настоящее время становится очень актуальным дистанционное обучение. Для разработки данного материала послужили курсы по дистанционному обучению. Материал представлен по теме «Решение неравенств методом интервалов» для учеников 9 класса. Вначале дана пошаговая инструкция, которая поможет ученику и подскажет, что с этим материалом требуется сделать. Далее изложена теория с примерами, алгоритм решения неравенств методом интервалов и применение метода интервалов. Для закреп...
Раздел Математика
Класс 9 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Алгебра 9 класс


Инструкция

Дорогой друг!

Выполняя задания, придерживайся следующих правил:

  1. Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.

  2. Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.

  3. Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.

  4. Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.

  5. Методички возвращать не надо. Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.

  6. Срок выполнения контрольной работы - 4 дня с момента получения задания.

Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Неравенство положительно, если оба множителя положительны или отрицательны одновременно. Значит надо решить две системы неравенств:

1)Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» или 2)Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

(5;+Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов») (-Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»;-8)

Ответ: (-Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»;-8)Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»(5;+Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»)

Решим другое неравенство: (x-2)(x+5)(x-12)>0

Если рассуждать как в предыдущем примере о возможных знаках каждого из трёх множителей, то вычисления будут громоздкими, потому необходим другой метод решения. Таким методом является метод интервалов.

Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть - 0, то есть Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» (Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов») и Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , где х - переменная, а Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» …,Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» - не равные друг другу числа, то такие неравенства решаются методом интервалов.

Числа Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» …,Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» - нули функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.

Для решения неравенства (x-2)(x+5)(x-12)>0 воспользуемся следующим алгоритмом.

Алгоритм:

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти нули функции.

  3. Отметить на координатной прямой интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции.

  4. Определить знак функции на каждом промежутке (интервале), для этого выбираем число из данного промежутка и подставляем в функцию.

  5. Записать ответ, удовлетворяющий знаку неравенства.

Решение

(x-2)(x+5)(x-12)>0

  1. xМатериал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»R

  2. (x-2)(x+5)(x-12)=0

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»=2, Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» =-5, Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» =12

-5

2

12


-

+

-

+

-5

2

12



  1. Ответ: xМатериал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» (-5;2)Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»(12:+Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»).

Решим первое неравенство методом интервалов:

(х+8)(х-5)>0

  1. хМатериал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»R

  2. (х+8)(х-5)=0

х1 = - 8, х2 = 5

-8

5

+

+

-

-8

5


  1. Ответ: хМатериал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» (-Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»;-8)Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»(5;+Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»)

Применение метода интервалов

Рассмотрим метод интервалов для решения неравенств высоких степеней.

Пример 1. Решим неравенство Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , то говорят, что Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» - корень многочлена кратности Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

Данный многочлен имеет корни: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» кратности 6; Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» кратности 3; Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» кратности 1; Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» кратности 2; Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Из рисунка видно, что такими х являются Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

Ответ: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? В корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности - знак меняется.

Важные выводы:

  • Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

  • При четном k многочлен справа и слева от Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

  • При нечетном k многочлен справа и слева от Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим способы решения рациональных неравенств Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» методом интервалов.

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» , эквивалентное данному неравенству.

Итак: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» эквивалентно системе неравенств Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» которая далее решается методом интервалов.

Пример 2. Решим неравенство Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»откуда Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение - квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется).

Получаем: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» . Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Ответ: Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

Литература

Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 207 с.

Контрольная работа

  1. Решите неравенства методом интервалов:

а) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ; б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ;

в) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

  1. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ; б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ;

б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

  1. Найдите область определения функции:

а) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ; б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

  1. Решите неравенство:

а) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ; б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ;

в) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

  1. Решите неравенство:

а) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» ; б) Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов» .

© 2010-2022