- Преподавателю
- Математика
- Методическое пособие по математике на темуФункции и их свойства
Методическое пособие по математике на темуФункции и их свойства
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Ажулаева П.М. |
Дата | 02.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ
НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
Раздел «Функции, их свойства и графики»
Составитель
П.М. Ажулаева
первая квалификационная категория
Нягань, 2015
Содержание
-
Аннотация……………………………………………………………3
-
Введение……………………………………………………………...4
-
Основная часть (теория) Функции и их свойства………………….7
-
Обратная функция……………………………………………………9
-
Сложная функция…………………………………………………….9
-
Классификация………………………………………………………..9
-
Свойства некоторых функций и их графики………………………..10
-
Функции и основные свойства элементарных функций
(практическая часть)……………………………………………………..19
-
Графики и основные свойства элементарных функций на примерах…21
-
График линейной функции……………………………………………….21
-
График квадратичной функции………………………………………….23
-
График функции ………………………………………………...27
-
График гиперболы………………………………………………………..28
-
График показательной функции…………………………………………30
-
График логарифмической функции……………………………………..31
-
Графики тригонометрических функций………………………………..32
-
Графики обратных тригонометрических функций…………………….36
-
Степенные функции………………………………………………………38
-
Приложение……………………………………………………………….39
-
Заключение………………………………………………………………..64
-
Список литературы……………………………………………………….65
Аннотация
В данной работе рассмотрены темы раздела №7 «Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции» из рабочей программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии ФГОС и примерной программы 2008г.
В предлагаемой методической работе рассматриваются основные понятия теории данного раздела и подробно приводятся задачи, аналогичные тем, которые даются студентам на практических занятиях и в контрольных работах и для выполнения самостоятельных работ. Данная работа поможет преподавателю в полной мере донести материал в лекционной и практической форме, а студенту самостоятельно изучить пропущенный материал и ликвидировать пробел знаний по данной теме. В данной работе сделана попытка соединить учебный материал, руководство к решению задач и выполнение практических, контрольных заданий.
Перед выполнением каждого задания предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории и рассмотреть образцы решения. Перечисленные ниже вопросы по теме являются основными при защите выполненных работ.
Данная тема изучается по дисциплине «Математика» по всем специальностям первых курсов, а также данная тема изучается на втором курсе в развитии.
В методические рекомендации включен блок теории, определения, формулы, свойства по темам в кратком изложении, указана литература. При изложении теоретической части использовался принцип «достаточной полноты при максимально возможной простоте представления учебного материала». По этой причине в некоторых местах изложение ведется недостаточно строго в математическом плане, однако, достаточно строго для использования аппарата при выполнении практической части. Практически весь теоретический материал сопровождается примерами и решением типовых задач.
При самостоятельном изучении представленного материала рекомендуется кроме рабочих записей постепенно формировать глоссарий-справочник, в который следует заносить основные формулы, правила, соотношения и определения используемых математических понятий. Впоследствии такой глоссарий-справочник может быть использован при выполнении контрольных и самостоятельных работ, а также при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин в последующих семестрах обучения.
В работу включены контрольные вопросы по теоретической части, задания для самопроверки, задания практического характера, тесты, контрольные работы. Методическое пособие составлено в соответствии с ФГОС.
Введение
Реальный образовательный процесс проходит в динамике и в современной дидактике понимается как взаимодействие деятельности и преподавателей, и обучаемых, направленное на достижение учебных целей, задач обучения, воспитания и развития, на формирование компетенций.
Для специалиста важно понимать роль и место математики в жизни современного общества. Для этого студент должен усвоить сущность математической науки, познакомиться с ее языком и основными методами. Это поможет ему самостоятельно читать ту литературу по специальности, в которой используются математические методы и модели, заниматься повышением своей профессиональной подготовки.
Математика играет важную роль в естественно - научных, инженерно - технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.
Учебная дисциплина «Математика» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности среднего профессионального образования.
Предлагаемая работа написана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики. Она соответствует Рабочей программе дисциплины «Математика»
Умение логически мыслить, оперировать абстрактными понятиями, понимать место точных формулировок и уметь, обходиться описательными определениями, отличать тривиальные и частные модели от глубоких и общих - вот основные цели, преследуемые при изучении дисциплины математика.
