Материал для подготовке к ЕГЭ по математике

Логарифмические уравнения

1. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 21.

2. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −124.

3. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

. Ответ: 2.

4. Найдите корень уравнения .

Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:

Ответ: 6.

5. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −12.

6 . Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −4.

7. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −42.

8. Решите уравнение .

Решение.
Заметим, что и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

9 . Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на уравнение имеет только один корень. Ответ: 12.

10. Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 5.

11. Найдите корень уравнения

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 0.

12. Найдите корень уравнения

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 125.

13. Найдите корень уравнения

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 12.

14. Найдите корень уравнения .

Решение.
Используем формулу :

Приведем другое решение:

Ответ:2.

15 . Найдите корень уравнения .

Решение.
Используя формулу , получаем:

Ответ: 6.

Примечание.
Следует отличать это уравнение от похожего, но другого: . В этом случае имеем:

Линейные, квадратные, кубические уравнения

1.Найдите корень уравнения:

Решение.
Последовательно получаем:

. Ответ: −9.

2. Найдите корень уравнения:

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 21.

3.Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Сумма корней уравнения равна 15, а их произведение равно 56. Следовательно, это числа 7 и 8. Меньший из них равен 7. Ответ: 7.

4.Решите уравнение .

Решение.
Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны. Поэтому:

Ответ: −1.

5. Решите уравнение .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −3.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Последовательно получаем:

Меньший из корней равен −6,5 Ответ: −6,5.

7. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Решим квадратное уравнение:

Ответ: 8.

8. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

. Ответ: −5.

9. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 13.

10. Решите уравнение .

Решение.
Используем формулы квадрата разности и квадрата суммы:

Ответ: −6.

11. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −7.

12. Решите уравнение .

Решение.
Выполним преобразования:

Ответ: −1,5.

13. Решите уравнение .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −4.

14. Найдите корень уравнения ( х - 1 )³ = 8 .

Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем

х -1 =2 , откуда х =3.

15. Найдите корень уравнения ( х - 1 )³ =- 8 .

Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем

х -1 = - 2 , откуда х =-2.

16 .Найдите корень уравнения ( х+1)³ = - 1000.

Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем х +1 = - 10 , откуда х=-11.

17 .Найдите корень уравнения (х+2)⁵ = 32.

Решение.
Извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения, получаем

х +2 =2 , откуда х = 0.

Рациональные уравнения

1.Найдите корень уравнения:

Решение.
Последовательно получаем:

.Ответ: 3.

2.Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
Область допустимых значений: . На этой области домножим на знаменатель:

Оба корня лежат в ОДЗ. Меньший из них равен −3. Ответ: −3.

3.решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 2.

4 Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 4.

5. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного

корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:

Ответ: 6.

6. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 7.

7. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение.
Область допустимых значений: .

При домножим на знаменатель:

Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5.

Ответ: 5.

8. Найдите корень уравнения:

Решение.
Избавимся от знаменателя:

.

Ответ: 14.

9. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 5.

10. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Область определения уравнения задается соотношением . На области определения имеем:

Оба найденный решения удовлетворяют условию , меньший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

11. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 1.

12. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Последовательно получаем:

.

Ответ: 0,3.

13. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:

Ответ: 1.

14. Найдите корень уравнения .

Решение.
Если две дроби с равным числителем равны, то равны их знаменатели. Имеем

Ответ:7.

Иррациональные уравнения

1.Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 55.

2.Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

. Ответ: 38.

3. Найдите корень уравнения:

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: −5.

4. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 8.

5.Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

. Ответ: 0.

6. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем обе части уравнения в третью степень:

Ответ: 23.

7.Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 10.

8. Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: −185.

9. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Возведем в квадрат:

Меньший корень равен 1.

Ответ: 1.

10. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 87.

11. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

.

Ответ: 11.

12. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: 3.

13. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

.

Ответ: 35.

14. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: −9.

15. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем обе части уравнения в третью степень:

Ответ: 31.

16. Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: −2.

17. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Возведем в квадрат:

Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.

Ответ: 6.

Примечание.
Можно было сделать проверку. Подставляя число 6, получаем верное равенство , поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем неверное равенство , поэтому число −1 не является корнем.

18. Решите уравнение .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ: −2,5.

Показательные уравнения

1. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −1.

2. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 4.

3. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 8,75

4. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 12,5.

5. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 4.

6. Найдите корень уравнения: .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 8.

7. Найдите корень уравнения .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

.

Ответ: 10.

8. Найдите решение уравнения:

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 4.

9. Найдите корень уравнения:

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 0.

10. Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 3.

11. Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −2.

Тригонометрические уравнения

1.Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Последовательно получаем:

Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .

Ответ: −0,125.

2.Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Последовательно получим:

Значениям соответствуют положительные корни.
Если , то .
Если , то .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наименьшим положительным корнем является число .

Ответ: 1.

3.Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Если , то и .
Значениям соответствуют большие положительные корни.
Значениям соответствуют отрицательные значения корней.
Наименьшим положительным решением является 1.

Ответ: 1.

4. Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Последовательно получаем:

Значениям соответствуют положительные корни.

Если , то и .

Если , то и .

Значениям соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число .

Ответ: −4.

5. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Значению соответствует . Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ: −1.

6. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Значениям соответствуют большие положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.