В процессе изучения математики студент должен:
- научиться использовать математику как метод мышления, как язык, как средство формулирования и организации понятий;
- уметь формулировать, формализовать и решать основные математические задачи;
- уметь строить простейшие математические модели и ориентироваться в возможностях их реализации на вычислительной технике.
Изучение дисциплины «математика» направлена на достижение следующих целей:
-
формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
-
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
-
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;
-
воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.
В данной работе рассмотрим темы раздела №7 «Функции, их свойства и графики» из рабочей программы учебной дисциплины « математика».
При изучении данного раздела студент должен:
уметь:
-
вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;
-
определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;
-
строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
-
использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.
В данном разделе рассмотрим следующие темы:
Функции. Область определения и множество значений. График функции, построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функции: монотонность (возрастание, убывание), четность, нечетность, ограниченность, периодичность, наибольшее и наименьшее значения функции, точки экстремума, экстремум функции. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция (композиция).
Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Определения функций, их свойства и графики. Обратные тригонометрические функции.
Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Теория без практики мертва или бесплодна,
практика без теории невозможна или пагубна.
Для теории нужны знания, для практики,
сверх всего того, и умение.
А.Н. Крылов
Функции и их свойства
Понятие функции. Основные свойства функции
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, равная числу .
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении S=vt, где путь S и время t - переменные величины, а скорость v - параметр.
Функция - одно из важнейших математических понятий.
Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.). Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции и обозначают D. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции и обозначают Е.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Способы задания функции:
-
аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;
-
табличный способ (функция задается с помощью таблицы)
-
описательный способ (функция задается словесным описанием)
-
графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
-
Нули функции
Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
-
Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
-
Возрастание (убывание) функции
Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2 , справедливо неравенство f(x1)<f(x2).
Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2).
-
Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х2 - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х3 - нечетная функция. Функция общего вида не является четной или нечетной (например, у = х2+х).
Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.
Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x,y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной.
Обратная функция
Пусть у=f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений У. Поставим в соответствие каждому у единственное значение х, при котором f(x)=у. Тогда полученная функция х=, определенная на множестве У с областью значений Х, называется обратной. Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у то функция, обратная к функции у=f(x) , примет вид у=. Обратную функцию у=обозначают так же в виде у=f -1(x).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Сложная функция
Пусть у=f(u) есть функция от переменной u, а переменная u в свою очередь является функцией u= от переменной x. Тогда у=f() является сложной функцией (или композицией).
Классификация функций
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
- целая рациональная функция (многочлен или полином)
- дробно-рациональная функция - отношение двух многочленов
- иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной.
К числу трансцендентных функций относятся функции:
показательная,
логарифмическая,
тригонометрические,
обратные
тригонометрические.
Свойства некоторых функций и их графики
-
Линейной функцией называется функция вида
y = kx+b, где k и b - числа.
Область определения линейной функции - множество R действительных чисел.
Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b) и параллельная прямой у = kx.
Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.
Свойства линейной функции
1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.
2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.
При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у=0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.
4. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .
2. Функция y = x2
Область определения этой функции - множество R действительных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.
График функции y = x2 называется параболой.
Свойства функции у = х2
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
3.Фунуция
Область определения этой функции - промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.
Свойства функции
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞).
4. Функция не является ни четной, ни нечетной.
5. Функция возрастающая в области определения.
6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
4. Функция y = x3
Область определения этой функции - множество R действительных чисел,
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.
График функции у= х3 называется кубической параболой.
Свойства функции y = x3
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в первом и третьем координатном углах.
3. Множеством значений функции у = х3 является вся числовая прямая.
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х3 - нечетная).
5.Функция у = х3 возрастающая в области определения.
5. Функция y = |x|
Область определения этой функции - множество R действительных чисел.
Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:
График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.
Свойства функции
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).
5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.
6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: .
График - гипербола.
1. Нули функции.
у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.
Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при .
Если k < 0, то функция возрастает при .
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.
Квадратный трехчлен
Уравнение вида ax2+bx+c = 0, где a, b и с - некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.
В квадратном уравнении ax2+bx+c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентам, с - свободным членом.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
.
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.
Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax2+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют двукратным корнем.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Пусть дано квадратное уравнение ax2+bx+c = 0. Так как, а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
.
Уравнения вида
аx2 +bx = 0, ax2 + с =0, аx2 = 0
называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.
Теорема Виета.
Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней - отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.
; .
Обратная теорема. Если сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
Функция вида ах2 +bх + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах2 +bх + с =а(х-х1)(х-х2)
где х1 и х2 - корни трехчлена
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах2 +bх + с =а(х-х1)2
где х1 - корень трехчлена.
Например, 3х2 - 12х + 12 = 3(х - 2)2.
Уравнение вида ах4 + bх2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х2 = y оно приводится к квадратному уравнению аy2 + by + с = 0.
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x - независимая переменная, a, b и c - некоторые числа, причем a≠0.
Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .
Свойства квадратичной функции
- Область определения: R;
- Область значений:
при а > 0 [-D/(4a); ∞)
при а < 0 (-∞; -D/(4a)];
- Четность, нечетность:
при b= 0 функция четная
при b≠0 функция не является ни четной, ни нечетной
- Нули:
при D > 0 два нуля: ,
при D = 0 один нуль:
при D < 0 нулей нет
- Промежутки знакопостоянства:
если, а > 0, D > 0, то
если, а > 0, D = 0, то
если, а > 0, D < 0, то
если, а < 0, D > 0, то
если, а < 0, D = 0, то
если, а < 0, D < 0, то
Промежутки монотонности
при а > 0
при а < 0
Графиком квадратичной функции является парабола - кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;
2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
Или ; (х0; у0) - вершина параболы.
Преобразование графиков функции
1. Растяжение графика у = х2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/|а| раз).
Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).
Результат: график функции у = ах2.
2. Параллельный перенос графика функции у = ах2 вдоль оси х на |m| (вправо при m > 0 и влево при т < 0).
Результат: график функции у = а (х - т)2.
3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).
Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.
Графики и основные свойства элементарных функций
(Практическая часть)
Как правильно построить координатные оси?
На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.
Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.
Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.
Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:
1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось - осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.
2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.
3) Задаем размерность по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Я рекомендую Вам по возможности всегда придерживаться именно такой размерности. Но, время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист - тогда размерность уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа).
Редко-редко, но бывает, что размерность чертежа приходиться уменьшать (или увеличивать) еще больше.
НЕ НУЖНО по осям проставлять все значения: …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость - не памятник Лобачевскому, а студент - не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Как говорят математики, это необходимо и достаточно. Размерность можно задать и произвольно, например, поставить 0 и - 1, -1 - по осям, но существуют некоторые стандарты, которых целесообразно придерживаться.
Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярная размерность 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку - здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем меньшую размерность 1 единица = 1 клеточка.
Трехмерный случай
Здесь почти всё так же.
1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат - направлена вверх, ось - направлена вправо, ось - влево вниз строго под углом 45 градусов.
2) Подписываем оси.
3) Задаем размерность по осям. Размерность по оси - в два раза меньше, чем размерность по другим осям. Также обратите, внимание, что на правом чертеже размерность я задал нестандартно - по оси двойкой, а не единицей. С моей точки зрения, так точнее, и, главное, быстрее и удобнее - не нужно под микроскопом выискивать середину клеточки.
При выполнении трехмерного чертежа опять же желательно придерживаться размерности 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева).
Графики и основные свойства элементарных функций на примерах
График линейной функции
Линейная функция задается уравнением . График линейной функции - прямая. Для того чтобы построить прямую линию достаточно знать две точки.
Пример 1
Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.
Если , то
Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.
Если , то
При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.
Две точки найдены, выполним чертеж:
При оформлении чертежа всегда подписываем графики.
Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
Обратите внимание, как я расположила подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.
1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается - достаточно найти всего одну точку.
2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен -4, при любом значении икс».
3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».
Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретила добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .
Построение прямой - самое распространенное действие при выполнении чертежей.
Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии «Уравнение прямой на плоскости» (2 курс обучения)
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:
Вспоминаем некоторые свойства функции .
Область определения - любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали - для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: D(f): R. Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква R обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс».
Область значений - это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: - множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .
Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция является четной. Функция не ограничена сверху.
Я не случайно так подробно расписала свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.
Пример 2
Построить график функции .
В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. (на 2 курсе обучения). Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.
Сначала находим вершину параболы. Таким образом, вершина находится в точке (1; 1).
Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция - не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.
В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:
Выполним чертеж:
Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:
Для квадратичной функции y= ax2 +bx+c, () справедливо следующее:
Если , то ветви параболы направлены вверх.
Если , то ветви параболы направлены вниз.
Кубическая парабола
Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:
Перечислим основные свойства функции
Область определения - любое действительное число:R.
Область значений - любое действительное число:R.
Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:
, значит, функция является нечетной.
Функция не ограничена.
Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.
Теперь немного поговорим о графиках многочленов. (Дополнительный материал)
График любого многочлена третьей степени () принципиально имеет следующий вид:
В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».
Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:
Эти знания полезны при исследовании функций и построении графиков.
График функции
Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:
Основные свойства функции :
Область определения: .
Область значений: .
То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.
Функция не ограничена сверху.
При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:
На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще.
График гиперболы
Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .
Выполним чертеж:
Основные свойства функции :
Область определения: D(f) = (.
Область значений: E(f) = ( - «любое действительное число, исключая ноль»
В точке функция терпит разрыв.
Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с осями, ветви гиперболы будут бесконечно близко приближаться к оси .
Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .
График функции вида () представляют собой две ветви гиперболы.
Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.
Пример 3
Построить правую ветвь гиперболы
Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:
Выполним чертеж:
Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.
График показательной функции
В данном параграфе рассмотрим экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики часто встречается именно экспонента.
Напоминаю, что - это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, трёх точек, пожалуй, хватит:
График функции пока оставим в покое, о нём позже.
Основные свойства функции :
Область определения: D(f) =R - любое «икс».
Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента - функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.
Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , , будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.
Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть . Это значение должен знать даже «двоечник».
Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой - на чертеже соответствующий график прочерчен линия с точами. Что произошло? Ничего особенного - та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону».
Принципиально так же выглядят графики функций
, и т. д.
График логарифмической функции
Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:
Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.
Основные свойства функции :
Область определения:
Область значений: E(f) = R
Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .
Принципиально так же выглядит график логарифма при основании
: , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. Чем больше основание, тем более пологим будет график.
В заключение: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция - это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это - та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.
Графики тригонометрических функций
С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса
Построим график функции y = sinx
Данная линия называется синусоидой.
Напоминаю, что «пи» - это иррациональное число: .
Основные свойства функции y = sinx:
Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.
Область определения: D(f) = R, то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.
Область значений: .
Функция y = sinx является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке . Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.
Синус - это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится:
В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в тригонометрической таблице.
График косинуса
Построим график функции y =cosx
График косинуса - это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево. Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.
Косинус - это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».
Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .
Графики тангенса и котангенса
Построим график функции y = tgx
Основные свойства функции: y = tgx
Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.
Область определения: - все действительные числа, кроме … , , , … и т. д. или коротко: , где - любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.
Область значений: все действительные значения.
Функция не ограничена
Тангенс - функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .
В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).
График котангенса - это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:
Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.
Графики обратных тригонометрических функций
Построим график арксинуса
Перечислим основные свойства функции :
Область определения: , не существует значений вроде или
Область значений: , то есть, функция ограничена.
Арксинус - функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .
В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса можно найти с помощью таблицы.
Построим график арккосинуса
Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной работе много раз мы говорили о четности и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике - «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой», то есть функция общего вида.
Построим график арктангенса
Всего лишь перевернутая ветка тангенса.
Перечислим основные свойства функции :
Область определения: D(f) = R
Область значений: , то есть, функция ограничена.
Арктангенс - функция нечетная: .
Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , .
К графику арккотангенса приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:
Свойства арккотангенса сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.
Степенная функция
Вы знакомы с функциями
Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень . Рассмотреть различные случаи в зависимости от показателя степени p предлагаю по учебнику Ш. А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. общеобразовательных образований стр. 39-44 теория и практическая часть стр. 44-45. Также этот материал предлагается в приложении данной работы.
Приложение
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Приложение
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
-
Найдите область определения функции
.
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Найти область определения функции
-
Найдите область определения функции
-
Постройте график функции
При каких значениях функция принимает отрицательные значения?
-
Постройте график функции
При каких значениях функция принимает положительные значения?
-
Постройте график функции
При каких значениях функция принимает положительные значения?
-
Постройте график функции и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Постройте график функции и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Постройте график функции
Проходит ли график через точку А(-35, 76)?
-
Постройте график функции
Проходит ли график через точку А(-45, -86)?
-
Постройте графики функций и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Постройте графики функций и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Постройте график функции
Проходит ли график через точку А(-35, -65)?
-
Постройте графики функций . Укажите наименьшее значение функции.
-
Постройте графики функций . Укажите наименьшее значение функции.
-
Постройте график функции Укажите промежуток, в котором функция возрастает.
-
Постройте график функции Укажите промежуток, в котором функция убывает.
-
Постройте график функции При каких значениях функция принимает положительные значения?
-
Постройте график функции При каких значениях функция принимает отрицательные значения?
-
Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой В каких координатных четвертях находятся эти точки?
-
Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой В каких координатных четвертях находятся эти точки?
-
Постройте график функции Укажите значения , при которых
-
Постройте график функции Укажите значения, при которых
-
Постройте график функции Возрастающей или убывающей является эта функция?
-
Постройте график функции Возрастающей или убывающей является эта функция?
-
Постройте график функции Найдите значения , при которых y=-5.
-
Постройте график функции Найдите значения , при которых y=-5.
-
Вычислите координаты точек пересечения
параболы и прямой
-
Вычислите координаты точек пересечения
параболы и прямой
-
Постройте графики функций и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Постройте графики функций и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
-
Какая из прямых у = 4х, у = 2х + 1 или у = -0,5х не проходит через начало координат? Постройте график этой функции.
-
Какая из прямых у = 3х - 1, у = 2х + 4 или у = -2х проходит через начало координат? Постройте график этой функции.
-
Постройте график функции Укажите промежуток, в котором функция убывает.
-
Постройте график функции Укажите промежуток, в котором функция возрастает.
Приложение
Тест
1 вариант
-
Сколько целых чисел содержит область определения функции
?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
-
Найдите область значений функции .
1) 2) 3) 4)
2 вариант
-
Сколько целых чисел содержит область определения функции
?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
-
Найдите область значений функции .
1) 2) 3) 4)
3 вариант
-
Сколько целых чисел содержит область определения функции
?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
-
Найдите область значений функции .
1) 2) 3) 4)
4 вариант
-
Сколько целых чисел содержит область определения функции
?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 5
-
Найдите область значений функции .
1) 2) 3) 4)
Приложение
Контрольная работа по теме «Функции и графики»
1 вариант
1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а) ; б) .
4. Постройте график функции . Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
5. Найдите функцию, обратную к функции .
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции; укажите область определения и множество значений каждой из них.
Контрольная работа по теме «Функции и графики»
2 вариант
1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а) ; б) .
4. Постройте график функции . Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
5. Найдите функцию, обратную к функции .
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции; укажите область определения и множество значений каждой из них.
Контрольная работа по теме «Функции и графики»
3 вариант
1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а) ; б) .
4. Постройте график функции . Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
5. Найдите функцию, обратную к функции .
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции; укажите область определения и множество значений каждой из них.
Контрольная работа по теме «Функции и графики»
4 вариант
1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а) ; б) .
4. Постройте график функции . Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
5. Найдите функцию, обратную к функции .
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции; укажите область определения и множество значений каждой из них.
Приложение
УПРАЖНЕНИЯ
-
Каким уравнением задается прямая, проходящая через точки A(2;-5) и B(14;1)?
1.
2.
3.
4.
На координатной плоскости проведена прямая CD. Укажите уравнение этой прямой.
1.
2.
3.
4.
-
В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых и ?
1.
В I четверти
2.
В II четверти
3.
В III четверти
4.
В IV четверти
-
На координатной плоскости построены графики уравнений 2у+х2=4 и х-у=2.
Используя эти графики, решите систему уравнений
-
Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат - сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?
-
В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат - сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.
-
В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат - масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?
-
Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя - чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат - сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?
-
График, какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1.
2.
3.
4.
-
График, какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1.
2.
3.
4.
-
Найдите значение a по графику функции , изображенному на рисунке.
1.
-1
2.
1
3.
2
4.
3
-
Найдите значение b по графику функции , изображенному на рисунке.
1.
-2
2.
1
3.
2
4.
3
-
Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.
1.
-3
2.
1
3.
2
4.
3
-
Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.
1.
2
2.
3.
4.
-2
-
На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
-
На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
-
На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
-
На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
-
На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
-
На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка.
1.
2.
3.
4.
Приложение
по рекомендациям выполнения упражнений,
алгоритмы и образцы заданий
Преобразование графиков
Пусть задан график функции у=f(x).
Тогда справедливы следующие утверждения.
-
График функции у=f(x+а) есть график у=f(x), сдвинутый (при а>0
влево, при а<0 вправо) на единиц параллельно оси Ох.
-
График функции у=f(x)+b есть график функции у=f(x), сдвинутый (при b>0 вверх, при b<0 -вниз) на единиц параллельно оси Оу.
-
График функции у=mf(x) (m) есть график у=f(x), растянутый (при m>1) в m раз или сжатый (при 0<m<1) вдоль оси Oy. При m<0 график функции у=mf(x) есть зеркальное отображение графика у=-mf(x) от оси Ох.
-
График функции у=f(kx) (k) есть график у=f(x), сжатый (k>1) в k раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси Ох.
При k<0 график функции у=f(kx) есть зеркальное отображение графика у=f(-kx) от оси Оу.
Алгоритм исследования на четность (нечетность)
-
Составить выражение f(-x)
-
Сравнить f(-x) и f(x):
- если имеет место тождество f(-x) = f(x), то функция четная
- если имеет место тождество f(-x) = - f(x), то функция нечетная
- если не выполняется условие четности или нечетности, то говорят, что функция общего вида.
Преобразование графиков.
Пример
Построить график функции y= - 3 cos 2x.
Решение: строим график следующим образом:
-
строим график у= cos x.
-
у= cos xсжатие графика в 2 раза вдоль оси Оху= cos 2x
-
у= cos 2x зеркальное отражение графика от оси Ох
у= - cos 2x
-
у= - cos 2x растяжение графика в 3 раза вдоль оси Оу
y=- 3 cos 2x.
Пример
Построить график функции у = -3cos (-2x).
Решение. cos (-2x) = cos 2x
-
строим график функции у = cos x
-
растягиваем построенный график от оси Ох с коэффициентом 3 и получим у = 3cos x
-
посредством симметрии относительно оси х получим
у = - 3cos x
-
путем сжатия к оси у с коэффициентом 2 графика функции
у = - 3cos x получим график функции у = -3cos (-2x)
Пример
Найти область определения функции:
Решение: область определения функции найдем из системы неравенств
Пример
Выяснить четность (нечетность) функций:
Решение: f(-x)= -x -ctg3(-x)= -x+ ctg3x= -(x - ctg3x), т. е.
f(-x)=-f(x) - выполняется условие нечетности.
Ответ: данная функция нечетная.
Контрольные вопросы
-
Определение функции.
-
Область определения функции.
-
Область значений.
-
Способы задания.
-
Свойства функции.
-
Четность, нечетность функции.
-
Возрастание, убывание.
-
Ограниченность.
-
График функции.
-
Периодичность функции.
-
Степенные функции.
-
Логарифмическая функция.
-
Показательная функция.
-
Тригонометрические функции.
-
Квадратичные функции.
-
Сложная функция.
-
Обратные функции.
-
Преобразование графиков.
Заключение
Данная работа способствует детальному изучению темы, поможет при выполнении самостоятельной, практической и контрольной работы. Здесь изложены теория функции, основные свойства функций, графики, основные понятия и методы. Приведены решения примеров, даны в приложении упражнения для самостоятельной деятельности и контроля знаний и умений. Такие приложения рассчитаны для повышения уровня подготовки студентов всех специальностей и форм и почти не требуют дополнительной информации. А также данная работа рассчитана на тех студентов, которые имеют пробел или пропущенный материал по тем или иным причинам. Здесь сделана попытка соединить в краткой форме теоретический и практический материал. Для лучшего усвоения материала приводятся решения и алгоритмы. Его можно использовать как при занятиях под руководством преподавателя, так и для самостоятельной работы.
Данное методическое пособие применима для всех форм обучения всех специальностей.
Литература:
-
М.И.Башмаков Математика учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования - 5 издание, испр. - М.: Издательский центр «Академия», 2012. - 256 с.
-
Ш.А.Алимов Алгебра и начала анализа учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений - М.: Просвещение- 384 с. , 2006
-
А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений - М.: Просвещение- 384 с. , 2007
-
Н.Ш.Кремер Высшая математика для экономистов: учебник для вузов - 2-е изд., М.:ЮНИТИ, 2004. - 471с.
-
Н.В.Богомолов Математика: учебник для ссузов - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004. - 395с.
-
М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, Г.Л.Луканкин, Г.Н.Яковлев Алгебра и начала анализа часть 1. Под редакцией Г.Н.Яковлева - математика для техникумов - М., изд., Наука- 1977 - 336с.
-
О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.Л.Павлов Сборник задач по математике для техникумов - М., Наука - 1987.206с.